高三一轮专题复习二元一次不等式与简单的线性规划问题

1、学习必备欢迎下载二元一次不等式组与简洁的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域1 一般地， 二元一次不等式axby c>0 在平面直角坐标系中表示直线ax byc 0 某一侧全部点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式ax by c 0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，就把边界直线画成实线 .2 由于对直线ax by c 0 同一侧的全部点x， y，把它的坐标x， y代入 ax by c，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特别点x0， y0作为测试点，由ax0 by0 c 的符号即可判定ax by c>0

2、表示的直线是ax by c 0 哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量 x， y 组成的一次不等式线性约束条件由 x， y 的一次不等式 或方程 组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x， y 的一次解析式可行解满意线性约束条件的解可行域全部可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是1 在平面直角坐标系内作出可行域.2 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.3 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线

3、，从而确定最优解.4 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.学习必备欢迎下载1.判定下面结论是否正确请在括号中打“”或“×”1 不等式 ax by c>0 表示的平面区域肯定在直线ax by c 0 的上方 .×2 不等式 x2 y2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域.3 不等式组3x y6<0， x y 2>0， x 0， y0表示的平面区域是下图中的阴影部分.×4 线性目标函数的最优解可能是不唯独的.5 线性目标函数取得最值的点肯定在可行域的顶点或边界上.6 目标函

4、数 zax byb 0中，z 的几何意义是直线ax byz0 在 y 轴上的截距2.以下各点中，不在x y1 0 表示的平面区域内的是.×a.0,0b. 1,1c. 1,3d.2 ， 3答案c解析把各点的坐标代入可得 1,3不适合，应选c.3.如实数 x， y 满意不等式组x y 1， x y 1， 3x y 3，就该约束条件所围成的平面区域的面积是a.3b.答案c52c.2d.22解析由于直线x y 1 与 x y 1 相互垂直，所以如下列图的可行域为直角三角形，易得 a0,1 ， b1,0， c2,3，故|ab|2， |ac| 22，其面积为1× |ab|×

5、|ac| 2. 2学习必备欢迎下载4.2021湖·南 如变量 x， y 满意约束条件y 2x， x y1， y 1，就 x 2y 的最大值是 555a. 2b.0c. 3d. 2答案c解析画出可行域如图.23111z12设 z x 2y，平行移动直线y 2x 2z，当直线 yx 过点 m 2，时， z 取最大值 353，5所以 x2ymax 3.5.2021浙·江 设 z kx y，其中实数x，y 满意x y2 0， x 2y 4 0， 2xy 4 0.如 z 的最大值为12，就实数k .答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：1由图可知当0 k<2时，直线y kx z

6、 经过点 m 4,4时 z 最大，所以4k 4 12，解得k 2舍去 ；当 k1时，直线y kx z 经过点 0,2时 z 最大，此时z 的最大值为2，不2合题意；当 k<0 时，直线y kxz 经过点m 4,4时 z 最大，所以4k4 12，解得 k 2，符合题意 .综上可知， k 2.学习必备欢迎下载题型一二元一次不等式组 表示的平面区域例 1如不等式组x 0， x 3y 4， 3x y 4所表示的平面区域被直线ykx 4分为面积相等的两部分，3就 k 的值是7343a. 3b. 7c. 3d. 444思维启发画出平面区域，明显点0， 3 在已知的平面区域内，直线系过定点0， 3 ，

7、结合图形查找直线平分平面区域面积的条件即可.答案a解析不等式组表示的平面区域如下列图.由于直线y kx4过定点30， 43.因此只有直线过ab 中点时，直线y kx 4能平分平面区3域.15由于 a1,1 ， b0,4，所以 ab 中点 d2， 2 .当 ykx 4过点155k4，时 ， ，3222237所以 k 3.思维升华二元一次不等式组表示平面区域的判定方法：直线定界，测试点定域.留意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，如直线不过原点，就测试点常选取原点.学习必备欢迎下载如图，在平面直角坐标系中，已知abc 三个顶点的坐标分

8、别为a0,1 ，b2,2， c2,6，试写出 abc 及其内部区域所对应的二元一次不等式组.解由已知得直线ab、bc、ca 的方程分别为直线ab： x 2y2 0，直线 bc： x y 4 0，直线 ca： 5x2y 20， 原点 0,0 不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等x y 4 0式组为x 2y 2 0. 5x 2y 20题型二求线性目标函数的最值例 2设 x， y 满意约束条件：x 4y 3 3x 5y25 x 1，求 z x y 的最大值与最小值.思维启发作可行域后，通过平移直线l0： x y 0 来查找最优解，求出目标函数的最值.解先作可行域，如下

