函数的泰勒级数48856

1、第五节第五节 函数的泰勒级数函数的泰勒级数 一、泰勒级数的概念一、泰勒级数的概念 .)(),(,),(级数级数在该区间内可展开成幂在该区间内可展开成幂则称则称内和恰为内和恰为在其收敛区间在其收敛区间若能找到一个幂级数若能找到一个幂级数给定函数给定函数xfxfxf泰勒公式：泰勒公式： )()(!)()()()(00)(00 xrxxnxfxxxfxfxfnnn 拉格朗日余项：拉格朗日余项： 之间之间与与介于介于010)1( )()!1()()(xxxxnfxrnnn n阶泰勒多项式：阶泰勒多项式： nnnxxnxfxxxfxfxp)(!)()()()(00)(000 误差：误差： )!1()()

2、()()(10)1( nnnnxxnfxpxfxr 泰勒级数：泰勒级数： nnnnnxxnxfxfxxnxf)(!)()()(!)(00)(0000)(.)()()(!)()()()(),(,)()(000)(0000内可展开成泰勒级数内可展开成泰勒级数在在则称则称即即且其和函数为且其和函数为内收敛内收敛的泰勒级数在的泰勒级数在若若xuxfxxnxfxxxfxfxfxfxuxfnn 定理：定理： )( 0)(lim )()()(,)()(00 xuxxrxrxfxfxuxfnnn 满足满足的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项是是勒级数的充要条件勒级数的充要条件在该邻域内可展开成泰在该邻域内可展

3、开成泰则则内具有各阶导数内具有各阶导数在在设函数设函数（1 1）函数能展开成幂级数，则这个幂级数必定是）函数能展开成幂级数，则这个幂级数必定是 泰勒级数，且展开式唯一。其系数为泰勒级数，且展开式唯一。其系数为 （2 2）泰勒级数是否收敛于函数取决于余项的极限。）泰勒级数是否收敛于函数取决于余项的极限。 !)(0)(nxfann 0)(lim ,)(, 0)(0!)0(0 00 )(0)(/12 xrxfxfxnfxxexfnnnnnx只因只因不能展开成泰勒级数不能展开成泰勒级数故函数故函数但但的泰勒级数的泰勒级数如如二、函数展开成幂级数的方法二、函数展开成幂级数的方法 1 1、直接展开法、直接

4、展开法 麦克劳林级数：麦克劳林级数： nnnnnxnfxfxffxnf!)0(! 2)0()0()0(!)0()(20)(直接展开法、间接展开法直接展开法、间接展开法 函数展成麦克劳林级数的步骤：函数展成麦克劳林级数的步骤： ;),0(),0(),0()1()(的值的值求出求出nfff ;,!)0()2(0)(rxnfnnn并求其收敛半径并求其收敛半径作出幂级数作出幂级数 . )( ,0)(lim)3(的展开式的展开式所得级数是否为所得级数是否为以判别以判别是否成立是否成立验证验证xfxrnn ., )4(否成立否成立以确定展开式对端点是以确定展开式对端点是的连续性的连续性级数的敛散性及函数级

5、数的敛散性及函数检查收敛区间端点处幂检查收敛区间端点处幂例例1 1、将下列函数展开成、将下列函数展开成 的幂级数：的幂级数： xxxfexfxsin)()2( )()1( 2 2、间接展开法、间接展开法 基本公式：基本公式： ),( )!12()1(sin),( !)1 , 1( 1101200 xnxxxnxexxxnnnnnxnn例例2 2、将下列函数展开成、将下列函数展开成 的幂级数：的幂级数： xxxfxxfaaaxfxxfxarctan)()4( )1ln()()3()1, 0()()2( cos)()1( 例例3 3、将下列函数展开成、将下列函数展开成 的幂级数：的幂级数： x231)()4( )1(1)()3( )1()()2( )32ln()()1(22 xxxfxxfexxfxxfx例例4 4、将下列函数展开成指定点处的幂级数：、将下列函数展开成指定点处的幂级数： 2 21)()3(2 2sin)()2(1 )32ln()()1(