全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标1)

1、2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1）2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标1) ?1 .已知集合知=*一1<1<3,% = #2<犬<1，则/nN=()A. (-2,1) B. (-1,1) C. (1,3)D. (-2,3)2 .若tana>0 ,则A. sinc?>0 B. cosa > 0 C. sin 2a >0 D. cos2a > 03 .设 z = + i / 则 I z 1= l + i224.已知双曲线£ . = (a> 0)的离心率为2 ,则。=A. 2 B. - C

2、. - D. 1225 .设函数/(x),g(x)的定义域为R，且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结 论中正确的是A. /(x)g(x)是偶函数B. l/(x)lg(x)是奇函数C. x)l g(x)l是奇函数D. l/(x)g(x)l是奇函数6 .设D,E,F分别为A48C的三边BC,CA, AB的中点，则丽十定=A. AD B. -AD C. -BCD. BC227.在函数y = cosl 2x1 / v =lcosxl , y = cosQx + 3, y = tan(2x-巳)64中，最小正周期为乃的所有函数为A. B. C.D.8 .如图，网格纸的各(1幅都是正方形，粗实线

3、画出的事一个几何体的三视图，则 这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9.执行右面的程序框图,若输入的”,力,分别为1,2,3,则输出的M =()b啊aT3B-i C-T试卷第3页，总5页10 .已知抛物线C： y2 =.x的焦点为F,彳鼠乂 )是C上一点=，o ,则Xo =A. 1 B. 2 C. 4 D. 811 .已知函数/'(1)=尔_3/+1,若/(x)存在唯一的零点%,且%>0,则。的 取值范围是(A) (2,+oo)(B) (1,十8)(D)1)I X + V >12 .设k, y满足约束条件. 一 ：且Z = X + "的最

4、小值为7,则"(A) -5(B) 3(C) -5 或 3(D) 5 或-313 .将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻 的概率为.14 .甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过8城市；乙说：我没去过。城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.15 .设函数则使得f(x)<2成立的I的取值范围是.X3 ,x> 1,16 .如图，为测量山高MN ,选择4和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测 得 M点的仰角ZM4N = 60。，C点的仰角NCAB = 45。以及ZM4C =

5、75° ;从C 点测得NMC4 = 60。.已知山高8。= 100m，则山高M/V =m .17 .已知q是递增的等差数列，%，%是方程'2-5x + 6 = 0的根。(I)求4的通项公式;(口)求数列殳>的前项和.18.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由 测量表得如下频数分布表：质量指标值分组75 , 85)85 , 95)95 , 105)105 , 115)115 , 125)频数62638228(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：上频率/组距(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中

6、点值作代表)；(III)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标 值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19 .如图，三棱柱A8C-A向G中，侧面8为GC为菱形，片。的中点为。，且40_L 平面84GC.(1)证明：B.C1AB;(2 )若 AC _L A4, /CBB = 60°, 8C = 1,求三棱柱 ABC - 44G 的高.20 .已知点P(2,2),圆。：W+)，2-8.，=。，过点尸的动直线/与圆。交于48两点，线段A8的中点为M ,。为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当OP = |。叫时，求/的方程及蓟OM的面积21 .设函

7、数/(力=1门+4/一尔”1),曲线y = x)在点(L /)处的切线斜率为0求b；若两与 “使得/("。)< E，求a的取值范围。22 .如图，四边形A8CQ是的内接四边形，A3的延长线与。C的延长线交于 息E ,且CB = CE.D(I)证明：ZD = ZE ;(II)设不是。的直径，4。的中点为M ,且=,证明：MDE为等边三角形.23 .已知曲线。：=+ = 1 ,直线/:' = ： + ：(，为参数) 49v = 2-2r写出曲线。的参数方程，直线/的普通方程；过曲线C上任意一点P作与/夹角为30。的直线，交I于点A ,求|PH的最大值与最 小值24 .若 a

8、 > 0,> 0,且 1 1 = 4ab a b(I)求/+3的最小值；(II)是否存在，使得为+劝=6 ?并说明理由.试卷第#页，总3页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考.参考答案1 . B【解析】试题分析：根据集合的运算法则可得：M n N = 曰 -1 < X < 1,即选B.考点：集合的运算2 . C【解析】试题分析：由tan a =出0> 0 ,可得：sin a,cosa同正或同负，即可排除A和B ,又 cos a由sin2a = 2sinacosa ,故sin2a>0.考点：同角三角函数的关系【解析】1111试题分析：根据复数运算

