第三章 中值定理与导数应用

1、第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用第一节第一节 中值定理中值定理 第二节第二节 洛比达法则洛比达法则 第三节第三节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 第四节第四节 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 第五节第五节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘第七节第七节 曲率曲率第八节第八节 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 函数的导数刻画了函数相对于自变量的变函数的导数刻画了函数相对于自变量的变化快慢，几何上就是用曲线的切线的斜率反映化快慢，几何上就是用曲线的切线的斜率反映曲线上点的变化情况，本章将利用函数的一二曲线上

2、点的变化情况，本章将利用函数的一二阶导数进一步研究函数及曲线的性态，并介绍阶导数进一步研究函数及曲线的性态，并介绍导数在一些实际问题中的应用导数在一些实际问题中的应用. 微分中值定理给出了函数及其导数之间的微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是导数应用的理论基础，微分中值定理联系，是导数应用的理论基础，微分中值定理包括罗尔定理，拉格朗日中值定理与柯西中值包括罗尔定理，拉格朗日中值定理与柯西中值定理，它们在微分学理论中占有重要地位定理，它们在微分学理论中占有重要地位. . 罗罗尔尔定定理理 如如果果函函数数( )f x满满足足如如下下三三个个条条件件： （1）在在闭闭区区间间, a b上上

3、连连续续； （2）在在开开区区间间( , )a b内内可可导导； （ 3 ） 在在 区区 间间, a b的的 端端 点点 处处 函函 数数 值值 相相 等等 ， 即即 f af b， 则则在在( , )a b内内至至少少存存在在一一点点()ab，使使得得 ( )0f. 第一节第一节 中值定理中值定理 一、罗尔（一、罗尔（rollerolle）定理）定理 首先考察定理的几何意义，首先考察定理的几何意义， 函数函数( )()yf x axb在几何上在几何上 的表示一段曲线弧的表示一段曲线弧ab，函数，函数( )f x 满足罗尔定理三条件表示曲线弧满足罗尔定理三条件表示曲线弧 ab 是连续的，除端点

4、处处处有不是连续的，除端点处处处有不 垂直与垂直与 x 轴的切线且弦轴的切线且弦 ab 是水是水 平的（图平的（图 4-1）. 定理的结论表示，定理的结论表示， 在弧在弧ab上至少存在一点上至少存在一点( , ( )cx ，在该点处曲线的切线，在该点处曲线的切线也是水平的，即切线平行于弦也是水平的，即切线平行于弦. 从图从图 4-1 中容易看出曲线上最高点或最低点处， 曲线中容易看出曲线上最高点或最低点处， 曲线的切线是水平的，即函数的切线是水平的，即函数( )f x取最大值或最小值的点处，取最大值或最小值的点处，函数的导数为零函数的导数为零. oyxcba图图4-1ab 罗罗尔尔定定理理的的

5、证证明明 因因为为函函数数( )f x在在闭闭区区间间, a b上上连连续续，由由闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的特特征征知知，( )f x在在, a b上上取取得得其其最最大大值值 m 和和最最小小值值 m，于于是是出出现现下下面面两两种种情情况况： （1） m=m， 此此时时( )f x取取常常数数 m （或或 m） ， 即即( )f x m，因因此此必必有有( )0f，即即取取( , )a b内内任任一一点点作作为为 ，都都有有 0f. （2）mm， 由由条条件件（3） ， f af b，m 和和 m这这两两个个数数中中至至少少有有一一个个不不等等于于( )( )f af b及，不不

6、妨妨设设( )mf a，则则在在( , )a b内内至至少少有有一一点点 ，使使 fm，即即 f是是函函数数 f x在在, a b上上的的最最大大值值，故故在在 的的邻邻域域内内恒恒有有 f xf，现现证证( )0f. 任 取任 取x使使x若 在若 在 的 邻 域 内 ， 由 假 设 知的 邻 域 内 ， 由 假 设 知()( )fxf，由此有，由此有 当当0 x 时，时， ()( )0fxfx 当当0 x 时，时， ()( )0fxfx 0 x 取极限，有左右导数定义与极限的局部保号取极限，有左右导数定义与极限的局部保号性，得性，得 00()( )( )lim0()( )( )lim0 xx

7、fxffxfxffx 由 条 件 （由 条 件 （ 2 ），），( )f x在 点在 点 处 可 导 ， 故处 可 导 ， 故( )( )( )0fff. 注意注意 定理中的三个条件，若缺少其中一个，定理将定理中的三个条件，若缺少其中一个，定理将不成立，下面三例可以说明不成立，下面三例可以说明. 1.函函数数 , 11( )1,1xxf xx 显显然然( )f x在在( 1,1)内内处处处处可可导导，( 1)(1)ff，但但( )f x在在1x 不不连连续续，不不满满足足条条件件（1） ，可可以以看看处处不不存存在在( 1,1) ，任任( )0f. 2. 函函 数数( )( 11)f xxx

