高一上学期期末知识点总结

1、名师总结优秀学问点高一数学主要学问点清单必修一第一章集合1集合与元素1 集合元素的三个特点：确定性、互异性、无序性2 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示3 集合的表示法：列举法、描述法、图示法、自然语言4 常用数集：自然数集n；正整数集 n * 或 n +；整数集 z；有理数集q；实数集 r.5 集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集2集合间的基本关系1 子集、真子集及其性质子集：对任意的xa，都有 x b，就 ab 或 ba 真子集：如 a . b ，且在 b 中至少有一个元素x b，但 x.a ，性质： . a； a. a；a . b， b. c.

2、 a. c.如 a 含有 n 个元素，就a 的子集有2n 个， a 的非空子集有2n1个2 集合相等如 a. b 且 b. a，就a=b.3集合的运算及其性质1 集合的并、交、补运算并集： a b x|x a 或 xb ； 交集： ab x|xa 且 xb ；补集： c ua x|x u 且 x.a u 为全集， cua 表示 a 相对于全集u 的补集2 集合的运算性质a b a. b . a， a ba .ab ；a a a，a ；a a a，a a；a cua ，acuau ，cucuaa.（3）争论集合的两个工具：韦恩图和实数轴4 函数的基本概念1 函数的定义：设 a、b 是非空 数集

3、，假如根据某种确定的对应关系 f，使对与集合 a 中的 任意一个数 x，在集合 b 中都有 唯独 确定的数 fx和它对应，那么称 f ： ab 为从集合 a 到集合 b 的一个函数， 记作： yfx， xa.2 函数的定义域、值域在函数 y f x，x a 中，x 叫自变量， x 的取值范畴a 叫做定义域，与 x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合 fx|x a 叫值域值域是集合b 的子集3 函数的三要素：定义域、值域和对应关系4 相等函数：假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，就这两个函数相等；这是判定两函数相等的依据5函数的三种表示方法1 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法

4、2关于函数的解析式.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法就，二是要求出函数的定义域.名师总结优秀学问点.3 求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，假如已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数fgx 的表达式时，可用换元法，这时要留意元的取值范畴；当已知表达式较简洁时，也可用凑配法；如已知抽象函数表达式，就常用解方程组消参的方法求出fx4 两个特别的函数形式分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写

5、函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情形留意：如：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；复合函数：假如函数y=fu u m,u=gx x a, 就函数 y=fgx=fx （ 定义域为 x称为 f、g 的复合函数；a g xm ）（5）复合函数的单调性两个函数 复合而成的复合函数fgx的单调性与构成它的函数u=gx ，y=fu 的单调性之间的关系是：同增异减；留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.6 映射的概念一般地，设 a、b

6、是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法就f，使对于集合 a 中的任意一个元素 x，在集合 b 中都有唯独 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：a b 为从集合 a 到集合 b 的一个映射记作“ f： a b”7函数的单调性1 单调函数的概念设函数 yf x的定义域为i ，假如对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变量x ， x ，当 x121x 时，都有2f x1 f x2 或f x1 f x2 ，那么就说f x在区间 d 上是增函数 减函数 2 单调区间的概念假如函数 f x在某个区间d 上是增函数或减函数，就说f x在这一区间上具有严格的 单调性，区间 d叫 f x的单调区间

7、8 函数的最值设函数 yf x 的定义域为i，假如存在实数m 满意：对于任意的xi ，都有fxm 或 f x m ；存在x i ，使得 fx0 m .那么，称m 是函数 y f x的最大值 或最小值 09 偶函数、奇函数的概念一般地，假如对于函数f x 的定义域内任意x，都有 fxf x，那么函数fx就叫做偶函数偶函数的 图象关于y 轴 对称一般地，假如对于函数f x 的定义域内任意一个x，都有 fx fx，那么函数f x 就叫做奇函数奇函数的图象关于原点 对称10判定函数的奇偶性判定函数的奇偶性，一般都根据定义严格进行，一般步骤是：1 考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要非充

