高一数学第一学期集合、函数知识点总结

1、高 一 数 学 必 修1 各 章 知 识 点 总 结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的 确定性 如：世界上最高的山(2) 元素的 互异性 如：由happy的字母组成的集合h,a,p,y(3) 元素的 无序性 :如： a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示：如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 , 大西洋, 印度洋 , 北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：a= 我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n正整数集n* 或 n+整数集

2、 z有理数集q实数集 r1） 列举法： a,b,c2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；xr| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） venn 图:4、集合的分类：21有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x= 5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意： ab 有两种可能（ 1）a 是 b 的一部分，；（ 2）a 与 b 是同一集合；反之 :集合 a 不包含于集合b, 或集合b 不包含集合a, 记作 ab或 ba2“相等”关系：a=b 5

3、5，且 55，就 5=52实例： 设a=x|x-1=0 b=-1,1“元素相同就两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集；aa真子集 : 假如 ab, 且 ab 那就说集合a 是集合 b 的真子集，记作 ab或 ba假如ab, bc , 那 么 ac 如 果 a b同时 ba 那 么 a=b3.不含任何元素的集合叫做空集，记为2规定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合，含有三、集合的运算n 个子集， 2n-1 个真子集第 1 页 共 10 页运算交集并集补集类型定由全部属于a 且属义于 b 的元素所组成的集合 , 叫做 a,b 的由全部属于集合 a 或属

4、于集合 b 的元素所组成的集合， 叫做 a,b设 s 是一个集合，a 是s 的一个子集，由 s 中全部不属于 a的元素组成的集合， 叫做 s 中子交集 记作 ab（ 读的并集 记作： ab集 a 的 补集 （或余集）作 a 交b），即ab= x|xa，且（读作 a 并 b），即ab =x|xa，或记作 c s a ，即xbxb csa=x | xs,且xa韦恩ababsa图示图 1图 2性aa=aa =ab=baaba质abbaa=aa=aab=baababbcuac ub= c u abcuac ub= c uabac ua=uac ua=例题：1. 以下四组对象，能构成集合的是（ a）a

5、某班全部高个子的同学b闻名的艺术家c 一切很大的书d 倒数等于它自身的实数2. 集合 a ， b，c 的真子集共有7个3. 如集合 m=y|y=x 2-2x+1,xr,n=x|x 0 ，就 m与 n 的关系是 m=n.4. 设 集 合 a= x 1x2 ， b= x xa ， 如 ab，就 a 的取值范畴是a>=25.50 名同学做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40 人，化学试验做得正确得有31 人，两种试验都做错得有4 人，就这两种试验都做对的有人；6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 （ 含 边 界 上 的 点 ） 组 成 的 集 合m=.7.

6、 已知集合 a=x| x 2+2x-8=0, b=x| x2-5x+6=0, c=x| x2-mx+m2-19=0,如b c， ac=，求 m的值a:2 -4 b:2 39-3m+m.m-19=0 m=-2 5当 m=5 ,c:2,3,即 ac=2,第 2 页 共 10 页二、函数的有关概念1函数的概念：设a、b 是非空的数集，假如依据某个确定的对 应关系 f ，使对于集合a 中的任意一个数x，在集合 b 中都有唯独确定的数fx和它对应，那么就称f ： a b 为从集合a 到集合b 的一个函数记作：y=fx， x a其中， x 叫做自变量，x 的取值范畴a 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的

7、y 值叫做函数值，函数值的集合fx| x a 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必需大于零；(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不行以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一样 两点必需

8、同时具备 见课本 21 页相关例22值域:先考虑其定义域1 观 察法2配方法 3 代换法3.函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , xa 中的 x为横坐标，函数值y 为纵坐标的点px ， y 的集合c，叫做函数 y=fx,x a 的图象 c 上每一点的坐标x ，y 均满意函数关系 y=fx，反过来， 以满意 y=fx的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x ， y ，均在c上 .(2) 画法a、 描点法：b、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区

9、间的数轴表示 5映射一般地，设a、b 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对 应法就 f ，使对于集合a 中的任意一个元素x ，在集合b中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：ab 为从集合a 到集合 b 的一个映射；记作“f （对应关系） ： a（原象）b（象）”第 3 页 共 10 页对于映射f ： ab 来说，就应满意：(1) 集合 a 中的每一个元素， 在集合 b 中都有象， 并且象是唯独的；(2) 集合 a 中不同的元素，在集合b 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合b 中的每一个元素在集合a 中都有原象；6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式

10、的函数；(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域集补充：复合函数假如y=fuu m,u=gxx a, 就 y=fgx=fxx a称为 f 、g 的复合函数；二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （ 1）增函数设函数 y=fx的定义域为i ，假如对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变量x 1， x 2，当 x1<x2 时，都有fx 1<fx2 ，那么就说fx在区间 d 上是增函数 . 区间 d 称为 y=fx的单调增区间.假如对于区间 d 上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x 1<x2 时， 都有 fx 1

11、fx 2 ，那么就说 fx 在这个区间上是减函数 . 区间 d 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质；（ 2）图象的特点假如函数y=fx在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3.函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法： 1任取 x 1， x 2 d，且 x1<x2； 2作 差 fx 1 fx 2 ； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判定差fx 1 fx 2 的正负）； 5下结论（指出函数fx在给定的区间d 上的单调性） (b)