9、法则可得：.干+、5矿尸:三,由模的运算可得：IZ1=一正2 考点：复数的运算4 D【解析】试题分析：由离心率e = £可得:/ = G = 2:,解得：a = 1. acr考点：复数的运算5 C【解析】试题分析：由函数/(x),g(x)的定义域为R，且/(X)是奇函数，g(x)是偶函数，可得: I /(X)I和I g(x) I均为偶函数根据一奇T禺函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数 的规律可知选C.考点：函数的奇偶性6 . A【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在MEF中,9 I I.EB = EF + FB = EF + -AB ,同理 FC = FE

10、 +EC = FE + AC f 则22 + FV = ( + -) + (FT + -AC) = (-AB + -AC) = -(AB + AC) = AD22222考点：向量的运算7 . A【解析】试题分析：中函数是一个偶函数，其周期与)，= COS2相同，r =寻=笈；中函数y =lcosxl的周期是函数y = cosx周期的一半，即7 =乃；7 =-=%；T = y , 则选A考点：三角函数的图象和性质8 . B【解析】试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，亮相等.可得几何体如下图所示.考点：三视图的考查9 D【解析】1 33试题分析：根据题意由143成立，则循环，即M=l +

11、： = a = 2力=不 =2；又由2 229 QQQ2W3成立，则循环，即M=2 + g = £a = 5力=不 =3；又由3«3成立，则循环，即 J J乙J3315R1515M =，+，= , = -,/? =二, =4汉由443不成立/则出循环/输出M =.288388考点：算法的循环结构10 A【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：x =；,则有：I AF 1= x0 + /即有+了 = x（）/可解得芍=1 .444 4考点：抛物线的方程和定义11 . C【解析】试题分析：根据题中函数特征，当。=o时，函数/（X）

12、= -3/ +1显然有两个零点且一正一负；当。 0时，求导可得：f '（x） = 3。/ _ 6x = 3x（ar - 2）,利用导数的正负与22函数单调性的关系可得：X w（f,。）和X £（*,e）时函数单调递增；X£（0,1）时函数 aa单调递减，显然存在负零点；当。 0时，求导可得：/ '（X）= 3+ - 6x = 3x（4. 2）,利用导数的正负与函数单调性的关系可得：x e （to：）和x £ （。，2）时函数单调递减； a2x e （2,0）时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足： ° ,"/（0

13、）0即得："（/一毛）2+1。，可解得：”24 ,则”2（舍去）,"-2.考点：1.函数的零点导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用12 B【解析】试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：A（M，芸与，又由题中Z = X + 4）何知，当4 > 0时，z有最小值：22u1a + 1 6/ + 2.（1 - 1 r11a- + 2a 1 /口 小八 n一日 = + x = / 则=7 ,解得：。=3；当。<0时，z 无取2222【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型,其基本事件有：数1 ,数2 ,语；数1 ,语, 数2;数2

14、,数1,语；数2,语，数1;语，数2,数1;语，数1,数2共有6种，其中 2本数学书相邻的有4种，则其概率为：P = = |.o 3考点：古典概率的计算14 A【解析】试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下:A城市B城市C城市甲去过没去去过乙去过没去没去答案第3页，总14页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考.丙去过可能可能可以得出结论乙去过的城市为：A .考点：命题的逻辑分析15 （-00,8【解析】试题分析:由于题中所给是一个分段函数厕当工< 1时，由< 2 ,可解得:x < 1 + In 2 , 1则此时：x<l;当工21时，由一&

15、lt;2 ,可解得：x<23=8 ,则此时：,综合上述两种情况可得：xe（f,8考点：1.分段函数解不等式16 150【解析】试题分析：根据题意，在AA8C中，已知/。48 = 45。,48。= 90。,8。= 10。，易得: AC = 100"；在必加。中，已知 NAMC = 75°,NMCA = 60°,AC = 1000 ,易得：ZAMC = 45" ,由正弦定理可解得：ACAMsin ZAMC sin ZACM，即：答案第6页，总14页人加二牛气且= 1(X)6;在AAMN中，已知 02TZMAN = 60°,ZMNA = 90&

16、#176;,AM = 10073 ,易得：MN = 150?.考点：1.空间几何体2仰角的理解;3.解三角形的运用17 (1) a=n + ； (2) S = 2- 乙乙【解析】试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程3-5.（+ 6 =。，可运用因式分解的方法求 出它的两根为2, 3 ,即可得出等差数列中的% = 2,a = 3 ,运用等差数列的定义求出公 13差为d,则4-生=2",故"=：，从而 =5.即可求出通项公式；（2）由第（1）小 题中已求出通项，易求出：黑=雪，写出它的前n项的形式： 乙乙2"2"”,观察此式特征，发现它是一个差比数列，故

