2022年七年级下学期多边形及其内角和

1、学习必备欢迎下载多边形及其内角和目标认知 学习目标：1. 明白多边形，多边形的对角线，正多边形等有关的概念；2. 把握多边形内角和与外角和公式；3. 敏捷运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并把握探究、归纳图形性质的推理方法，进一步培育说理和进行简洁推理的才能.重点：多边形内角和及外角和公式的敏捷应用.难点：1. 多边形内角和公式的推导.2. 多边形内角和及外角和公式的应用学问要点梳理学问点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（ 1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边

2、形的顶点内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有 n 个内角；外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；（ 2）在定义中应留意：一些线段（多边形的边数是大于等于3 的正整数）；首尾顺次相连，二者缺一不行;懂得时要特殊留意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情形 ,即空间多边形 .2、多边形的分类 :(1) 多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，假如整个多边形都在这条直线的同一侧，就此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1） .本章所讲的多边形都是指凸多边形 .凸多边形凹多边形图 1(2) 多边形通常仍以边数命

3、名，多边形有n 条边就叫做 n 边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形学问点二：正多边形各个角都相等、 各个边都相等的多边形叫做正多边形；如正三角形、正方形、正五边形等；正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不行 . 如四条边都相等的四边形不肯定是正方形， 四个角都相等的四边形也不肯定是正方形， 只有满意四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 .学问点三：多边形的对角线多边形的对角线 ：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 . 如图 2， bd 为四边形 abcd 的一条对角线；要点诠释

4、：(1) 从 n 边形一个顶点可以引 n 3条对角线，将多边形分成n 2个三角形；(2) n 边形共有条对角线；证明 ：过一个顶点有 n 3 条对角线 n 3 的正整数 ，又共有n 个顶点，共有nn3 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，凸n 边形，共有条对角线；学问点四：多边形的内角和公式1. 公式：边形的内角和为.2. 公式的证明：证法 1： 在 边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为.证法 2： 从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等

5、于.证法 3：在 边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数， 即.要点诠释：(1) 留意：以上各推导方法表达出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想；(2) 内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数；学问点五：多边形的外角和公式1. 公式： 多边形的外角和等于360° .2. 多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为，外角和等于.留意： n 边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少无关；要点诠释：(1) 外角

6、和公式的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角度数.(2) 多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于n 2·180° n 3，n 是正整数 ，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1 条边，内角和增加180°；多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关；学问点六：镶嵌的概念和特点1、定义： 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全掩盖，通常把这类问题叫做用多边形掩盖平面 或平面镶嵌 ；这里的多边形可以外形相同，也可以外形不相同；2、实现镶嵌的条件： 拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形

7、有公共边；3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1) 用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360°；(2) 只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形，怎样判定它能否拼成一个平面图形，且不留一点间隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点；当环绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起 恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形；事实上，正n 边形的每一个内角为，要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点，恰好掩盖地面，这样360°，由此导出 k 2，而 k 是正整数， 所以 n 只能取 3,4，6；因而， 用

8、相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用；留意： 任意四边形的内角和都等于360°；所以用一批外形、大小完全相同但不规章的四边形地砖也可以铺成无间隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面；(3) 用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形 “交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题；例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如， 用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，由于它们的交接处各角之和恰好为

9、一个周角360°；规律方法指导1. 内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数削减，内角和削减. 每增加一条边，内角的和就增加 180°（反过来也成立） ，且多边形的内角和必需是180°的整数倍 .2. 多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.3. 多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角 .4. 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法 .5. 在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，

10、是争论复杂图形的基础，同时留意转化思想在数学中的应用.经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用1. 一个多边形的内角和等于它的外角和的5 倍，它是几边形？ 思路点拨 :此题实际告知了这个多边形的内角和是.解析： 设这个多边形是边形，就它的内角和是，所以，解得.所以这个多边形是十二边形.总结升华： 此题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，依据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式 1】如一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.【答案】 设这个多边形的边数为，依据题意得：，解得.所以多边形的边