8、分条件2 考查表达式f x是否等于 fx或 fx：如 f x f x ，就 fx为奇函数；如 f x fx ，就 f x为偶函数；如 f x fx且 f x fx，就 fx既是奇函数又是偶函数；名师总结优秀学问点如 f x fx且 f x fx，就 fx既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数11 周期性一般 地 ，对 于 函 数fx ， 如 果 存 在 一 个非 零常 数t， 使 得 当 x取 定义 域 内的每 一 个 值都 有f xt f x ，那么函数f x就叫做周期函数，非零常数t 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f x ，假如在它全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫

9、做f x的最小正周期必修一其次章基本初等函数回忆、总结、升华1 根式1根式的概念假如一个数的n 次方等于an 1 且， nn * ，那么这个数叫做a 的 n 次方根也就是，如xna ，就 x叫做 a 的 n 次方根，其中n 1 且 nn *. 式子 n a叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数2根式的性质当 n 为奇数时， 正数的 n 次方根是一个正数， 负数的 n 次方根是一个负数， 这时，a 的 n 次方根用符号n a表示当 n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号 n a表示，负的 n 次方根用符号- n a表示正负两个nna次方根

10、可以合写为± aa0a nn a .当 n 为奇数时， nn a ；负数没有偶次方根当 n 为偶数时，n an |a|a, a0.a, a0nnam12有理数指数幂1幂的有关概念：正分数指数幂a m0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质m a nmna负分数指数幂aras a r s ar s a rs abr ar bra0，b 0， r 、sq3指数函数的图象与性质指数函数a 10 a1图象定义域r值域0, .性质过定点0,1.名师总结优秀学问点当 x0 时， y1；x0 时， 0y1当 x 0 时， 0 y1；x 0 时， y1.在 ， 上是增

11、函数在 ， 上是减函数4对数的概念1 对数的定义假如 axna0 且 a 1，那么数 x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作xlog a n ，其 中 a 叫做对数的底数，n 叫做真数2 几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a a0 且 a1logan常用对数底数为 10lg n自然对数底数为 eln n5 对数的性质与运算法就1 对数的性质 alog a n2 对数的重要公式n ； log aan na0 且 a1 换底公式：log a blog c ba， c 均大于零且不等于1 ；log c alog ab1log ba， 推广 logab·log bc ·l

12、og cd logad.m3对数的运算法就假如 a0 且 a 1， m 0， n0，那么log a mn log a mlog a n； log a n log a mlog a n ；log am n nlog am； log amm n n mlog am .6对数函数的图象与性质a 10 a1图象定义域： 0 ， 值域： r性质当 x1 时， y0当 0 x1， y 0过点1,0 .当 x 1 时， y0当 0x 1 时， y 0是0， 上的增函数是0， 上的减函数7反函数指数函数 y ax 与对数函数ylog ax 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称8 幂函数的定义 ：一般地，

13、形如yx r 的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量， 为常数名师总结优秀学问点9 幂函数的图象 ：在同一平面直角坐标系下，幂函数y x， yx2， y分别如右图幂函数的九种图象1x3 ，y x 2 ， y1x的图象10幂函数的性质函数yxy x2y x31y x 21yx定义域rrr 0, x|xr 且 x0值域r0 ， r0， y|yr 且 y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0 ， ，增 x， 0 ，减增增x0 ， ，减 x， 0 ，减定点1,1第三章函数的应用回忆、总结、升华函数图象的作法1描点法作图描点步骤： 1确定函数的定义域；2化简函数的解析式；3争论函数的性质：即单调性、奇偶性

14、、周期性、最值甚至变化趋势 ；4 描点连线，画出函数的图象2函数图象的变换法1平移变换水平平移： y f x± aa 0的图象，可由 y fx的图象向左 或向 右 平移 a 单位而得到竖直平移： y f x ±bb 0的图象，可由 y fx的图象向上 或向下 平移 b 单位而得到2对称变换yfx与 yfx的图象关于y 轴对称y f x与 yf x的图象关于x 轴对称y f x与 y fx的图象关于原点对称（3）周期变换假如函数 y fx 对定义域内的一切x 值，都满意fx+t fx，就函数周期为t；f xaf xa ，其中 a 是常数， 就函数周期为2a ；名师总结优秀学问