17、可采用错位相减的方法进行数列求和，即两边同乘;，即：:工二1+肃+*+笨!L乙乙 乙乙乙将两式相减可得：3=提+G5+ 以S” =2-赛.21 + 2 _ 3 11 + 2 KC7F)- 2+2+2"，2 /即试题解析：（1）方程犬-5x + 6 = 0的两根为2, 3 ,由题意得% = 2, 4 = 3 .13设数列/的公差为d ,则4 -%=2",故"=/从而 =-.所以%的通项公式为勺=!+1.(2)设等的前n项和为S一由(1)知黑=喧，则 乙乙乙u 34 + 1 + 2“22 23 T 2向13 4 + 1 n + 25s=3+3+k尸2记两式相减得5 s

18、a =+(+ 乙乙乙_ 3 1 11 . n + 2-4 + 4 -2 - 2,+2所以S. =2炭.考点：1.一元二次方程的解法等差数列的基本量计算;3.数列的求和18. (1)本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考.(2 )质量指标值的样本平均数为100,质量指标值的样本方差为104(3 )不能认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部 产品80%”的规定.【解析】试题分析：(1)根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率至数/总数 计算出各组的频率，再根据：高度=频率/组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐 标高度为纵坐标作出频率分

19、布直方图；(2 )根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平 均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为x = 80x0.06 + 90x0.26 + 100x0.38 + 110x0.22 + 120x0.08 = 100,进而由方差公式可 得：质量指标值的样本方差为? = (-20)2 x 0.06 + (-IO)? * 0.26+0 x 0.38 + IO? x 0.22 + 202 x 0.08 = 104 ； (3)根据题 意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38 + 0.22 + 0.08 = 0.68 ,由于该估计值小于0. 8 ,故不能认为该企业生产的这

20、种产品符合"质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定.试题解析：(1)(2 )质量指标值的样本平均数为x = 80x0.06 + 90x0.26 + 100x0.38 + l 10x0.22 + 120x0.08 = 100.质量指标值的样本方差为52 = (-20)2 x 0,06 + (-10)2 x 0.26 + 0 x 0.38 +102 x 0.22 + 202 x 0.08 = 104.所以这种产品质量指标值(3 )质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08 = 0.68 ,由于该估计值小于0. 8 ,故不能认为该企业生产的

21、这种产品符合"质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定.考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算19. (1)详见解析；(2 )三棱柱ABC - 4百G的高为子.【解析】 试题分析：(1)根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边 形是菱形，故可想到连结8G ,则。为用。与8cl的交点，又因为侧面为菱形, 对角线相互垂直8C _L BG ;又AO _L平面BB£C，所以耳。_L 4。，根据线面垂直的 判定定理可得1平面AB0结合线面垂直的性质的于A8 u平面AB0故BQAB；(2 )要求三菱柱的高，根据题中已知条件

22、可转化为先求点0到平面ABC的距离，即： 作ODLBC ,垂足为D ,连结AD ,作O" _L AO ,垂足为H，则由线面垂直的判定定理 可得0_L平面ABC,再根据三角形面积相等：OH AD = OD OA ,可求出。的长 度，最后由三棱柱ABC-4与6的高为此距离的两倍即可确定出高.试题解析：(1)连结8G，则。为8c与8G的交点.因为侧面BB.C.C为菱形，所以耳C _L BC- 又AO_L平面8与G。，所以80_LAO ,故8°_L平面ABO.由于AB u平面ABO ,故BC ± AB .(2 )作。_L 8C ,垂足为D ,连结AD ,作O” _L A。

23、，垂足为E 由于，8C_L。，故8C_L平面AOD,所以。"_L8C , 又OH LAD ,所以OH_L平面ABC.因为NC叫=60° ,所以AC网为等边三角形，又8C = 1 ,可得OQ = 由于AC_LAq ,所以。4 = ：8C = ；,由=, RAD = y/0Dr+0A£ =,得归414又0为纥C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为浮57故三棱柱ABC - A向G的高为早.考点：1.线线，线面垂直的转化点到面的距离;3.等面积法的应用20. (1) (XT)，。，3尸=2； (2) /的方程为y = 好0M的面积为三.【解析】试题分析：(1 )先由圆的

24、一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为 /+(、4)2 = 16，所以圆心为C(0,4)，半径为4相据求曲线方程的方法可设M(x,y),由向量的知识和几何关系：亘？ 丽=0 ,运用向量数量积运算可得方程：* - + ()，- 3尸=2 ； ( 2 )由第(1 )中所求可知M的轨迹是以点NQ, 3)为圆心，0为半径的圆，加之题中条件I OPROMI ,故0在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N 1 Q上，从而ON，尸M，不难得出/的方程为v =+ ：;结合面积公式可求又APOM的面积为£试题解析：(1)圆C的方程可化为/ + (y _ 4)2 = 16 ,所以圆心为C(0.4),半