11、数为10.【 变式 2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°， 求这个多边形的内角和是多少？【答案】 设这个多边形的边数为，这个内角为， 就，即.由于等式左边是 180°的整数倍，所以等式右边也是180°的整数倍 .又由于，所以，此时.所以这个多边形的内角和是：.【变式 3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数；【答案】 可设多边形的边数为n，某一个外角为 就n 2× 180 1350从而 n2=由于边数 n 为正整数，所以 90， n 9类型二：多边形对角线公式的运用2. 某校七年级六班举办篮球

12、竞赛，竞赛采纳单循环积分制 （即每两个班都进行一次竞赛） .你能算出一共需要进行多少场竞赛吗？思路点拨： 此题表达与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图：解析： 共需要竞赛（场） .所以一共需要进行15 场竞赛 .总结升华： 对于其他学科问题要善于把它与数学学问联系在一起，便于解决.举一反三：【变式 1】一个多边形共有20 条对角线，就多边形的边数是（） . a 6b 7c 8d 9【答案】 c. 提示：一个多边形的对角线条数为条，将 6、7、8、9 分别代入， 结果为 20 的即为正确答案.【变式 2】一个十二边形有几条对角线；解析 ：过十

13、二边形的任意一个顶点可以画9 条对角线，那么十二个顶点可以画12× 9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，所以实际对角线的条数应当为12× 9÷ 254（条）十二边形的对角线共有54 条；总结升华 ：对于一个 n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式， 以后只要用相应的n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在懂得的基础之上才能记得牢；类型三：可转化为多边形内角和问题3如图，求 a+ b+ c+ d+ e+ f+ g 的度数 .思路点拨 : 设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角和公式求解.解析： 连接 bf，就

14、 a+ g= 1+ 2. a+ abc+ c+ d+ e+ efg+ g= 1+2+ abc+ c+ d+ e+ efg.=5-2· 180° = 540° .总结升华： 此题通过作帮助线，把a 与 g 的和转化为 1 与 2 的和，从而把问题变为求五边形的内角和运算， “转化思想”是解决此题的关键.举一反三：【变式 1】如下列图， 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6=.【答案】 360° .（提示：把 1、 2、 3、 4、 5、 6 转移到同一个多边形内.）【变式 2】如下列图，求a b c d e f 的度数；解析 ：连结 ed，在 aob 和 do

15、e 中， aob doe ， 1 2 a b a b c cdo oef f 2 1 c cdo oef f c cde def f 360°类型四：实际应用题4如图，一辆小汽车从p 市动身，先到b 市，再到 c 市，再到 a 市，最终返回p 市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨： 依据多边形的外角和定懂得决.解析： 如图，当小汽车从 p 动身行驶到 b 市，由 b 市向 c 市行驶时转的角是，由 c 市向 a市行驶时转的角是，由 a 市向 p 市行驶时转的角是.因此，小汽车从 p市动身，经 b 市、c 市、a 市，又回到 p 市，共转.总结升华： 旋转的角度是指原先前进的方向与转

16、弯后的方向的夹角.小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转过的角度都是360°；举一反三：【变式 1】如下列图，小亮从a 点动身前进10m，向右转 15°，再前进10m，又向右转 15°，这样始终走下去，当他第一次回到动身点时，一共走了 m.【答案】 240. 提示：小亮每次向右转的角度相同，并且前进的路程也相同，因此当他第一次回到动身点a 时，所走的路程是一个正多边形的周长，每次转的角度是这个正多边形的一个外角， 所以这个正多边形的边数是360°÷ 15° =24 ，所以小亮一共走了10×24=240（m）【变式 2】小华从

