中大学微积分(上)总复习课

1、 微积分微积分iaia总复习总复习函数与极限函数与极限一、主要内容一、主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) )代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数)

2、 )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limaxfxx )(lim0axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么不论它多么小小),总存在正数总存在正数n,使

3、得对于使得对于nn 时的一切时的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn., 0, 0 axnnnn恒有恒有时时使使1 1、极限的定义、极限的定义定义定义n 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的的一切一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 axf)(, ,那末常数那末常数a就叫

4、函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim00 xxaxfaxfxx 当当或或定义定义 .)(,0, 0, 00 axfxx恒有恒有时时使当使当左极限左极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000axfxfaxfxx 定理定理无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(l

5、im0 xfxfxxx或或记作记作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有

6、极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如

7、果如果推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.准则准则 如果当如果当),(00rxux (或或mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00axhaxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于a.5 5、判定

8、极限存在的准则、判定极限存在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某过程某过程.)1(lim1e 某过程某过程6 6、两个重要极限、两个重要极限);(, 0lim)1( o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 cc;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如

9、果特殊地特殊地7 7、无穷小的比较、无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存在存在且且设设.),0, 0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的是是是是就说就说如果如果kkcck 定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的

10、连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, ,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点. .1 1、连续的定义、连续的定义).(

11、)(lim200 xfxfxx 定义定义定理定理.)()(00既左连续又右连续既左连续又右连续处处在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf :)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(li

12、m)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf4 4、间断点的定义、间断点的定义(1) 跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数

13、义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 5 5、间断点的分类、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点: :.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类间断点类间断点的第二的第二为函数为函数则称点则称点至少有一个不存在至少有一个不存在右极限右极限处的左处的左在点在

14、点如果如果xfxxxf.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .定理定理2 2).(lim)

15、()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、

16、闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该

17、区间上有界. .推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 aaf )( 及及 bbf )(, ,那末，对于那末，对于a与与b之间的任意一个数之间的任意一个数c，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得cf )( )(ba . .导数与微分导数与微分求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分x

18、ydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分导数的定义导数的定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.求导法则求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则( )

19、( ),1( ).( )xyyf xfxy如果函数的反函数为则有(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(5) (5) 隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数

20、关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则高阶导数高阶导数,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydy

21、xf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)微分的定义微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xadyxdfdyxxxfyxaxxfyxaxoxaxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )导数

22、与微分的关系导数与微分的关系).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx dxxfdy)(

23、中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用洛必达法则洛必达法则rolle定理定理lagrangelagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 cauchycauchy中值定理中值定理taylortaylor中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用罗尔中值定理罗尔中值定理罗尔罗尔（r rolleolle）

24、定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端且在区间端点的函数值相等，即点的函数值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该在该点的导数等于零，点的导数等于零， 即即0)( f 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那那末在末在),(ba内至少有一点内至少有一

25、点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.柯西中值定理柯西中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf泰勒泰勒(taylor)(taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一的一个

26、个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xrn之和之和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 泰勒中值定理泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之间之间与与在在其中其中xxxxnfxrnnn 洛必达法则洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决

27、将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.导数的应用导数的应用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在可导可导内内上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就

28、称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理( (必要条件必要条件) )

29、定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)如果如果),(00 x

30、xx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, )(xf符符 号相同号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理( (第一充分条件第一充分条件) ) 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理( (第二充分条件第二充

31、分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3(判断极值点判断极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大

32、值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;（或最小）值（或最小）值函数值即为所求的最大函数值即为所求的最大点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的内的图形是凹的在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内的

33、图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲

34、线的拐点曲线的拐点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数 , 则则 点点 )(,00 xfx是是 拐拐 点点 的的 必必 要要 条条 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻

35、域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间

36、.(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.1.120

37、dxyds 弧微分弧微分002 .lim.sks 曲 率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图圆圆为半径作为半径作为圆心为圆心以以使使取一点取一点在凹的一侧在凹的一侧处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线mdkdmdmkkyxmxfy 定义定义,是是曲曲率率中中心心d.是曲率半径是曲率半径 .1,1 kk曲率圆曲率圆.30不定积分不定积分积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本