8、， 在在1,1上上 连连 续续 ，( 1)(1)ff，但但( )f x在在0 x 处处不不可可导导，不不满满足足条条件件（2） ，显显然然不不存存在在( 1,1) ，使使( )0f. 3.函函数数( )( 11)f xxx 在在1,1上上连连续续， 在在1,1内内可可导导，但但( 1)(1)ff，不不满满足足条条件件（1） ，可可知知不不存存在在( 1,1) ，使使( )0f. 定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗尔定理中三条件都不满足也可能在尔定理中三条件都不满足也可能在( , )a b内存在这样一内存在这样一点点 ，使，使( )0f. 例

9、如函数例如函数 2(1)1,03( )1, 20 xxf xxx 在闭区间在闭区间2,3上不连续（上不连续（0 x 是间断点） ，在开区间是间断点） ，在开区间( 2,3)内不可导（内不可导（0 x 不连续且不可导） ，不连续且不可导） ，(3)3f，( 2)1f 即端点处函数不相等，显然当即端点处函数不相等，显然当1x 时，时，( )0fx即不存在即不存在1( 2,3) 使使( )0f. 虽然罗尔定理中的条件是充分的虽然罗尔定理中的条件是充分的，但要利有罗尔定，但要利有罗尔定理讨论相关问题时，三条件缺一不可，请看以下例子：理讨论相关问题时，三条件缺一不可，请看以下例子： 例例 1 验验证证2

10、( )5f xxx在在区区间间0,5上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件，并并求求 . 解解2( )5f xxx在在0,5上上 连连 续续 ， 在在(0,5)内内 有有2(205 )( )252 52 5xxxfxxxxx 即即( )f x在在(0,5)内内可可导导，显显然然(0)(5)0ff，故故( )f x在在0,5满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件， (205 )( )02 5xxfxx 得得0,4xx，又又0 x 为为区区间间端端点点，故故4. 例例 2 证证明明方方程程32432axbxcxabc，在在开开区区间间(0,1)内内至至少少有有一一个个实实根根. 证证 依罗尔定理知

11、，如果函数依罗尔定理知，如果函数( )f x在在, a b上满足罗尔上满足罗尔定理三条件，则定理三条件，则( )0fx在在( , )a b内至少有一个实根，为此内至少有一个实根，为此令令432( )()f xaxbxcxabc x， 显然， 显然( )f x在在(0,1)内可内可导，且导，且(0)0f，(1)()0fabcabc ，即，即( )f x在在0,1上满足罗尔定理三条件上满足罗尔定理三条件. 则在则在(0,1)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得使得( )0f，即，即 3221(1) (1)yxxxxx 故此证明了方程故此证明了方程32432axbxcxabc在在(0,1)内至少内至

12、少有一个实根有一个实根. 二、拉格朗日（二、拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数如果函数( )f x满足如下二条满足如下二条件：件： （1）在闭区间）在闭区间, a b上连续；上连续； （2）在开区间）在开区间( , )a b内可导，内可导， 则在则在( , )a b内至少存在一点内至少存在一点 ()ab，使得，使得 ( )()f bf afba 拉格朗日中值定理的证明可看出主教材拉格朗日中值定理的证明可看出主教材.在此仅作在此仅作一点说明一点说明. 拉格朗日中值定理动画演示拉格朗日中值定理动画演示先看一下定理的几何意义，如

13、把先看一下定理的几何意义，如把 （1）式改写成）式改写成 ( )( )( )f bf afba 由图由图 4-2 看出，看出，( )( )f bf aba为弦为弦ab 的斜率，而的斜率，而( )f为曲线在点为曲线在点 c 处的曲处的曲 线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何 意义是：意义是： 如果连续曲线如果连续曲线( )yf x的弧的弧ab上除了端点外上除了端点外处处具处处具有不垂直与有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点轴的切线，那么这弧上至少有一点 c，使，使得曲线在得曲线在 c 点处的切线平行于弦点处的切线平行于弦 ab. 当当( )( )f af

14、 b时， 弦时， 弦 ab 是水平弦， 就是罗尔定理所是水平弦， 就是罗尔定理所描述的情况描述的情况. . xyobcaab 图图4-2由上述分析知，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推由上述分析知，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广， 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形， 因此可以广， 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形， 因此可以考虑利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理考虑利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理. . 函数函数( )f x不满足不满足( )( )f af b，但，但( )f a，( )f b分别是分别是弦弦 ab 的点的点 a 和和 b 的纵坐标值，直线的纵坐标值，直线 ab 的方的方程

15、为程为 ( )( )( )( )()f bf ayg xf axaba 若作辅助函数若作辅助函数 ( )( )( )xf xg x = =( )( )( )( )()f bf af xf axaba 则有则有( )( )0ab，且，且( ) x在在, a b上连续，在上连续，在, a b内可内可导， 满足罗尔定理的三个导， 满足罗尔定理的三个条件， 即可利用条件， 即可利用( ) x证明拉格朗证明拉格朗日中值定理日中值定理. . 证明详见主教材证明详见主教材. . 例例 3 3 函函数数( )f x= =22xx在在区区间间0,2上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件，求求