17、点 a 动身向前走 10 米，向右转 36°，然后连续向前走 10 米，再向右转 36°，他以同样的方法连续走下去，他能回到点 a 吗？如能，当他走回点 a 时共走了多少米？如不能，写出理由；解析 ：可以走回到 a 点，共走 100 米，理由，依据多边形的外角和是 360°可知，每次向右转 36°，并且都走 10 米，可得，小华共转 10 次，故共走 100 米；所以，可以走回到 a 点，共走 100 米；【变式 3】如下列图是某厂生产的一块模板，已知该模板的边ab cf， cd ae.按规定 ab 、cd 的延长线相交成80°角，因交点不在模

18、板上，不便测量. 这时师傅告知徒弟只需测一个角，便知道ab 、cd 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由 .思路点拨： 此题中将 ab 、cd 延长后会得到一个五边形，依据五边形内角和为540°， 又由 ab cf， cd ae ，可知 bae+ aef+ efc=360 °，从 540°中减去 80°再减去360°，剩下 c 的度数为 100°，所以只需测 c 的度数即可，同理仍可直接测 a 的度数.解析： 测 a 或 c 的度数，只需 a=100 °或 c=100 °， 即知模板中 ab

19、、cd 的延长线的夹角是否符合规定. 理由如下：连接 af ， ab cf， baf+ afc=180 ° .又 eaf+ e+ afe=180 °， bae+ e+ efc=360 °.如 c=100 °，就 ab 、cd 的延长线的夹角即符合规定 .=540°360° 100° = 80 °，同理：如连接 ce，可得 aef+ f+ dcf=360 ° .如 a=100 °，就也符合规定.总结升华： 此题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加帮助线.类型五：镶嵌问题5分别画出用相同边

20、长的以下正多边形组合铺满地面的设计图；(1) 正方形和正八边形；(2) 正三角形和正十二边形；(3) 正三角形、正方形和正六边形；思路点拨： 只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌；解析： 正三角形、 正方形、 正六边形、 正八边形、 正十二边形的每一个内角分别是90°、 120°、 135°、 150°；60°、(1) 由于 90 2× 135360，所以一个顶点处有1 个正方形、 2 个正八边形， 如图 1 所示；(2) 由于 60 2× 150360，所以一个顶点处有1 个正三角形、

21、 2 个正十二边形，如图2所示；3 由于 60 2× 90 120 360，所以一个顶点处有正方形，如图 3所示；1 个正三角形、 1 个正六边形和2 个总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形 “交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题；举一反三：【变式 1】分别用外形、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是 a 、b、c、d、【答案】 c解析： 用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用， 不能用正五边形木板，应选c；【变式 2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起

22、并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，就第三块木板的边数应是 a 、4b、5c、6d、8【答案】 a（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2，然后用360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）【变式 3】（ 2021 内蒙古赤峰）下面平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（ ）a 任意一个三角形b 任意一个四边形c任意一个正五边形d 任意一个正六边形【答案 】c解析： 把两个三角形的 6 个内角放在一处，恰好是360°；四边形的内角和为360°， 能够镶嵌平面；正六边形每一个内角是120°， 120

23、 是 360 的约数，也能够镶嵌平面；正五边形的每一个内角是108°， 108 不是 360 的约数，不能镶嵌平面学习成果测评基础达标： 挑选题1.多边形的内角和不行能是（） .a.1800 °b.540 °c.800°d.360 °2.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 .a.3 个b.4 个c.5 个d.6 个3. 四边形中 ,假如有一组对角都是直角,那么另一组对角可能 .a. 都是钝角 ;b. 都是锐角c.是一个锐角、一个钝角d.是一个锐角、一个直角4. 如从一个多边形的一个顶点动身,最多可以引 10 条对角线 ,就它是 .a. 十三边

