艺术生高考数学专题讲义：考点15 任意角的三角函数与弧度制

1、考点十五任意角的三角函数与弧度制知识梳理1. 角的概念(1)任意角: 角的定义：角诃以看成平面内一条射线绕假设端点从一个位祖旋转到另一个位置所成的图 形旋转开始的射线叫做角的始边.旋转终止的射线叫做角的终边.射线的端点叫做角的顶 点： 角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯 角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.所存与角q终边相同的角，建同角“在内，构成的角的集合是s= 伽=&360。+/k* 注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360。的整数倍.(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合角的始边与x

2、抽的非负半轴重合.那么 角的终边在第儿象ph，就说这个角是第儿象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不 属于任何一个象限，称之为轴线角.2. 孤度制(1)定义：把k度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1孤度的角，这种用弧度作单位来度堂 角的单位制叫做孤度制.弧度的单.位符号是“rad”，读作“弧度”(用弧度制表示角时，rad 常常省路不写.如果半径为/的圆的1如心角“所对顷的长为人那么角"的弧度数的绝对值是回=£正角的弧度数是正数，负角的甄度数是负数，零角的弧度数是0.角度制和弧度制的互化：180° =式函,1°=斋函,1函=(乎(3)扇形的弧长公式：/

3、=回尸，扇形的面积公式：s=#=f|a|/.3. 任意角的三角函数< 1)单位圆定义：任意角"的终边与单位圆交于点p(.时,sin«=v. cosa=/z. tan a<2)比值式定义：设p(x. y)是角“终边上任意一点.且|0/1=耳>0),那么cos a =*, (ana=；.它们都是以用为自变量，以比值为函数值的函数.注意：三角函数的定义中，当p(x. y)是单位圆上的点时有sina=y, cosa=x, tana=；,但假设不是单位圆时，设op = r,那么 sin cos«=-> (ana=.<3)三角函数值在各象限的符号

4、：(an acos a记忆i诀：“ 全正.二正弦.三正切.四余弦二即第-象限三个三角函数都是正值，第二 象限正弦值为正.其余两个为负值：第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦tfl为正值.4. 三角函数线如以下图，设角仅的终边与单位圆交于点p,过p作pmlx轴，垂足为al过a(l,0)作单位 冽的切线与“的埠边或终边的反向延长线相交于点那么有向线段mp. om.人7分别叫做角q的正弦线，余弦线和正切线.注意：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x抽上，余弦线的 起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)：三角函数线是有向线段.典例剖析题型一终边相同角的表示 例1在一

5、720。0。范围内所有与45。终边相同的角为.答案 一675。或一 315。解析 所有与45。有相同终边的角可表示为：/j=45o+jtx360oez),那么令 一 720。w 45。+a x 360。<0。,很一765，wjlx360°<-45气 解得一笠炊一器,从而k=-2或人=一 1,代入得0= 一675。或0= 一315气变式训练1终边在直线)、=w上的角的集合为.答案.在(0,兀)内终边在直线y=j如上的角是*,.终边在直线y=3x上的角的集合为血=§+板，jtez|. 变式训练2己知角"为第三象限角，判断号为第儿象限角？3 jt解析 + 2

6、氐<2<"+2如伏仁z),二 +如与 +如(a e z). 当 k=2n(nez)时,*+2wv奇专+2mr, 当 k=2n+ l(nez)时，4-2m.堂为第二或第四象限角.解题要点(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角 的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合s=伽=2血+<z,虹z判断一个角夕所在的象限时，只需把 这个的写成05)范围内的一个角"与成的整数倍的和，然后判断角«的象pu.题型二三角函数的定义例2角。的终边经过点p(r, 6),且cos0

7、=一备 那么sin0=，以n0=,答案-h t解析瑚=商5=-备岫变式训练 角"的终边过点p( 8小，6sin 30。). 11 cos a= 答案！4-5解析./=.山+9,4-5c4"广1 nn项"0' .顽屯=为即也=5解题要点 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，应先需确定三个量：角的终边上 任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离/然后根据三角函数定义 中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号.题型三三角函数值的符号判定例3假设ian«x),那么.(填序号)sin a>0(2)co$ a>0sin