16、. . 例例 4 4 证明：证明： 当当0 x 时， ln(1)1xxxx 解解 由题设知，拉格朗日中值定理由题设知，拉格朗日中值定理中，中，2,0ba， (2)8,(0)0,( )22fffxx 故由拉格朗日中值定理得故由拉格朗日中值定理得 80(22)2 则则 10,2 证证 函数函数( )ln(1)0f ttx在区间 ，上满足拉格朗日拉格朗日中值定理的条件，中值定理的条件，1( ),0,1f txt故存在使 1ln(1)ln1(0)1xx 即即 ln(1),01xxx 因为因为0 x，所以，所以 11xxxx 即即得不等式得不等式 ln(1)1xxxx 注意注意 拉格朗日中值定理当拉格朗

17、日中值定理当ba时仍成立，时仍成立，即即公式公式（1 1）当）当ba时仍成立时仍成立. . 若取若取,(00)xa bxxa bxx 或，在区间，在区间,x xxxx x或上，公式（上，公式（1 1）可写成）可写成 ()( )( ),f xxf xfxx xx在之间 （2 2） 众所周知， 常量的导数恒为零， 反之， 若一个函数众所周知， 常量的导数恒为零， 反之， 若一个函数( )f x在某一个区间上的导数恒为在某一个区间上的导数恒为零，在该区间上零，在该区间上( )f x是否恒为是否恒为常量，作为拉格朗日中值定理的一个应用容易证明结论是常量，作为拉格朗日中值定理的一个应用容易证明结论是成立

18、的成立的. . 定理定理 如果函数如果函数( )f x在区间在区间i i内导数恒等于零，则在内导数恒等于零，则在区间区间i i内，内，( )f x恒为常量恒为常量. . 证证 任任取取12,x xi，由由（1 1）式式知知 212112()()( )(),f xf xfxxxx在 ， 之间 由由假假设设条条件件知知( )0f，故故21()()f xf x. .因因为为12,x x是是区区间间 i 内内任任意意两两点点. .这这就就是是说说，( )f x在在 i 内内任任意意点点处处的的函函数数值值总总是是相相等等的的，即即( )f x在在 i 内内恒恒为为常常量量. . 推推论论 若若两两个个

19、函函数数( )f x与与( )g x的的导导数数在在区区间间 i 内内相相等等，即即( )( )()fxg x xi，则则在在 i 内内( )f x与与( )g x之之差差恒恒为为常常数数，即即( )( )()f xg xc xi 证证 令令( )( )( ),( )( )( )xf xg xxfxg x则= =0 0 由由以以上上定定理理知知( )xc，即即( )( )f xg xc. . 例例 5 5 证明恒等式证明恒等式arctanarccot( 11)2xxx . . 证证 令令( )f x= =arctanarccotxx，( 11)x 2211( )011f xxx 所所以以 (

20、)f xc 即即 arctanarccotxxc arctan0 arccot02c 则则 arctanarccot( 11)2xxx . . 三、柯西（三、柯西（cauchycauchy）中值定理）中值定理 柯西中值定理柯西中值定理 如果如果( )f x与与( )g x满足如下条件：满足如下条件： （1 1）在闭区间）在闭区间, a b上连续；上连续； （2 2） 在开区间在开区间, a b内可导， 且内可导， 且( )0g x， 则在， 则在, a b内至少存在一点内至少存在一点()ab，使得，使得 ( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag （3 3） 柯西中值定理

21、的几何意义可参阅主教材，依本课程柯西中值定理的几何意义可参阅主教材，依本课程的要求不予证明，可参阅同济大学的本科教材相关部的要求不予证明，可参阅同济大学的本科教材相关部分分. . 显见，柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系密显见，柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系密切，当切，当( )( )1g xxg x时， （， （3 3）式化为）式化为 ( )( )( ),f bf afbaab 这就是拉格朗日中值定理这就是拉格朗日中值定理. . 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是微罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是微分学中的三个中值定理， 特别是拉格朗日中值定理是利用分学中的三个中值定

22、理， 特别是拉格朗日中值定理是利用导数研究函数的有力工具， 因此也称拉格朗日中值定理为导数研究函数的有力工具， 因此也称拉格朗日中值定理为微分中值定理微分中值定理. . 作业：习题作业：习题 4 41 1、1 1，3 3，4 4，5 5，6 6（1 1，3 3） 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在在求求函函数数的的极极限限时时，常常会会遇遇到到两两个个无无穷穷小小之之比比的的极极限限或或两两个个无无穷穷大大之之比比的的极极限限，有有的的存存在在，有有的的不不存存在在. .通通常常称称这这种种比比值值的的极极限限为为未未定定式式. .它它们们分分别别记记作作“ 00”型型或或 “” 型型.

