高三数列复习讲座

1、高三数列复习讲座一、教学要求1明白数列的概念和几种简洁的表示方法（列表、图象、通项公式），明白数列是一种特别函数；懂得数列的通项公式的意义；2懂得等差数列的概念；把握等差数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简洁问题；能在详细的问题情境中，发觉数列的等差关系，并能用有关学问解决相应的问题；明白等差数列与一次函数的关系；3懂得等比数列的概念；把握等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简洁问题；能在详细的问题情境中，发觉数列的等比关系，并能用有关学问解决相应的问题；明白等比数列与指数函数的关系；探究并、等比数列的通项公式和前n 项和公式；数列教学，要留意的问题：（ 1）

2、教学中，应使同学明白数列是一种特别函数；（ 2）会依据简洁数列的前几项写出数列的一个通项公式；（ 3）教学中，要把握数列中各量之间的基本关系；但训练要掌握难度和复杂程度，防止繁琐的运算、人为技巧化的难题；（ 4）等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在详细的问题情境中，发觉数列的等差关系或等比关系；这样做，即突出了问题意识，也有助于同学懂得数列的本质；二、考试要求：（a ）数列的有关概念nk（c）等比数列，等差数列三、题型示例：1已知数列an的前 n 项的和sn29n ，第 k 项满意 5a8 ，就 k（中等题）2已知an是等差数列，bn是公比为 q 的等比数列，a1b1, a2b2a

3、1 ，记sn 为数列bn的前 n 项的和（1）如 bkam （m, k 是大于 2 的正整数），求证：sk 1m1a1 ；（2）如 b3ai （ i 是某个正整数） ，求证 q 是整数， 且数列bn中的每一项都是数列an中的项；（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列bn中有三项成等差数列？如存在，写出一个q的值，并加以证明；如不存在，请说明理由（难题）四、各地数列考查特点1各地高考数列试题基本上都是一小一大，小题以考查等差 （比） 数列的通项公式，前 n 项和为主，学问点以2-3 个为多，解题方法大都是通法（解方程或解方程组），题目为简洁题或中等题，在27 个题中仅有8 题的背景或问题不是等

4、差（比）数列问题（1）（安徽文） 3等差数列an的前 n 项和为sn ，如a21 ， a33 ，就 s4（2）（北京文理）10如数列an的前 n 项和sn210nn1，2，3， ，就此数列的通n项公式为；数列nan中数值最小的项是第项（3）（福建理） 2数列 an的前 n 项和为sn ，如 an1nn，就 s5 等于1（4）（福建文） 2等比数列an中，a44 ，就 a2a6 等于（5）（广东文理）13已知数列an的前 n 项和sn29n ，就其通项ann；如它的第k 项满意 5ak8 ，就 k（6）（海南、宁夏理）4已知就其公差 dan是等差数列，a1010 ，其前 10 项和s1070 ，

5、（ 7）（海南、宁夏文）6已知 a， b，c， d成等比数列，且曲线yx22x3 的顶点是b， c ，就 ad 等于（8）（海南、宁夏文）16已知公差 dan是等差数列，a4a2a66 ，其前 5 项和s510，就其（ 9）（湖北理） 6如数列 an 满意n 1p （ p 为正常数，nn），就称 an 为“等方a2n比数列”甲：数列 an 是等方比数列；乙：数列 an 是等比数列，就甲是乙的条件（ 10 ）（湖北理）8已知两个等差数列 an和 bn的前 n 项和分别为a n 和bn ，且an7nbnn45 ，就使得3an 为整数的正整数n 的个数是个bn（ 11）（湖南理） 15将杨辉三角中的

6、奇数换成1，偶数换成0，得到如图1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第1 次全行的数都为1 的是第 1 行，第2 次全行的数都为1 的是第 3行，第1 的是第行；第 61 行中 1 的个数是第 1 行11第 2 行101第 3 行第 4 行110101011第 5 行110011n 次全行的数都为（12）（湖南文） 4在等比数列 an （ nn * ）中，如项和为a11， a41，就该数列的前108（ 13）（江西理） 14已知数列就 a36an对于任意p，qn* ，有1apaqa p q ，如 a1，9（14）（江西文）14已知等差数列an的前 n 项和为sn ，如s1221，就 a2a