15、点4 翻折变换作为 y fx的图象， 将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变得到y |fx|的图象；作为 y fx在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y f|x|的图象5伸缩变换yaf x a 0的图象，可将y fx图象上每点的纵坐标伸a 1 时 缩a 1 时到原先的 a 倍.yfax a 0的图象，可将y fx的图象上每点的横坐标伸a1 时缩a1 时 到原先的 1a3 函数的零点1 函数零点的定义对于函数 yf x，我们把使f x0 的实数 x 叫做函数yf x的零点2 几个等价关系方程 fx0 有实数根 . 函数

16、y fx的图象与 x 轴有交点 . 函数 y fx有零点3 函数零点的判定 零点存在性定理 假如函数 yfx在区间 a，b 上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f af b 0 ，那么，函数 yf x在区间a，b 内有零点，即存在c a， b，使得 fc 0，这个 c 也就是方程fx0 的根5 二分法求方程的近似解1 二分法的定义：对于在区间 a，b 上连续不断且f af b 0 的函数 y f x ，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精确度 ，用二分法求函数fx零点近似值的步骤如下：确定区间 a，b ，验证

17、fa·fb0，给 定精确度 ；求区间 a，b 的中点c；运算 fc； 如 f c 0，就 c 就是函数的零点； 如 f a·fc 0，就令 bc此时零点 x0 a，c； 如 f c·f b 0，就令 ac此时零点 x0 c，b判定是否达到精确度 .即：如 |ab| ，就得到零点近似值a或 b；否就重复 .6三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y axa>1y logaxa>1y xnn>0在0， 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度爆炸性增长缓慢增长相对平稳图象的变化随 x 增大逐步表现为与_y 轴 随 x 增大逐步表现为与_x 轴 随

18、n 值变化而不同_平行平行7三种增长型函数之间增长速度的比较在0， 上，总会存在一个x0，使 x>x0 时有 log ax < xn <ax. 8常用的几类函数模型1 一次函数模型f x kxbk、b 为常数， k 0；2 反比例函数模型fx bk、b 为常数， k0 ；名师总结优秀学问点3 二次函数模型f x ax2 bx ca、b、c 为常数， a 0；4 指数函数模型f x a·bx ca、b、c 为常数， a0， b>0，b 1；5 对数函数模型f x mlogax nm、n、a 为常数， m0， a>0 ，a1 ； 6幂函数模型fxaxnba、

19、b、n 为常数， a 0， n1必修四第一章三角函数正角 : 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合， 终边落在第几象限，就称为第几象限角如：第一象限角的集合为k360k36090 , k终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为k 180 , k终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 为k9 0 k,3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度5、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，就角的弧度数的肯定值是l r1806、

20、弧度制与角度制的换算公式：2360 ， 1180， 157.3 7、如扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 c ，面积为s，就 lr，112c2rl ， slrr228 、 设是 一 个 任 意 大 小 的 角 ，的 终 边 上 任 意 一 点的 坐 标 是x, y， 它 与 原 点 的 距 离 是2rrxy2y0 ， 就 sinrx， cosr， tanyyx0x9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，其次象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线：sin， cos， tan11.同角三角函数间的关系（结合方程思想）tansin（ 切化弦，通

21、常弦化切应用于齐次式，即分子分母同时除以cos）cos22sin+ cos=1（平方关系，凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条件！）ptomax（ sin,cos,tan知一求二， 在实际的运算中往往构造简洁的直角三角形来运算，留意符号看象限）（2）平方关系结合2sincos变形有：名师总结优秀学问点12sincossincos212sincossincos2（ sincos,sincos,sincos即和、差、积知一求二）12、函数的诱导公式：1 sin 2ksin， cos 2kcos， tan 2ktank2 sinsin， coscos， tantan3 sinsin， cos

22、cos， tantan4 sinsin， coscos， tantan5 sin2cos，cos2sin6sin2cos，cos2sin口诀：函数名称不变，符号看象限口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：数性函y质sin xycosxytan x图象定义域rrx xk, k 2值域1,11,1r当x2kk时 ，当 x22kk时，最值ymax1；当 x2k2ymax1 ；当 x2k既无最大值也无最小值k时，ymin1 k时，ymin1 周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数名师总结优秀学问点在2k, 2k22在2k,2 kk单调性k上是增函数；在上是增函数；

