线方程解结构

1、程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档4 4 线性方程的解的结构线性方程的解的结构n阶线性方程阶线性方程)()()(.)(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 自由项自由项若若0)( xf， 称上面方程为齐次的；称上面方程为齐次的；若若0)( xf， 称上面方程为非齐次的。称上面方程为非齐次的。, 2 n二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程)()()( xfyxqyxpy (1)0)()( yxqyxpy(2)对应的齐次方程对应的齐次方程程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档定理定理1若若)(1xy与与)(2xy是方程是方程(2)的两个解，的两个解，则则)

2、()(2211xycxycy 也是方程也是方程(2)的解。的解。21cc 、其中其中是任意常数。是任意常数。说明说明定理定理1称为齐次线性方程的叠加原理。称为齐次线性方程的叠加原理。程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档问题：问题： 若若)(1xy与与)(2xy是方程是方程(2)的两个解，的两个解，那么，那么，)()(2211xycxycy 是方程是方程(2)的通解吗？的通解吗？一般来说，一般来说，不是。不是。 反例：反例：02 yyyxxee2 , 是它的两个解，是它的两个解， 但但xxececy2 21 不是该方程的通解。不是该方程的通解。程序设计 网络课件 教学设计 多媒体

3、课件 ppt文档这个反例表明：这个反例表明：)(1xy与与)(2xy是方程是方程(2)的两个解，的两个解，)()(2211xycxycy 要成为方程要成为方程(2)的通解，的通解， 还需还需)(1xy与与)(2xy满足其它条件。满足其它条件。程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档定义定义设设)(),.,(),(21xyxyxyn为定义在区间为定义在区间i上的上的n个函数。个函数。 若存在若存在n个不全为零的个不全为零的常数常数nkkk,.,21使得使得, 0)(.2211 xykykyknnix 对一切对一切则称这则称这n个函数个函数 在区间在区间i上上 是线性相关的。是线性相关

4、的。()否则，否则，称这称这n个函数个函数 是线性无关的。是线性无关的。程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档例如：例如：xx22sin,cos, 1是线性相关的。是线性相关的。32 , , , 1xxx是线性无关的。是线性无关的。特别地，特别地，)(),(21xyxy是线性相关的是线性相关的成比例成比例与与 )( )(21xyxy,即即kxyxy )()(21(常数常数)(),(21xyxy是线性无关的是线性无关的不成比例不成比例与与 )( )(21xyxy,即即kxyxy )()(21(常数常数)程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档定理定理2 若若)(1xy与

5、与)(2xy是方程是方程(2)的两个线性无关解，的两个线性无关解， 则则)()(2211xycxycy ),( ,21任意任意cc是方程是方程(2)的通解。的通解。推论推论若若)(),.,(),(21xyxyxyn是是n阶齐次阶齐次线性方程线性方程0)()(.)(1)1(1)( yxayxayxaynnnn的的n个线性无关解，个线性无关解，则此方程的通解为则此方程的通解为)(.)()(2211xycxycxycynn ),.,( ,21任意任意nccc程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档定理定理3 )()(2211xycxycy ),( ,21任意任意cc通解为：通解为：设设)

6、(* xy是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程(1)的一个特解，的一个特解， 与方程与方程(1)对应的齐次方程对应的齐次方程(2)的的则二阶非齐次方程则二阶非齐次方程(1)的通解为：的通解为：)(*)()(2211xyxycxycy ),( ,21任意任意cc程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档定理定理4 若若)(*1xy)(*2xy是非齐次线性方程是非齐次线性方程)()()( 1xfyxqyxpy 的特解，的特解，是非齐次线性方程是非齐次线性方程)()()( 2xfyxqyxpy 的特解，的特解， 则则)(*)(*21xyxy 是非齐次线性方程是非齐次线性方程)()()()( 21xfxfyxqyxpy 特解。特解。程序设计 网络课件 教学设计 多媒体课件 ppt文档说明：说明：定理定理4称为非齐次线性方程的解的叠加原理。称为非齐次线性方程的解的叠