23、.洛洛比比达达法法则则就就是是求求这这种种未未定定式式的的一一个个重重要要且且有有效效的的方方法法，这这个个方方法法的的理理论论基基础础是是柯柯西西中中值值定定理理. . 定理定理 1 1 设函数设函数( ), ( )f x g x满足：满足： （1 1）lim( )0,lim ( )0;xaxaf xg x （2 2）在点）在点 a 的某去心邻域内，的某去心邻域内，( )fx与与( )g x存在且存在且( )0;g x （3 3）( )lim( )xafxg x存在或为无穷大存在或为无穷大. . 则则( )lim( )xaf xg x极限存在或为无穷大，且极限存在或为无穷大，且 ( )lim

24、( )xaf xg x= =( )lim( )xafxg x 一、一、00型未定式型未定式 定理定理 2 2 设函数设函数( ), ( )f x g x满足：满足： （1 1）lim( )0,lim ( )0;xxf xg x （2 2）当）当xx时，时，( )fx与与( )g x存在且存在且( )0;g x （3 3）( )lim( )xfxg x存在或为无穷大存在或为无穷大. . 则则 ( )lim( )xf xg x= =( )lim( )xfxg x 定理定理 1 1 的证明可参阅主教材，定理的证明可参阅主教材，定理 2 2 证明从略证明从略 例例 1 1 求求4333lim22xxx

25、 解解：这这是是“00”型型未未定定式式，用用洛洛比比达达法法则则，得得 44333332 333limlim21122222xxxxxx 例例 2 2 求求30sinlimxxxx. . 解解 这也是“这也是“00”型未定式，用洛比达法则，得”型未定式，用洛比达法则，得 3200sin1 coslimlim3xxxxxxx 等式右端仍为“等式右端仍为“00”型未定式，再使用洛比达法则，得”型未定式，再使用洛比达法则，得 32000sin1 cossin1limlimlim366xxxxxxxxxx. . 解解 这是这是x 时的： “时的： “00”型位未定式，用洛比达”型位未定式，用洛比达法

26、则，得法则，得 222212ln(1)()2(1)2limlimlim21arccot21xxxxxxxxxxxxx 例例 3 3 求求201 elim1 cosxxx 解解 用用洛洛比比达达法法则则，得得 22001e2 elimlim1cossinxxxxxxx 2002limlime( 2) 1 12sinxxxxx 例例 4 4 求求1ln(1)limarccotxxx 例例 5 5 求求arctan2lim1ln(1)xxx 解：解：这是这是x 时的： “时的： “00”型未定式，用洛比达法”型未定式，用洛比达法则，得则，得 221arctan12limlim11ln(1)()1xx

27、xxxxxx 221lim11xxxxx 二、二、型未定式型未定式 定理定理 3 3 设函数设函数( ), ( )f x g x满足：满足： （1 1）lim( ),lim ( )xaxaf xg x ( (lim( ),lim ( )xxf xg x ) )； （2 2） 在点） 在点 a 的某邻域内 （或当的某邻域内 （或当xx时） ，时） ，( )fx，( )g x存在且存在且( )0;g x （3 3）( )lim( )xafxg x（( )lim( )xfxg x）存在或为无穷大）存在或为无穷大. . 则则 ( )lim( )xaxf xg x= =( )lim( )xaxfxg x

28、 证明从略证明从略. . 例例 6 6 求求lnlim(0)nxxnx 解解 这是“这是“”型未定式，用洛比达法则，得”型未定式，用洛比达法则，得 11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx 例例 7 7 求求limenxxx（n 为正整数，为正整数，0） 解解 1limlimeennxxxxxnx22x2(1)!limlim0eenxxxn nxn 显然当显然当 n 不为正整数时，结论仍成立不为正整数时，结论仍成立. . 当当x 时，三个函数时，三个函数ln ,enxx x都是无穷大，例都是无穷大，例 6 6 说明随着说明随着 x 的增大，的增大，lnx 较较nx增大的要慢增大

29、的要慢；例；例 7 7 说明随着说明随着 x 的增大，的增大，nx较较ex增大的要慢增大的要慢. .综上，综上，ex增大最快，增大最快，nx次次 之之，lnx 增大最慢增大最慢. . 例例 8 8 求求0lncotlimlnxxx 解解 当当0 x时，时，lncot x ，而，而ln x ，故本，故本题是“题是“”型未定式，用洛比达法则，得”型未定式，用洛比达法则，得 2001( csc)lncotcotlimlim1lnxxxxxxx 01lim()cossinxxxx 001limlimcossinxxxxx 1 三、其它类型的未定式三、其它类型的未定式 除上述“除上述“00” ， “”

30、， “”型未定式以外，还有其它类型的”型未定式以外，还有其它类型的未定式，如未定式，如000,1 ,0 .等等. .求这些未定求这些未定式的值，通常是将其转化成“式的值，通常是将其转化成“00”或“”或“”型未定式，用”型未定式，用洛比达法则来计算，下面以例题说明洛比达法则来计算，下面以例题说明. . 例例 9 9 求求20limlnxxx 解解 这是这是0型，首先变形为“型，首先变形为“00”或“”或“”型未定”型未定式，再用洛比达法则求之式，再用洛比达法则求之. . 220000231lnlimlnlimlimlim0122xxxxxxxxxxx. . 例例 1010 求求011lim()

31、ln(1)xxx 解：解：这是“这是“”型未定式，可先通分变形为”型未定式，可先通分变形为0 0型型未定式未定式. . 0011ln(1)lim()limln(1)ln(1)xxxxxxxx 0111lim2xxx（当（当0 x 时，时，ln(1) xx） 01 11lim2 (1)2xxxx 例例 1111 求求cot0lim(cos )xxx 解解 这是“这是“1”型未定式，设”型未定式，设cot(cos )xyx，取对数得，取对数得 lncot lncosyxx 所以所以 cot lncosexxy 或或cotcot lncos(cos)exxx 而而0limcot lncosxxx是“

