3、二元一次不等式与线性规划(精)

1、二元一次不等式与线性规划(1)二元一次不等式表示平面区域：先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y- >0的解为绝标的点的集合 (兀,刃|兀+ y -1 > 0所在的平面区域.由x+ y-l > 0得y > 兀+ 1,令y > y()= -x() +1, 则点(兀°, yq)在直线y = -x + l,即x + y -1 = 0上点(x0,刃在点(x0,y0)的上方，即在直线 x + y- = q的上方.所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-> 0的解为坐 标的点的集合(兀y) | x + y -1 > 0是在直线兀+ y

2、-1 = 0右上方的平面区域.一般地，二元一次不等式ax + by + c > 0在平面直角处标系中表示直线ax + by + c = 0 某一侧所有点组成的平面区域.说明:二元一次不等式ar + by + c » 0在平面直角坐标系中表示直线ax + by + c二0 某一侧所有点组成的平而区域口包括边界；事实上，(x, y) | /lv + c > 0 = (x, _y) | ar + by + c > 0 u (兀,y) i av + by + c = 0 作图时，不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.推导:举例说明. 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方

3、法：方法1：记住下列一般性结论：若b > 0,则ar+by + c>0表示直线ax+by + c = 0上方的平面区域.ax + by + c v 0表示直线ar + by + c = 0卜方的平而区域.若b<0/则ax + by + c > 0表示直线ax+by + c = 0卜"方的平面区域.ar + by + c v 0表示直线ax+ by+ c = q上方的平面区域.若b = 0, a > 0,则加+ c > 0表示直线ar + c = 0右侧的平而区域.ax+c<0表示肓线ax + c = 0左侧的平面区域.若b = 09a<

4、0f则ar + c > 0表示直线ar+c = 0左侧的平面区域.ax + c<0表示直线ar+c = 0右侧的平面区域.方法2:取特殊点检验；原因：由于对在直线ax+by + c = 0的同一侧的所有点(x, y)，把它的坐标(兀,y)代入ar + by + c,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (兀°,比),从ax0 + by。+ c的正负即可判断ar+by + c>0表示直线哪一侧的平面区域. 特殊地”当c h 0时，常取原点检验.对于二元一次不等式组，则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是 不等式组表示的平

5、面区域.求不等式(组)表示的平血区域的一般步骤： 先依不等式作直线，注意虚实； 取点:在肓线的某一侧取一点； 确定符号,即确定直线某一侧的符号； 若为不等式组，则各不等式表示平面区域的公共部分.(2)线性规划问题：引例：已知 /(x) = px2-qk-4< /(i) <-1,-1< /(2) < 5,求 /(3)的取值范围.4 5 p _ q £ 1错解：山彳、:=>0<p<3,l<<7-1 < 4p-< 5而f= 9p_q利用不等式性质得7 5 /(3) = 9p-q<26f() = p-q=pi /=4p-

6、q = vv-ju正解:iii3v-4/3q 5jfij - 4 < / < -11 < i/ < 5, /(3) = 9p -1/所以 /(3)w-1,20错解屮似乎没有任何漏洞，那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使岀现错渓呢?通过今 天的学习线性规划，我们便可以发现问题出在哪里了.基本概念：设z = 2x + y，式中变量满足下列条件：x-4y <-3<3x + 5y<25，求z的最大值和最小值.x>线性规划的基本概念：1线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量坷，兀2,，匕的限制条件称为 约束条件)在上述问题中，不等式组是-组变

7、量兀,丿的约束条件，这组约束条件都是关于 兀的一次不等式，故又称线性约束条件.2. 线性目标函数：（关于变量西，兀2,达到最大值或最小值的解析式称为目标函数）关于兀,y的一次式 z = 2x + y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量兀,y的解析式，叫线性目标函数（例 如关于兀,y的解析式：z = 2x+y,z = x2 +尸等等的叫做（=|标函数）.3. 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约朿条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问 题.4. 可行解、可行域和最优解：a.满足约束条件的解（x,刃叫可行解.b由所有可行解组成的集合叫做可行域.可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放