9、列图中abc 的区域，且求得a5,2、，b1,1 、c122) ，作出直线 l 0：xy 0，再将直线l0 平移，当 5l0 的平行线l1 过点 b 时，可使z x y 达到最小值；当l0 的平行线 l 2 过点 a 时，可使zx y 达到最大值 .故 zmin 2， zmax 7.思维升华1线性目标函数的最大小值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.2 求线性目标函数的最优解，要留意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系 .1 已知平面直角坐标系xoy 上的区域d由不等式组0 x2， y 2，x2y给定 .如m x， y为 d 上的动点，点a 的坐标为 2，1 ，

10、就 z 的最大值为om ·oa学习必备欢迎下载a.3b.4c.32d.4222021课·标全国 已知 a>0，x， y 满意约束条件x 1， x y3， y a x3 ，如 z2x y 的最小值为 1， 就 a 等于11a. 4b. 2c.1d.2答案1b2b解析1由线性约束条件0 x2， y 2，x2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zom ·oa2x y，将其化为 y2x z，结合图形可知，目标函数的图象过点2， 2时，、z 最大，将点 2， 2的坐标代入z2x y 得 z 的最大值为4.2 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分 .易知直线z 2x

11、y 过交点 a 时， z 取最小值，x 1，由y a x 3 ，x 1，得y 2a， zmin 22a 1，1解得 a 2，应选 b.题型三实际生活中的线性规划问题例 32021 ·江西 某农户方案种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量 /亩年种植成本 / 亩每吨售价黄瓜4 吨1.2万元0.55 万元韭菜6 吨0.9万元0.3 万元为使一年的种植总利润总利润总销售收入总种植成本最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积 单位：亩 分别为学习必备欢迎下载a.50,0b.30,20c.20,30d.0,50思维启发依据线性规划

12、解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题.答案b解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，就由题意可知x y50， 1.2x0.9y 54， x， yn ，求目标函数zx 0.9y 的最大值，依据题意画可行域如图阴影所示.当目标函数线l 向右平移，移至点a30,20 处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20 亩时，种植总利润最大.思维升华线性规划的实际应用问题，需要通过审题懂得题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格， 找出线性约束条件，写出所争论的目标函数，转化为简洁的线性规划问题，再按如下步骤完成：1 作图 画出约束条件所确定

13、的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条 l；2 平移 将 l 平行移动，以确定最优解的对应点a 的位置；3 求值 解方程组求出a 点坐标 即最优解 ，代入目标函数，即可求出最值.某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7辆载重量为6 吨的乙型卡车.某天需送往a 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只 能送一次 .派用的每辆甲型卡车需配2 名工人， 运输一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1 名工人，运输一次可得利润350 元，该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆 数，可得最大利润z 为a.4 650 元b.4 700 元c

14、.4 900 元d.5 000 元学习必备欢迎下载答案c解析设该公司合理方案当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x，y，就依据条件得x，yxy 12， 2xy 19，满意的约束条件为10x 6y 72， x 8，y 7， x n* ， y n* ，目标函数z 450x 350y.作出约束条件所表示的平面区域如图，然后平移目标函数对应的直线450x 350y 0即 9x 7y 0知，当直线经过直线 x y 12 与 2x y19 的交点 7,5 时，目标函数取得最大值，即 z 450×7 350×5 4 900.题型四求非线性目标函数的最值例 41 设实数 x， y 满意x y

15、2 0， x 2y 4 0， 2y 3 0，就y的最大值为 . x2 已知 o 是坐标原点，点a1,0 ，如点 m x， y为平面区域x y 2， x 1， y 2，上的一个动点，|oa om就|的最小值是 .思维启发与二元一次不等式 组表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.答案132解析1y2322x， y与原点 0,0连线的斜率，在点1 ，3处取到最大值.表示点x 2222 依题意得， oaom x 1， y， |oa om |x 1 y 可视为点x， y与点 1,0间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该

16、平面区域内的点中，由点 1,0向直线 x y2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点 1,0的距离最小，因此|oaom |的最学习必备欢迎下载小值是| 1 02|32.22思维升华常见代数式的几何意义有x(1) 2 y2表示点 x，y与原点 0,0 的距离；(2) x a 2 y b 2表示点 x， y与点 a，b之间的距离；y(3) 表示点 x， y与原点 0,0连线的斜率； xy b(4)x a表示点 x， y与点 a， b连线的斜率 .设不等式组x1， x2y 3 0， yx，所表示的平面区域是1，平面区域2 是与 1 关于直线 3x 4y 90 对称的区域，对于1 中的任意一点a 与