32、是“0”型，用洛”型，用洛比达法则，要先变为比达法则，要先变为“00”型，再求之”型，再求之. . 2000sinlncoscoslimcot lncoslimlimtansecxxxxxxxxxx 30sinlim0secxxx 则则0lim cot lncoscotcot lncos000lim(cos )limeee1xxxxxxxxx 例例 12 求求sin0limxxx 解解 这是这是00“ ”型定式，因为型定式，因为 sinsin lnexxxx 00lnlimsin lnlimcscxxxxxx 等式右端是等式右端是“”型未定式，用洛必达法则，得型未定式，用洛必达法则，得 000

33、21lnsinlimlimlimtan0coscscsinxxxxxxxxxxx 所以所以 sinsin ln00limee1xxxxx 例例 13 求求sinlim cotxxxx. 由以上各例看出，洛必达法则是求未定式的值的一由以上各例看出，洛必达法则是求未定式的值的一种简便有效的法则，应用这一法则时必须注意以下几点：种简便有效的法则，应用这一法则时必须注意以下几点： 解解 这是这是0“”型未定式，因为型未定式，因为 sinsin ln cotcotexxxxx 200020tancsclncotlimsin ln cotlimlimcsccsc cotsinlim0cosxxxxxxxx

34、xxxxxxx 所以所以sin00lim cote1xxx. 解解 这是这是“”型未定式型未定式 433242311234463limlim3243xxxxxxxxxx 等式右端不再是未定式，不能用洛必达法则等式右端不再是未定式，不能用洛必达法则 32311lim 4635,lim431xxxxx 所以所以 331463lim543xxxx 故故4341234lim532xxxxxx . 例例 14 求求43421234lim32xxxxxx （1）必须将未定式化为）必须将未定式化为00“ ” 型或型或“”型型才能使用洛才能使用洛必达法则，在连续使用洛必达法则时必须每一次检查所求必达法则，在连

35、续使用洛必达法则时必须每一次检查所求极限是否是极限是否是00“ ” 型或型或“”型未定式型未定式. （2）在用洛必达法则求未定式的值时要注意将求极）在用洛必达法则求未定式的值时要注意将求极限尽量简化限尽量简化.例如，适当应用等价无穷小的替换简化运算例如，适当应用等价无穷小的替换简化运算. 例例 15 求求20tanlimln1xxxxx 解解 求这个求这个“”型未定式的值要连续使用洛必达法型未定式的值要连续使用洛必达法则，此时分母的高阶导数较繁，设法先简化，再计算则，此时分母的高阶导数较繁，设法先简化，再计算. 当当0 x 时，时，ln1 xx，用，用 x 替换替换ln1x得得 2232000

36、tantansec1limlimlimln13xxxxxxxxxxxx2201tan1lim33xxx 所以所以 20tan1limln13xxxxx （3） 在在应应用用洛洛必必达达法法则则时时， 要要注注意意定定理理中中的的条条件件(3)， limfxgx存存在在或或为为无无穷穷大大时时，才才有有 limlimf xfxg xgx.若若 limfxgx不不存存在在也也不不为为无无穷穷大大时时，不不能能断断言言 limf xg x存存在在. 例例 16 求求201sinlimsinxxxx. 解解 当当0 x 时， 所求极限是时， 所求极限是“”型未定式型未定式.用洛必达用洛必达法则，得法则

37、，得 200111sin2sincoslimlimsincosxxxxxxxx 其中分子中其中分子中01limcosxx不存在，因此等式右端的极限不不存在，因此等式右端的极限不存在也不是无穷大，这就是说虽是存在也不是无穷大，这就是说虽是“”型未定式，但不能型未定式，但不能用洛必达法则求极限用洛必达法则求极限.极限是否存在，另找别的方法求之极限是否存在，另找别的方法求之. 若将所求极限变形为若将所求极限变形为 2001sin1limlimsinsinsinxxxxxxxxx 因为因为 001lim1,lim sin0sinxxxxxx 由极限运算法则得由极限运算法则得 20001sin1liml

38、imlim sin0sinsinxxxxxxxxxx 故所求极限式存在的故所求极限式存在的. 作业作业 习题习题 4-2 2 1 3 6 7 8 1112 13、 、 、 、 第三节第三节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 一、函数单调性的判别一、函数单调性的判别法法 本节开始，我们通过中值定理、利用导数研究函数本节开始，我们通过中值定理、利用导数研究函数( )f x或曲线或曲线( )yf x性态，其中包括用一阶导数研究函数性态，其中包括用一阶导数研究函数的增减性与极值，用二阶导数研究曲线弧的凸凹性与拐的增减性与极值，用二阶导数研究曲线弧的凸凹性与拐点，最后描绘函数点，最后描绘函数( )y