8、的无限大的平面区域如果对行域是一个 多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最值，最优解一般就是多边形的某个顶点, 确泄方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线z,z2,/的斜率为何北2,而且目标函数的直线的斜率为匕则当ki<k<时,直线i,与l1+i相交的顶点一般是最优解;特别的，当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行 仏二&川寸,其最优解可能有无数个.c.使冃标函数取得最大或最小值的门j行解叫线性规划问题的最优解.5. 线性规划问题：求线性冃标函数在线性约束条件下的最大值或最

9、小值问题，统称为线性规划问题. 用图解法解决线性规划的一般步骤：1 画：画出约束条件表示的可行域；2. 移：作出目标函数并平移确定岀最优解的位置；3. 求：根据直线方程求解出最优解；4. 算：根据最优解算出最优值（最大值或最小值）；5. 特：若要求的是整数解，则町行域是一些点集（整数点），求解过程中应打网格. 实际问题中的线性规划：建模：注意审题，根据题意列出线性规划模型；（2）求解：利用图解法求解模型（注意实际意义）.【经典例题】【例1】设变量d满足约束条件二負则目标函数“y + 2,的最小值为（）a. 1 b. 2 c. 3 d 4【例2】设兀,yw r,且满足x-y + 2 = 0,则不

10、7的最小值为若兀,y又满足y4 -兀，则丄的取值范围是x【例3】设z = 2x+y,式屮变量满足条件"【例4】设0为坐标原点，人（1），若点b满足x-4y < -33x+5y<25,求z的最人值和最小值. x>lx2 + y2 -2x-2y + l >0,l<x<2,则鬲而的1< y<2a. v2b. 2c. 3d. 2 + v2最小值为x+y<t【例5已知不等式组b-y>-l,表示的平面区域为m,若直线y = kx-k与平面区域y>0m有公共点，则£的収值范围是（a ）a-*0【易错题】0 < x &

11、lt; 2,【例1】已知不等式m x+y-2>0,所表示的平面区域的面积为4,则r的值为 kx-y + 2>0b. -3d. 0a. 1c. 1 或-3【答案】a"no,【例2】不等式组xy1m0,所表示的平面区域的面积等于3x- 2y- 6wo严0,【例3设变量兀，y满足兀y- 10,则该不等式组所表示的平面区域的面积等2y- 6wo,于；z二兀+ y的最大值为.x+y-3<0【例4】目标函数z = 2x+y在约朿条件2x-y>0下収得的最大值是沖0x>0【例5】已知满足 歹5兀伙为常数），若z = x + 3y的最大值为&则r二2兀+y +

12、k <0【课堂练习】x+y >0,1.在平面直角坐标系屮，不等式组jx-y + 4>0,所表示的平面区域的面积是9,则实数d的 x<a值为x+y >0,2若实数兀，y满足条件<兀一歹+ 3»0,则2兀一歹的最人值为（）0<x<3,a. 9b. 3c. 0d. -3y + xwl,3 若实数兀，y满足不等式组歹一兀52,则z = x 2y的最小值为（）y>0,a.b. 2c. 1d.一2 2y<0,4若变y满足约束条件< x-2y>l,则z = 3x + 5y的取值范围是（）x-4y<3,a. 3,+oo)b

13、卜&3c.(-8,9d.&9y>05.在平面上有两个区域m和n,其中m满足* x- y>0, n由+ l确定，当1 = 0x + y<2时，m和n公共部分的血1积是；当0gg时，m和n的公共部分面积的最大值为【课后作业】x>0,1、不等式组x-y-l>0,所表示的平面区域的面积等于.3x-2y-6<0y<2%2、点p(x,y)在不等式组y>-x表示的平面区域内，则z = x+y的最大值为.x<23、已知qv，则下列不等式正确的是a. >b. a2 >b2c. 2-a>2-bd. 2il > 2ha b

14、x> 2,4、平血上满足约朿条件的点(兀,刃形成的区域为q,则区域d的面积为x-y-6<0:设区域d关于直线y = 2x-1对称的区域为e,则区域d和区域e中距离最近的两点的距离为x-y>05、若满足条件<x+y-2s 0的整点(x,y)恰有9个，其屮整点是指横、纵坐标都是整数的y>a点，则整数q的值为a. -3 b. -2 c. -1 d. 0x+j>0,6、若实数兀，y满足条件jx-y + 3>0,则2x-y的最大值为0<x<3,a. 9b. 3c. 0d. -3x+y>0,7、若实数兀，y满足条件xy + ino,贝ij|x 3y|