25、径为4 ,设M(x,y),则CM =(x,y-4) , MP = (2-x,2-y),由题设知西丽=。，故x(2 x) + (y4)(2->) = 0 ,即(工-1尸+(3，-3尸=2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x-I)2 + (，-3尸=2.(2 )由(1)可知M的轨迹是以点NQ3)为圆心，V2为半径的圆.由于I OP 1=1 OM I ,故0在线段PM的垂直平分线上，又P在mN上，从而ON _L PM .因为ON的斜率为3,所以/的斜率为，故/的方程为3，= -gx + g.又IOPITOMI=2>/I，。至的距离为半，IPMI=»，所以APOM的面积

26、为 16考点：1.曲线方程的求法圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系21 . (1) b = - (2) (-V2-l,V2-l)U(l,+oo).【解析】 试题分析：(1)根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：/ (x) = 3 + (l-)x-。，利用上述关系不难求得/=0 ,即可得 X8=1 ； ( 2 )由第(1 )小题中所求b ,则函数/*)完全确定下来，则它的导数可求出并化简得"*) = 2 + (1 -1 = 4 (x - -)(x -1)根据题意可得要对二一与1的大XX 1-6/1一。小关系进行分类讨论，则可分以下三类：(

27、i )若,则,故当xe-)21-6/时，/«>0, /(x)在(l,«o)单调递增，所以，存在之1 ,使得/(%)<的充 。一1要条件为了三，即:一1<，所以一式一 1<。<逐一 i.(m错:, 。一12。一12则 7->1 ,故当时,/ (x)<0 ;当 1r，)时，/1(x)>0 , f(x)-a1-6/1-67在(1, JL)单调递减，在(/,e)单调递增.所以，存在”之1 ,使得/(4) <的 1一。-a。一1充要条件为/(二) < 工,无解则不合题意.(iii)若。> 1 ,则1一 。一1/(1)

28、=1 = 士1'-综上，a的取值范围是(一点-1,点-l)U(l，+8).22 a-l试题解析:(1) f (x) = + (la)xb , x由题设知/=。，解得。=1.(2)/*)的定义域为(0,y),由(1)知，/(x) = alnx + L/-x , 乙一/、。八 、 1 14/、/ (x) = + (1 a)x 1 =(x - -)(x - 1)XX1-6/(i )若""，则丁,故当KW。,平幻时，/ Wo , /(x)在(L+oo)单调递 21一4增，所以，存在为之1,使得/(%) V 的充要条件为/一,即=_1一， 。一14-12 。一 1所以一逐一

29、1。也-1.(ii )若,则7-1 ,故当xe(l，7)时,/ W0 ;2-al-a当时，/ (x)>0 , /(x)在单调递减，在(J_,+oo)单调递增. 1一。1 一。-a所以，存在%之1 ,使得的充要条件为/(4)v/y ,a 11 一。 a 1,所以不合题意.而 /'() = a In+1一“1一“2(1-6/)6/-1(诵)若。1,则/=一1=手 三 22 a 1综上1 a的取值氾围是考点：L曲线的切线方程导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用22. （1）详见解析；（2）详见解析【解析】 试题分析：（1）根据题意可知A , B , C , D四点共圆，利用对

30、角互补的四边形有外接圆 这个结论可得：ZD = ZCBE ,由已知得NC8E = N£ ,故NO = NE ； （ 2 ）不妨设出 BC的中点为N ,连结MN,则由MB = MC ,由等腰三角形三线合一可得：MN ± BC , 故0在直线MN上，又AD不是圆0的直径M为AD的中点，故OM_LA£），即MV_LAO , 所以AO3C，故ZA = NC3E，又/CBE = AE，故ZA = ZE 油（1）知，ZD = NE , 所以A40E为等边三角形.试题解析：（1）由题1A, B, C, D四点共圆，所以ZD = NCBE , 由已知得NC3E = NE ,故"=N石.（2）设BC的中点为N,连结MN,则由= M。知MN_L8C ,故0在直线MN上.又AD不是m0的直径/ M为AD的中点/故0M .L AD t 即脑VJ_AQ.所以，故ZA = /CBE , 又/CBE = ZE ,故NA = NE.由（1）知，Z£> = ZE ,所以AAT石为等边三角形.答案第13页，总14页考点：1.圆的几何性质等腰三角形的性质Y D CCS