17、2 中的任意一点b， |ab|的最小值等于28a. 5b.4c.125d.2答案b解析由题意知，所求的|ab|的最小值，即为区域1 中的点到直线 3x 4y 90 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如下列图，可看出点 1,1到直线 3x 4y 9 0 的距离最小，故|ab|的最小值为 2×|3× 1 4× 1 9|5 4，选 b.线性规划问题中忽视参数范畴致误典例： 5 分已知 x，y 满意约束条件 |x| 2|y| 2，且 z ymxm 0的最小值等于2，就实数 m 的值等于 .易错分析此题简洁显现的错误主要有两个方面：1 没有将肯定值不等式转

18、化为不等式组，画不出正确的可行域；学习必备欢迎下载2 没有对参数m 的取值情形进行分类争论，造成漏解，只得到m 1.解析原不等式等价于以下四个不等式组：x 0， y 0， x 2y 2，x 0， y 0， x 2y 2，x 0， y 0， x 2y 2，x 0， y 0， x 2y 2，因此可画出可行域如图 ：由 z y mx 得 y mx z.1 当 m>1时，由图形可知，目标函数在点a2,0 处取得最小值， 2因此 2 02m，解得 m 1.2 当 0<m 1时，由图形可知，目标函数在点d 0， 1处取得最小值， 2因此 2 1 m× 0， m 无解 .3 当 m&l

19、t;1时，由图形可知，目标函数在点c 2,0处取得最小值， 2因此 2 02m，解得 m 1.4 当1 m<0 时，由图形可知，目标函数在点d0， 1处取得最小值， 2因此 2 1 m× 0， m 无解 .综上，实数 m 的值等于 1 或 1.答案 1 或 1温馨提示 1含肯定值不等式表示区域的画法含有肯定值的不等式所表示的平面区域，应当依据变量的取值情形，将不等式中的肯定值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含肯定值不等式所表示的平面区域 .2 正确运用分类争论的方法此题是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有

20、参数，当在目学习必备欢迎下载标函数中含有参数时，参数的不同取值将要影响到最优解的位置，因此要依据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情形进行分类争论，在运动变化中查找问题成立的条件，从而得到参数的取值.假如在约束条件中含有参数，那么随着参数的变化，可行域的外形可能就要发生变化，因此在求解时也要依据参数的取值对可行域的各种情形进行分类争论，以免显现漏解.方法与技巧1.平面区域的画法：线定界、点定域留意实虚线 .2.求最值：求二元一次函数zax by ab 0的最值，将函数 z ax by 转化为直线的斜截式：y ax z，通过求直线的截距z 的最值间接求出z 的最值

21、 .最优解在顶点或边界取得.bbb3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量， 列出线性约束条件；写出要争论的函数，转化成线性规划问题.失误与防范1.画出平面区域 .防止失误的重要方法就是第一使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z的最值间接求出z 的最值时，要留意：当b>0 时，截距 z取最大值时，bbz 也取最大值；截距z取最小值时，z 也取最小值；当b<0 时，截距 z取最大值时，z 取最小bb值；截距 z取最小值时， z 取最大值 . ba 组专项基础训练时间： 40 分钟 一、挑选题1.在直角坐标平面内，不等式组yx 1 y0

22、 0 x t所表示的平面区域的面积为3，就 t 的值为 2a. 3或3b. 3 或 1c.1d.3学习必备欢迎下载答案c解析不等式组y x 1y 0 0 x t所表示的平面区域如图中阴影部分所示.y x 1由x t解得交点bt， t 1，在 y x 1 中，令 x 0 得 y 1，1 t 1 × t32即直线 y x 1 与 y 轴的交点为c0,1，由平面区域的面积s2 2，得 t 2t 30，解得 t 1 或 t 3不合题意，舍去，应选 c.2.直线 2x y 10 0 与不等式组x 0， y 0， x y 2， 4x 3y 20表示的平面区域的公共点有a.0 个b.1 个c.2