39、f x的图象的图象. 如图如图4-3所示，作曲线在各点处的切线，不难观察到：所示，作曲线在各点处的切线，不难观察到： 图图4-3xoy(a)ab(b)oxyab函数函数( )f x在区间在区间, a b上单调增加，则曲线上单调增加，则曲线( )yf x是一条沿是一条沿 x 轴正向上升的曲线， 其上各点处的切线斜率轴正向上升的曲线， 其上各点处的切线斜率都是非负的都是非负的, 也就是说也就是说( )0fx. 函数函数( )f x在区间在区间, a b上单调减少，则曲线上单调减少，则曲线( )yf x是一条沿是一条沿 x 轴正向下降的曲线， 其上个点处的切线斜率轴正向下降的曲线， 其上个点处的切线

40、斜率都是非正的，也就是说都是非正的，也就是说( )0fx. 由此可见， 可导函数的单调性与导数的符号有着密由此可见， 可导函数的单调性与导数的符号有着密切的联系切的联系. 那么，能否用导数在一个区间上的正、负来那么，能否用导数在一个区间上的正、负来判别函数在该区间上的单调性呢？判别函数在该区间上的单调性呢？ 拉格朗日中值定理建立了函数与导数之间的联系，拉格朗日中值定理建立了函数与导数之间的联系，利用中值定理可以得出函数单调性的判别法利用中值定理可以得出函数单调性的判别法. 定理定理 1（函数单调性的判别法）如果函数（函数单调性的判别法）如果函数( )f x在闭区在闭区间间, a b上连续，在开

41、区间上连续，在开区间( , )a b内可导，内可导， （1）若在）若在( , )a b内内( )0,fx则则( )f x在在, a b上单调增加；上单调增加； （2）若在）若在( , )a b内内( )0,fx则则( )f x在在, a b上单调减少上单调减少. 证证 仅仅证证明明情情况况(1).在在, a b上上任任取取两两点点12,x x不不妨妨设设12,xx由由所所给给条条件件知知，( )f x在在12,x x上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件，则则存存在在12( ,),x x使使 2121()()( )()f xf xfxx 由由于于在在( , )a b内内( )

42、0,fx所所以以( )0,f而而210,xx于于是是 21()()0f xf x 即即21()().f xf x这这表表明明( )f x在在, a b上上单单调调增增加加. 例例 1 讨论函数讨论函数32( )32f xxx的增减性的增减性. 解解 函数函数( )f x的定义域为的定义域为(,) 2( )363 (2),fxxxx x 当当120,2xx时，时，( )0.fx 这两点这两点120,2xx将定将定义域分成三个区间义域分成三个区间 (,0, 0,2 , 2,. 当当(,0(2,)x 时，时，( )0fx；当；当(0,2)x时，时，( )0,fx故故(,02,x 为为( )f x的单

43、增区间，的单增区间，0,2为为( )f x的单减区间，使导数等于零的点恰为单增区间与的单减区间，使导数等于零的点恰为单增区间与单减区间分界点单减区间分界点. 解解 函数的定义域函数的定义域(,)fd 32( )3fxx 在点在点0 x 处导数不存在处导数不存在.点点0 x 将将(,)fd 分分成两个区间成两个区间,0及及0,. 当当(,0)x 时，时，( )0,fx 故故,0为为( )f x单减区间单减区间. 当当(0,)x时，时，( )0,fx 故故0,为为( )f x单增区间单增区间. 由由0lim( )xfx ，知曲线，知曲线23yx在在 点点(0,0)处有一条铅直的切线，如图处有一条铅

44、直的切线，如图 4-4 所示所示. oxy图图4-4例例 2 判别函数判别函数23( )f xx的增减性的增减性. 从上述两例可得讨论函数从上述两例可得讨论函数( )f x的增减性的一般步的增减性的一般步骤：骤： (1)先给出函数的定义域先给出函数的定义域 df； (2)求函数的导数求函数的导数( )fx； (3)求得函数在求得函数在 df内的使内的使( )0fx的根或不可导的根或不可导点；点； (4)用用( )0fx的根及不可导点划分函数的定义域为的根及不可导点划分函数的定义域为若干个部分区间若干个部分区间； (5)在各个部分区间内观察在各个部分区间内观察( )fx的正、负号，从而利的正、负

45、号，从而利用判别函数单调性的方法，确定用判别函数单调性的方法，确定( )f x在这些区间上的增在这些区间上的增减性减性. 为方便之，可列表讨论为方便之，可列表讨论. 例如例如，对于例，对于例 1，可列下表讨论，可列下表讨论3232yxx的的增减性增减性. x (,0) 0 (0,2) 2 (2,) ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 记号记号表示表示( )f x在所给区间上单增；在所给区间上单增；表示表示( )f x在所给区间上单减在所给区间上单减. 例例 3 判判别别函函数数3( )(1)f xxx的的增增减减性性. 解解 d(,)f ，函数的导数，函数的导数 3333222131

46、41( )(1).333xxxfxxxxxx 令令( )0fx， 得， 得1,( )4xfx不存在的点为不存在的点为0,x 列表如列表如下：下： x (,0) 0 1(0, )4 14 1( ,)4 ( )fx - 不存在不存在 - 0 + ( )f x 由上表可知，函数由上表可知，函数( )f x在在1,4上单减；在上单减；在1,4上单增上单增. 例例 4 利利用用函函数数单单调调性性判判别别法法，试试证证：当当0 x 时时， 221ln(1)1xxxx成成立立. 证证 只只需需证证明明当当0 x 时时， 221ln(1)10,xxxx为为此此, 设设22( )1ln(1)1f xxxxx