8、2a>0®cos 2a>0答案解析 排除法，取，满足tan «>0,但cos 2a<0,否认；.而仪>0, .亦(如，侦+彖ez)是第一、三象限角.asin a» cos仪都可正、可负.应选.变式训统 假设singing),且尚<0,那么角。是第象限的ian u答案三解析 由sin atana<0可知而a, lana异号，从而角a为第二或第三象限角.由梏表0可知海s (ana异号.从而角“为第三或第四象限角，故角q为第三象限角. lull (a解题要点熟记三角函数在各汝限内符号是解题的关键，理解并记忆：“一全正、二正弦、

9、三正切、四余弦”题型四 扇形面租公式与孤度制例4一扇形的i列心角为。=60：所在快1的半径为/?=l()cm.求扇形的弧长及该弧所 在的弓形的面积.解析 设弧长为弓形面积为s，”那么"=60。=争r=10, /=豚10=半(cm),s ；=s ii<s&=x-x 10icxsin(cm*).变式训练己知扇形周长为10,面枳是4,求扇形的网心角.解析设圆心角是0,半径是r,那么2r+冲=10, 如=4.r=4,(舍去).扇形的圆心的为§ 解题要点使用扇形的弧长公式：l=m r.扇形的面积公式：s=!=!|a|/时，应把角度 化为弦度制，然后再利用公式求解.当堂练

10、习i.与一525。的终边相同的角可表示为.(填序号)答案 l95°+a36(r(az)解析 一 525。= 195°2 360。，a = 195。+jt 360。次任 z).2.己知角5, 0), cosa那么2-y答案一乎匹22-315 . since3, 皿=漏=23. 己知cosuno.那么角所在的象限是答案第三或第四象限角解析 易知sin火0,且cosoho, 3是第三或第四象限的.4. 以下三角函数值的符号判断错误的选项是.(填序号) sinl60gx) cos290°>0(anl70g>0 tan300°<0答案解析 717

11、0°为第二象限ffb atan 170°<0.5. 角一870。的终边所在的象阻是.答案第三象限解析 由一870。= 一i ()8(广+210。知一"欢角和21()。角终边相同在第三象限.课后作业一、填空题i. 假设cosa=乎，且角仁的终边经过点 用，2),那么p点的横坐标x是.解析r=j?奇，由题意得'3尹=乎,：.x=-2y/3.2. 假设"是第三象限角，那么卜列各式中不成立的是.(坦序号)(dsina+cosa<0 (2)unasin«<0co$a tana<0®iana$ina<0答案&

12、#174;解析 在第三象限，sina<0, cos«<0, tana>0t那么可排除、，应选.3. 角。的顶点与原点重合.始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，那么解析取终边上一点(2勿，必0,根据任意角的三角函数定义，由血】0=2,可得coso=4. 将一300。化为孤度为.答案-3 解析300x焉=%5. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，那么其圆心布的弧度数为.答案v3解析 由题意可知圆内接正三角形的边长为睥 那么圆心角的弧度数为呼=56. "是第二象限角，其终边上一点p(x, >/3),旦cosq=x,那么since等于.解

13、析由三角函数的定义可知cos«=*r=jw，因为"是第二象限角，所以x<0.解得x=寸5.所以cos«=乎,，所以sina=.7.角g的终边经过点(一4, 3),那么cosa=.解析4-54<(-4) 2+324-58. 假设一扇形的圆心角为72。，半径为20cm，那么扇形的血枳为.答案80h cm2解析 v 72o= .s 成僧=3"广=于宵-乂20= 80ji(cm)9. 己知角"的顶点在原点.始边与x轴非负半轴重合，点代一4/n, 3m)(;n>0)是“终边上-点，那么 2sin a+cos a=.2-s解析: ioh=4(4/疔+(3，疗=5问=5心 >0),3-53-54-52-5-】()？；角“的埠边经过点p(1.2).那么sin2“的值是.0 wn2«=2xgx满卞.解析 vsina=, cosa=11.己知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.假设p（4, y）是角。终边上一点，旦 sino=曾客,那么y=答案-8 解析 因为/二丈日+）；=寸6+.,jlsino=,所以sinh=*=j金亍=一耳.所以 "为第四象限角，解得=一8.二、解答题12.设v为第四象限角，其终边上的一个点是p（x,寸），且cosa=x,求sin。和