24、形b.十二边形c.十一边形d.十边形5. 如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是（） .a.30 °b.35°c.36 °d.42°6.如图， a+ b+ c+ d+ e+ f= .a.180 °b.360°c.540°d.720 °7. 如图，至少去掉 个点，才能使留下的任何三个点都不能组成一个正三角形 .a 2b 3c 4d 58. 从一个边形中除去一个角后，其余个内角和是2580°，就原多边形的边数是（ ） .a.15b.17c.19d.139.（ 2021 广东肇庆）一个多

25、边形的内角和是外角和的2 倍，就这个多边形是（ ）a. 四边形b.五边形c.六边形d. 八边形10.（ 2021 福建泉州）如下列图，在折纸活动中，小明制作了一张abc 纸片，点 d 、e 分别在边 ab 、ac上，将 abc 沿着 de 折叠压平， a 与重合，如 a=70 °，就 1+ 2= （ ）a.140 °b.130°c.110°d.70 °填空题11. 假如一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135° , 那么这个多边形的边数最少为 .12. 已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:

26、2，就这个多边形的边数为.13. 一个多边形， 每个内角的度数都比它相邻的外角度数的2 倍多 45°，就它是 边形 .14. （ 为整数，且）边形的内角和比边形的内角和小度.15. 一个多边形的每一个外角的度数等于与其相邻内角的度数的，就这个多边形是 边形 .16. 如下列图， 一个顶角为 40°的等腰三角形纸片， 剪去一个顶角后， 得到一个四边形，就 1+ 2=.17. 一个多边形的每个内角都等于120°，就从今多边形一个顶点动身引出 条对角线 .18. 小勇制造了一个简洁的机器人，小勇遥控它每前行1m 就向左转 30°，再向前行 1m又向左转 30&

27、#176;，问它需要走m 才能走回原地 .解答题19. 凸 边形的个内角与某一个外角的总和为1450°，就的值是多少？20. 四个村庄地理位置如图，点a 、b 、c、d 处，为明白决四个村庄饮水问题，现预备兴建一座地下水供水厂，问建在何处，材料费用最低，画出示意图，并说明理由.才能提升1.如下列图 ,用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去 ,当摆到 20 层时,需要多少根火柴 .2.如下列图，某厂规定一块模板中ab 、cd 的延长线相交成 80°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接ac ，测得 bac=34 °， dca=65 °，此时 a

28、b 、cd 的延长线相交的角是否符合规定？为什么？3.将一块正六边形硬纸片如图 （1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图（2），需要在每一个顶点处减去一个四边形，如图（1）中的四边形 aga h ，求 ga h 的大小 .（ 1）（ 2）4.（开放性问题）一个长方形被截掉一个角后，得到一个多边形，此多边形的内角和是多少度？综合探究：1. 如下列图，求 a+ b+ c+ d+ e+ f 的度数 .2. 已知六边形abcdef ，如图，它的每个内角都相等，且ab=1 ，bc=cd=de=9 ，求这个六边形的周长 .答案与解析基础达标： 挑选题1.c.提示： 依据多

29、边形内角和定理，可知，内角和肯定是180°的整数倍，故其不行能为多边形的内角和 .2.a.3.c.4.a.5.c.提示： 将五角星的五个角转移到一个三角形中，由三角形内角和定理以及五角星的各个角都相等，即可求出各个角的度数.6.b.提示： a+ b 、 c+ d 、 e+ f 转移到中间三角形的外角位置上. 7.c.8.b.提示： 设除去的内角为，就，即，又为整数，.9.c提示：已知任意多边形的外角和是360°，可以知道其内角和是720° 利用内角和公式可知这个多边形是一个六边形10.a 提示：由 a=70 °得 aed+ ade=110 °，再由折叠可知， 故填空题11.9.12.11.13.八.提示： 由于外角和度数为360°，就可设出边数，再依据内角和公式列方程解题. 设边数为，就有，解得.14.180° .提示：.15.八.提示： 设每个外角为，就，解得，而多边形边数.16.220° .提示： 由顶角为 40°可知两底角和为140°，