47、， 显显然然(0)0,f且且在在(0,)内内可可导导, 222( )ln(1)11xxfxxxxx 2ln(1)xx 当当0 x 时时，( )0fx， 故故在在0,)上上，( )f x是是单单调调增增加加的的.因因此此当当0 x 时时， 22( )(0)0,1ln(1)10f xfxxxx即， 2201ln(1)1xxxxx则当时,成立. 例例 5 证明：当证明：当2(1)1,ln1xxxx时 不等式恒成立. 证证 利用函数单调性判别法，研究函数利用函数单调性判别法，研究函数 2(1)( )ln,11xf xxxx 22212(1)(1)0,( )2(1)(1)xffxxxx x 当当1,(

48、)0,( )1,)xfxf x时在上上单调单调增加增加，故当故当1,( )(1)0 xf xf时. 所以所以，当当2(1)1,ln1xxxx时恒成立恒成立. 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法 在利用导数的正与负判别函数的增减性时看到，导在利用导数的正与负判别函数的增减性时看到，导数等于零的点可以作为增减区间的分界点，如例数等于零的点可以作为增减区间的分界点，如例 1 中点中点02xx和处函数的导数为零，在处函数的导数为零，在(,0上函数单调递上函数单调递增，在增，在0,2上上函函数单调递减，即在点数单调递减，即在点0 x 的的去心去心邻域邻域内内恒 有恒 有( )(0),f xf而

49、 在 点而 在 点2x 的 去 心 邻 域 内 恒 有的 去 心 邻 域 内 恒 有( )(2)f xf.这样的就是我这样的就是我们要讨论的极值点们要讨论的极值点. 定义定义 设函数设函数0( )f xx在点的某邻域内有定义，如某邻域内有定义，如果 对 该 邻 域 内 任 何 点果 对 该 邻 域 内 任 何 点0()x xx， 恒 有， 恒 有00( )()( ( )()f xf xf xf x，则称，则称0()f x为函数为函数( )f x的极的极大值（极小值）大值（极小值）. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极

50、值点取得极值的点称为函数的极值点. 在在整整个个区区间间 , a b上上，极极小小 值值2()f x也也是是( )f x在在 , a b上上的的最最小小值值，而而( ) , f xa b在的的最最大大值值在在端端点点xb处处达达到到. 在 例在 例 1 中 函 数中 函 数32( )32f xxx的 极 值 点 为的 极 值 点 为2,(0)2xxf=0及为极大值，为极大值，(2)2f 为极小值为极小值. 由极值的定义可以看出，函数的极值概念是局部性由极值的定义可以看出，函数的极值概念是局部性的概念的概念.0()( )f xf x是的极值是仅就的极值是仅就0 x的邻域而言的的邻域而言的.因此因

51、此函数函数( )f x的极大（小）值就整个定义域来讲未必是函数的极大（小）值就整个定义域来讲未必是函数的最大（小）值的最大（小）值. 在图在图 4-5 中函数中函数( )f x在在 区间区间 , a b有两个极大值有两个极大值 14(),()f xf x；有两个极小值；有两个极小值 25(),()f xf x其中极小值其中极小值5()f x 大于极大值大于极大值1()f x. oxy图图4-5abx1x2x3x4x5由图由图 4-5 还可以看出，在函数还可以看出，在函数( )f x取得极值的点处，取得极值的点处，曲线曲线( )yf x的切线是水平的的切线是水平的.这一事实在第一节罗尔定这一事实

52、在第一节罗尔定理的证明中已给出，由此得到函数取得极值的必要条件理的证明中已给出，由此得到函数取得极值的必要条件. 定理定理 2 （必要条件）（必要条件） 若函数若函数( )f x在在点点0 x处处可导可导，且且( )f x在在0 x处取得极值，则必有处取得极值，则必有0()0fx. 定理定理 2 的逆定理不一定成立， 即对于可导函数的逆定理不一定成立， 即对于可导函数( )f x，若若0()0fx我们未必能推出我们未必能推出0 x是极值点，例如，函数是极值点，例如，函数3( ),f xx在在0 x 处处有有(0)0f ，但在但在0 x 的两侧恒有的两侧恒有( )0fx，点，点0 x 不是不是(

53、 )f x的的极值点极值点. 使导数使导数( )fx等于等于零零的点的点称为称为函数函数( )f x的的驻点驻点，驻点，驻点不一定是不一定是极值点极值点. 由本节例由本节例 1 及图及图 4-5 可以看出，当驻点为函数单调可以看出，当驻点为函数单调递增与单调递减区间的分界点，也就是在驻点两侧导数递增与单调递减区间的分界点，也就是在驻点两侧导数保持定号，且符号相反时，驻点才是函数的极值点保持定号，且符号相反时，驻点才是函数的极值点. 另另一一方方面面，从从例例 2 看看出出，23( )f xx在在点点0 x 处处导导数数不不存存在在，但但在在该该点点函函数数连连续续且且在在点点0 x 的的两两侧