38、积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分原函数原函数 如如果果在在区区间间i内内，可可导导函函数数)(xf的的导导函函数数为为)(xf， 即即ix ， 都都 有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函数数)(xf就就称称为为)(xf或或dxxf)(在在区区间间i内内原原函函数数.定义定义原函数存在定理原函数存在定理 如果函数如果函数)(xf在区间在区间i内连续，那内连续，那么在区间么在区间i内存在可导函数内存在可导函数)(xf，使，使ix ，都有，都有)

39、()(xfxf .即：即：不定积分不定积分(1) 定义定义 在在区区间间i内内，函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称称为为)(xf在在区区间间i内内的的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(cxfdxxf )()(函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线. dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3) 不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()

40、( cxfdxxf)()( cxfxdf)()(第一类换元法第一类换元法直接积分法直接积分法定理定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(a

41、rctan. 82dxxxf 第二类换元法第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)( t ，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式常用代换常用代换:.,)(. 1rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换.,)(. 322ashtxxaxf 令令如如双曲函数代换双曲函数代换.1. 4tx 令令倒置代换倒置代换分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公

42、式dxvuuvdxvu duvuvudv 选择选择u u的有效方法的有效方法: :liateliate选择法选择法l-对数函数；对数函数；i-反三角函数；反三角函数；a-代数函数；代数函数；t-三角函数；三角函数；e-指数函数；指数函数； 哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp 11101110)()(其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；naaa,10及及mbbb,10都是实数，并且都是实数，并

43、且00 a，00 b.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln. 1caxaaxadx ;)(1()(. 21caxnaaxadxnn ;arctanln2. 342422222cqxqnqpxxmdxqpxxnmxpppmp dxqpxxnqpxxdxpxmdxqpxxnmxnmpnn)()()2(2)(. 42222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxr)cos,(sinduuuuuur

44、22221211,12 （2） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxr（3） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(nbaxxr ),(necxbaxxr 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令定积分与广义积分定积分与广义积分问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积

45、分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积a）iniixfa )(lim10 曲曲边边梯梯形形 由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitvs )(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21tt上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求，求

46、物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 s.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点i （iix ），），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,

47、1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和s总总趋趋于于确定的极限确定的极限i，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我们称这个极限我们称这个极限i为函数为函数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfs )(1 ，可积的两个可积的两个条件：条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1定理定理2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点

48、，则)(xf在区间在区间,ba上可积上可积.3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1

49、dxba ab 性质性质4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设m及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abmdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上

50、具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xf是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(afbfdxxfba .)()(babaxfdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一

51、原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv定积分的应用定积分的应用微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式（1）u是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）u对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就

52、是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则u相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而u等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iu 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量u.所求量的特点所求量的特点微元素法微元素法1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间,ba；2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,

53、dxxx ，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量u 的近似值如果的近似值如果u 能近似地表能近似地表示为示为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量u的元素且记作的元素且记作du，即，即dxxfdu)( ；3）以以所所求求量量u的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfu)(，即即为为所所求求量量u解题步骤解题步骤定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfa)(xyo)

54、(1xfy )(2xfy badxxfxfa)()(12aa直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdttta （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 da2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r da)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfvba2)( dyy

55、vdc2)( xyo)(yx cdxo badxxav)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xa(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21a曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy b曲线弧为曲线弧为c曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfs)(1)(22侧侧无穷级数无穷

56、级数常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径r r泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(xr为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数满足狄满足狄 氏条件氏条件0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 nnnuuuuu3211常数项级数常数项级数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121级数的部分和级数的部

57、分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级

58、 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若ssn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛定义定义0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散

59、) ). .(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;设设 1nnu为正项级数为正项级数,如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),则则级级数数 1nnu发发散散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.(3) (3)

60、 极限审敛法极限审敛法(4) (4) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 d dalembertalembert 判别法判别法) )设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.(5) (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. .定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数