23、在k, k222k, 2k3在2k,2 kkk上是增函数22上是减函数k上是减函数对称中心k,0k对称中心k,0k对称中心k,0k对称性对称轴xkk22对称轴 xkk2无对称轴14、将函数 ysinx 的图象上全部点向左（右） 平移个单位长度 ，得到函数 ysinx的图象；15、函数 ysinxk20,01的性质：振幅：；周期：；频率：f；相位：x；初相：2函数 ysinxk ，当 xx1 时， 取得最小值为ymin；当 xx2 时，取得最大值为ymax ，1就ymax2ymin1， kymax 2ymin，2x2x1x1x2争论函数ysinx的性质方法：把x当成整体 借助正余弦函数，或运用五

24、点法16. ya sinxk ,2 0， a 0）的图象： t五点法作图：x02xtx0x0432xt3t0x0242x0t010 10ka kk a+kksinxy快速作图 如：名师总结优秀学问点17.解三角方程18.解三角不等式19. ya sinxk , 0， a 0）的性质： t2性质：1xr,yak , akt220 单调性：令2kx222 k， kz 得到增区间；令2kx 32k， kz 得到减区间；2230 对称性：令xk， kz 得对称轴方程；2令x k，kz（ x0 ,0 ）为对称中心；图像变换：第一种方案： 函数 ysinx 的图象上全部点向左（右） 平移个单位长度， 得到

25、函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的1 倍（纵坐标不变） ，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的倍（横坐标不变） ，得到函数ysinx的图象其次种方案：函数ysinx 的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的1 倍（纵坐标不变） ，得到名师总结优秀学问点函数 ysinx 的图象；再将函数ysinx 的图象上全部点向左（右）平移个单位长度，得到函数 ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的倍（横坐标不变） ，得到函数ysinx的图象例如： y3sin 2 x图像

26、向右平移个单位 得 y=3sin2x-63的图像；20、正余型函数的奇偶性：1ya sinx是 奇 函 数kkz ； 2ya sinx是 偶 函 数kkz ；23 ya cosx 是 奇 函 数k kz 2； 4ya cosx 是 偶 函 数kkz ；k5 ya tanx 是奇函数kz .221.常见三角不等式：（1）如 x0, ，就 sin xx2tan x .2 如 x0, ，就 1sin x2cos x2 .3| sinx | cos x |1.必修四其次章平面对量1、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0 的向量单位向

27、量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点三角形不等式：ababab abba ；cabc；a00aa运算性质：交换律：结合律：abc坐标运算：设ax1 , y1， bx2 , y2，就 abx1x2 , y1y2ababcc名师总结优秀学问点3、向量减法运算：三角形法就的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设ax1 , y1， bx2 , y2，就 abx1x2 , y1y2设、两点的坐标分别为x1 , y1，x2 , y2

28、，就x1x2 , y1y24、向量数乘运算：实数与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa ；当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 运算律：aa ；aaa ；abab 坐标运算：设ax, y，就ax, yx,y5、向量共线定理：向量aa0与 b 共线，当且仅当有唯独一个实数，使 ba 设 ax1, y1， bx2 , y2，其中 b0 ，就当且仅当x1 y2x2 y10 时，向量 a 、bb0共线6、平面对量基本定理： 假如e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1

29、 、2 ，使 a1e12 e2（不共线的向量e1 、 e2 作为这一平面内全部向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点是线段12 上的一点，1 、2 的坐标分别是x1 , y1，x2 , y2，当x112 时，点的坐标是x2 , y1y2（当1时，就为中点公式；）118、平面对量的数量积： aba bcosa0, b0,0180零向量与任一向量的数量积为0 性质：设 a 和 b 都是非零向量，就abab0 当 a 与 b 同向时， a ba b ；当 a 与 b 反向时， a ba b ；a aa22a或 aa a a ba b 名师总结优秀学问点运算律：abba ；aba bab；abcacbc 坐标运算：设两个非零向量ax1 , y1， bx2 , y2，就 a bx1x2y1 y2 2如 ax, y，就 ax2y2 ，或ax2y2 设 ax1, y1， bx2 , y2，如 abx1 x2y1y20设 a 、 b都 是 非 零 向 量 ，ax1 , y1， bx2 , y2，是 a 与 b的 夹 角 ， 就c o sa bx1 x2a bx2y 2y1 y2x2 y211229、设 o 为abc 所在平面上一点，角a, b ,c 所对边长分别为a, b,c ，就 o 为abc 的外心22oaob2oc. o 为abc