54、侧( )fx保保持持定定号号且且符符号号相相反反,0 x 也也是是函函数数的的极极值值点点，(0)0f为为极极小小值值（图图 4-4）. 综综上上两两种种情情况况，得得出出函函数数取取极极值值的的充充分分条条件件. 定定理理 3（第第一一充充分分条条件件）若若函函数数( )f x在在点点0 x的的邻邻域域内内可可导导，0()0( )fxf x或在在点点0 x的的邻邻域域内内除除点点0 x外外处处处处可可导导，且且( )f x在在点点0 x处处连连续续）. (1)若若在在0 x的的邻邻域域内内，当当0 xx的的( )0;fx当当0 xx时时0()0fx，则则函函数数( )f x在在点点0 x处处

55、取取得得极极大大值值0()f x； (2)若若在在0 x的的邻邻域域内内，当当0 xx的的( )0;fx当当0 xx时时0()0fx，则则函函数数( )f x在在点点0 x处处取取得得极极小小值值0()f x； (3)若若在在0 x的的邻邻域域内内，除除点点0 x外外( )fx恒恒为为正正或或恒恒为为负负，即即( )fx不不变变号号，则则0()f x不不是是函函数数( )f x的的极极值值. 由此得到求连续函数极值的一般步骤如下：由此得到求连续函数极值的一般步骤如下： （1）求导）求导( )fx； （2）求出）求出( )f x的全部驻点及使的全部驻点及使( )fx不存在的点（即不存在的点（即(

56、 )f x的极值可疑点） ；的极值可疑点） ； （3）用极值可疑点将定义域分成若干个部分区间）用极值可疑点将定义域分成若干个部分区间,考考察察( )fx在每个部分区间在上的符号，以确定极值可疑点在每个部分区间在上的符号，以确定极值可疑点是否为极值点，并判断在极值点处函数取极大是否为极值点，并判断在极值点处函数取极大值还是极值还是极小值；小值； （1） 求出各极值点处的函数值，即得函数的全部极值求出各极值点处的函数值，即得函数的全部极值. 例例 6 求求函函数数32( )69f xxxx的的极极值值. 解解 (,)fd 2( )31293(1)(3)fxxxxx 令令( )0fx得得驻驻点点12

57、1,3,( )xxf x没没有有不不可可导导点点，列列表表讨讨论论： x ( 10,1) 1 (1,3) 3 (3,) ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 4 0 由由上上表表可可以以看看出出，函函数数( )f x的的极极大大值值为为(1)4;f极极小小值值为为(3)0f. 解解 (,)fd 1311332(1)2( )1(1)(1)xf xxx 例例 7 求函数求函数23( )3(1)f xxx的极值的极值. 令令( )0fx即即312x ，得得驻驻点点9,1xx点为为不不可可导导点点，但但( )f x在在1x 处处连连续续，列列表表讨讨论论： x (,1) 1 (1,9) 9 (

58、9,) ( )fx + - 0 + ( )f x 1 -3 由由上上表表可可以以看看出出，极极大大值值为为(1)1;f极极小小值值为为(9)3f （其其中中 表表示示该该点点导导数数不不存存在在，即即( )f x的的不不可可导导点点）. 从从以以上上两两例例看看出出，极极值值存存在在的的第第一一充充分分条条件件既既适适用用于于在在点点0 x处处可可导导，也也适适用用于于在在点点0 x处处不不可可导导的的函函数数. 若函数若函数( )f x在驻点在驻点0 x的二阶导数存在且不为零，则的二阶导数存在且不为零，则可以利用以下所给的第二充分条件判定函数的极值可以利用以下所给的第二充分条件判定函数的极值

59、. 定理定理 4（第二充分条件）设函数（第二充分条件）设函数( )f x在点在点0 x处具有二处具有二阶导数且阶导数且00()0,()0fxfx，则，则 （1）当）当0()0fx时，时，( )f x在点在点0 x处取极大值；处取极大值； （2）当）当0()0fx时，时，( )f x在点在点0 x处取极小值处取极小值. 例例 8 求求函函数数32( )43f xxxx的的极极值值. 解解 2( )383(31)(3),( )68fxxxxxfxx 驻驻点点为为13,3xx 及又又 1()100,( 3)1003ff 所所以以由由第第二二充充分分条条件件知知极极大大值值为为114()327f ，极

60、极小小值值为为(3)18f . 例例 9 求函数求函数1( )cos2sin (0)2f xxxx的极值的极值 解解 ( )sin2coscos (1 2sin ),fxxxxx ( )cos2sin .fxxx 令令( )0,fx在在0,上得上得驻点驻点 5,6 26x 53( )()0,( )106622fff 由 第 二 充 分 条 件 ， 得 函 数由 第 二 充 分 条 件 ， 得 函 数( )f x的 极 大 值 为的 极 大 值 为53( )(),664ff极小值为极小值为1( )22f. 在判在判定定驻点驻点0 x是否为极值点时，若在是否为极值点时，若在驻驻点点0 x处处0()