12、 图象法 从图象上看升降(c) 复合函数的单调性复合函数f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ，y=fu 的单调性亲密相关，其规律：“同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有 fx=fx，第 4 页 共 10 页那么 fx就叫做偶函数（ 2）奇函数一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x ，都有f x=-fx，那么 fx就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步

13、骤： 1 第一确定函数的定义域，并判定其是否关于原点对称； 2 确 定 f x 与 fx的关系； 3 作出相应结论：如f x = fx或 f x fx = 0，就 fx是偶函数；如f x = fx或 fx fx = 0，就fx是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称，如不对称就函数是非奇非偶函数. 如对称，1 再依据定义判定; 2由 f-x± fx= 0 或 fx f-x=± 1 来判定 ; 3 利用定理， 或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式（ 1） . 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数

14、关系时，一是要求出它们之间的对应法就，二是要求出函数的定义域 .（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx在区间 a ， b 上单调递增，在区间b ， c 上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值fb；假如函数y=fx在区间 a ， b 上单调递减，在区间b ， c 上单调递增就函数y=fx在 x=b 处有最小值fb；例题：1. 求以下函数的定义域：2x2x15x1 2 y y1x

15、33x12. 设函数f x 的定义域为 0， 1 ，就函数f x 2 的定义域为 _ _3. 如函数f x1 的定义域为 2， 3 ，就函数f 2 x1 的定义域是【0.2 】第 5 页 共 10 页x2 x14. 函数f xx2 1x2xx22， 如 f x3， 就 x =5. 求以下函数的值域：2 yx2x3xr yx 22x3x1,23yx12 x4yx4x526. 已知函数f x1x24x ，求函数f x ，f 2x1的解析式7. 已知函数f x满意 2f xf x3x4，就f x =；8. 设 f x 是 r 上的奇函数，且当f x在 r 上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：x0

16、, 时,f xx13 x , 就 当 x,0 时f x =yx22x3 yx22x3yx26 x110. 判定函数 yx 31 的单调性并证明你的结论1x2111. 设函数f x1x2判定它的奇偶性并且求证：f xf x 一、指数函数其次章基本初等函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念： 一般地， 假如 xn其 中 n >1， 且 n n * a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00 ；当 n 是奇数时，n ana ，当 n 是偶数时，n an| a |aa0aa02分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：ma nn a m a

17、0, m, nmn * , n1，amn11aanma n0,m,nn * , n10 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（ 1）a r · a ra r sa0,r , sr ；第 6 页 共 10 页rsrs（ 2） a aa0,r , sr ；rrs（ 3） aba aa0,r , sr （二） 指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地， 函数 ya x a0,且a1 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为r留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质1a>10<a<1665544

18、33221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 r定义域 r值 域 y 0值域 y 0在 r 上单调递增在 r 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0， 1）函数图象都过定点（ 0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图象仍可以看出：（ 1）在a ，b 上， f x ax a0且a1 值域是f a, f b 或f b, f a ；（ 2） 如 x0 ，就 f x 1 ；fx取遍全部正数当且仅当x r ；（ 3）对于指数函数二、对数函数（一）对数f xa x a0且a1 ，总有f 1a ；1对数的概念： 一般地， 假如 a xn a0, a1 ，那么数 x 叫

19、做以a 为底 n 的对数， 记作： xlog an （ a 底 数 ， n 真数 ， log a n 对数式）说明： 1留意底数的限制a0 ，且 a1； 2a xnlognx ；a 3留意对数的书写格式两个重要对数： 1常用对数：以10 为底的对数lg nlog a n；第 7 页 共 10 页 2自然对数： 以无理数 e2.71828为底的对数的对数ln n 指数式与对数式的互化幂值真数aa b nlogn b底数指数对数（二）对数的运算性质如 果 a0 ， 且 a1 ， m0 ， n0 ，那么： 1log a m· n log a m log a n ；m 2log anlog

20、a m log a n ；n 3log a mn log a mnr 留意：换底公式log a blog c b（ alog c a0 ， 且 a1；c0， 且 c1 ；b0 ）利用换底公式推导下面的结论（ 1）nloga m bn logb ；（ 2） logb m1log b aaa（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y log axa0 ， 且 a1 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0， +）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别；如：y2 log 2 x ， yxlog 55都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2对数函数对底数的限制：2、对

21、数函数的性质：a0 ， 且 a1 a>10<a<1332.521.51 10.52.521.51 10.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678定义域 x 0定义域 x 0第 8 页 共 10 页值域为 r值域为 r在 r 上 递增在 r 上递减函数图象都过定点（ 1， 0）函 数 图 象 都 过 定 点（ 1， 0）（三）幂函数1、幂函数定义： 一般地， 形如 y其中为常数2、幂函数性质归纳x ar 的函数称为幂函数，（ 1）全部的幂函数在 （ 0，+）都有定义并且图象都过点（ 1，1）；（ 2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0, 上是增函数 特殊地， 当1时，幂函数的图象下凸；当 0幂函数的图象上凸；1时，（ 3）0 时，幂函数的图象在区间 0, 上是减函数 在第一象限内， 当 x 从右边趋向原点时， 图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴正半轴，当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无限地靠近 x 轴正半轴例题：x1. 已知 a>0，a0，函数 y=a 与 y=log a-x 的图象只能是b2.