23、个d. 很多个答案b解析在坐标平面内画出直线2xy 10 0 与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1 个.3.2021天·津 设变量 x， y 满意约束条件3x y 6 0， x y2 0， y 30，就目标函数z y2x 的最小值为a. 7b. 4c.1d.2答案a解析可行域如图阴影部分含边界 令 z 0，得直线l 0： y 2x 0，平移直线l0 知，当直线l 过 a 点时，z 取得最小值 .y 3，由x y 2 0得 a5,3. zmin 32× 5 7，选 a.学习必备欢迎下载x2 y2 4，就 4.o 为坐标原点，点m 的坐标为 1,1 ，如点nx

24、， y的坐标满意2x y 0，y 0，om ·on 的最大值为a.2b.22c.3d.23答案b解析如图， 点 n 在图中阴影区域内，当 o、m 、n 共线时， om ·on最大，此时n2，2， om ·on 1,1 ·2，2 22，应选 b.5.2021山·东 在平面直角坐标系xoy 中， m 为不等式组2x y 2 0， x 2y 1 0， 3x y 8 0所表示的区域上一动点，就直线om 斜率的最小值为11a.2b.1c. 3d. 2答案c解析画出图形，数形结合得出答案.2x y2 0，如下列图，x 2y1 0， 3x y8 0所表示的平

25、面区域为图中的阴影部分.x 2y 1 0，由3x y 8 0，得 a3， 1.1当 m 点与 a 重合时， om 的斜率最小，kom 3.二、填空题6.已知 z 2x y，式中变量x，y 满意约束条件y x， x y 1， x 2，就 z 的最大值为 .答案5解析在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点2， 1时，学习必备欢迎下载相应直线在x 轴上的截距最大，此时z 2x y 取得最大值，最大值是 z 2× 2 1 5.7.设 z 2x y，其中 x， y 满意x y0 x y0 0 yk，如 z 的最大值为6，就 k 的值

26、为 ，z 的最小值为 . 答案2 2解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x y6，结合图形分析可知，要使z 2xy 的最大值是6，直线 y k必过直线2x y 6 与 x y 0 的交点，即必过点2,2，于是有k2； 平移直线2x y 6，当平移到经过该平面区域内的点 2,2时，相应直线在 y 轴上的截距达到最小，此时z2xy 取得最小值，最小值是z2×2 22.8.铁矿石 a 和 b 的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的co2 的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c如表：ab万吨 c百万元 a50%13b70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨 铁，如要求co2 的排放

27、量不超过2万吨 ，就购买铁矿石的最少费用为 百万元 .答案15解析设购买铁矿石a、 b 分别为 x 万吨， y 万吨，购买铁矿石的费用为 z百万元 ，就0.5x 0.7y 1.9x 0.5y 2，x 0y 0目标函数z 3x6y，0.5x 0.7y1.9，由x 0.5y 2，x1，得y2.记 p1,2，学习必备欢迎下载画出可行域可知，当目标函数z 3x6y 过点 p1,2时， z 取到最小值15.三、解答题9.如直线 x my m 0 与以 p 1， 1 、q2,3为端点的线段不相交，求m 的取值范畴 .解直线 x mym 0 将坐标平面划分成两块区域，线段 pq 与直线 x mym 0 不相

28、交，就点 p、 q 在同一区域内，于是，.值范畴是m< 121 m m>0 2 3mm>0 1mm<0，或2 3m m<0，所以， m 的取10.已知 x， y 满意条件7x 5y 230 x7y 11 0 4x y 100，求 4x 3y 的最大值和最小值.7x5y 23 0解不等式组x 7y 11 0 4x y10 0表示的区域如下列图.可观看出4x 3y 在 a 点取到最大值，在b 点取到最小值 .解方程组7x5y 23 0，4x y 10 0x 1得，y 6就 a 1， 6.解方程组x7y 11 04x y 10 0x 3，得.y 2就 b 3,2，因此

29、4x 3y 的最大值和最小值分别为14， 18.学习必备欢迎下载b 组专项才能提升时间： 30 分钟 1.2021 课·标全国 已知正三角形abc 的顶点 a1,1，b1,3，顶点 c 在第一象限，如点x，y在 abc 内部，就z xy 的取值范畴是 a.1 3， 2b.0,2c.31,2d.0,1 3答案a解析如图，依据题意得c13，2.作直线 x y0，并向左上或右下平移，过点b1,3和 c1 3，2时，z x y 取范畴的边界值， 即 13 2< z< 1 3， z x y 的取值范畴是 1 3， 2.2.2021广·东 给定区域 d ：x 4y 4 x y4. x 0令点集 t x0，y0 d|x0， y0 z ， x0， y0是 z xy 在 d 上取得最大值或最小值的点 ，就 t 中的点共确定 条不同的直线 .答案6解 析线