7、5a8a1（15）（ 辽宁文理）4设等差数列 an 的前 n 项和为sn ， 如 s39 ，s636 ， 就 a7a8a9（16）（全国理）（ 15）等比数列an的前 n 项和为sn ，已知s1 ， 2s2 ， 3s3 成等差数列，就an的公比为（17）（全国文）14已知数列的通项an5n2 ，就其前 n 项和 sn（18）（ 陕西理）5各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为sn 为，如 sn2 ，s2 n14 ，就 s4 n 等于（19）（陕西文） 5等差数列an的前 n 项和为sn ，如s22 ， s410 ，就s6 等于（20）（天津理） 8设等差数列项，就 kan的公差 d 不

8、为 0， a19d 如 ak 是a1 与 a2k的等比中（21）（重庆理） 1如等比数列an的前 3 项和s39 且 a11，就a2 等于（ 22）（重庆理） 7如 a 是12b 与 12b 的等比中项，就2ab的最大值为a2 b（23）（重庆理）14设a为公比 q1 的等比数列， 如 a和 a是方程4 x28 x30n20042005的两根，就a2006a2007 （24）（重庆文） 1在等比数列 an 中， a28， a564 ，就公比 q 为（ 25）（重庆文） 11设3b 是 1a 和 1a 的等比中项，就a3b 的最大值为（26）（2005 江苏）（ 3）在各项都为正数的等比数列an

9、中，首项a13 ，前三项和为21，就 a3a 4a5（ 27）（ 2006 江苏）（ 15）对正整数n，设曲线yxn 1x 在 x 2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为an ，就数列ann 的前 n 项和的公式是12数列大题考查方向可以归纳为以下几类： 按背景分类（ 1）以应用题为背景安徽文理21（本小题满分14 分）某国采纳养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1 ，以后每年交纳的数目均比上一年增加d d0 ，因此， 历年所交纳的储备金数目a1， a2， 是一个公差为d 的等差数列 与此同时， 国家赐予优惠的计息政策，不仅采纳固定利率，而且运算复利 这nn12就是说，假如固

10、定年利率为r r0 ，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a1 1r ，其次年所交纳的储备金就变为a2 1r ，以tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额（）写出tn 与 tn1 n 2 的递推关系式；（）求证：tnanbn ，其中an是一个等比数列，bn是一个等差数列（ 2）以定义为背景（上海理） 20（此题满分18 分）此题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6分，第 3 小题满分9 分假如有穷数列a1，a2，a3， ，an（ n 为正整数） 满意条件 a1an ，a2an 1， ana1 ，即 aiani 1 （ i1，2， ，n ），我们称其为“对称数列”

11、例如，由组合数组成的数列01mcm，cm， ，cm就是“对称数列” （ 1）设bn是项数为7 的“对称数列” ，其中b1，b2，b3，b4 是等差数列，且b12 ，b411依次写出bn的每一项；（ 2）设cn是项数为 2 k1 正整数 k1 的“对称数列”，其中ck ，ck 1， ，c2 k1是首项为 50 ，公差为4 的等差数列记cn各项的和为s2 k1 当 k 为何值时，s2 k1 取得最大值？并求出s2k1 的最大值；（ 3 ）对于确定的正整数m1 ，写出全部项数不超过2m 的“对称数列”，使得1，2，2 2， ，2m 1 依次是该数列中连续的项；当 m1500 时，求其中一个 “对称数

12、列” 前 2021项的和s2021 （上海文） 20（此题满分18 分）此题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6分，第 3 小题满分9 分假如有穷数列a1，a2，a3， ，am（ m 为正整数）满意条件 a1am ，a2am 1 ， ，ama1 ，即 aiami 1 （ i1，2， ，m ），我们称其为“对称数列”例如，数列 1，2，5，2，1 与数列 8，4，2 ，2 ，48 都是“对称数列” （ 1）设bn是 7 项的“对称数列” ，其中b1，b2，b3，b4 是等差数列， 且 b12 ，b411依次写出bn的每一项；（ 2）设cn是 49 项的“对称数列” ，其中c2

13、5，c26， ，c49是首项为 1，公比为2 的等比数列，求cn各项的和 s ；（ 3）设dn是100 项的“对称数列” ，其中d51，d52， ，d100 是首项为 2 ，公差为 3 的等差数列求d n前 n 项的和sn n1，2， ，100 （ 3）以导数或函数、方程为背景（广东文理） 21（本小题满分14 分）已知函数f xx2x1 ，是方程f x0 的两个根（）， fx 是f x 的导数，设 a1， aaf an n1，2， 1n 1nf an （1）求，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有 an；（3）记 bnln anann1，2， ，求数列bn的前 n 项和sn （湖南理）

14、 21（本小题满分13 分）已知 a a ，b （ nn * ）是曲线yex 上的点， aa ， s 是数列 a 的前 n 项和，nnn1nn且满意 s23n2as2， a0 ， n2，3，4， nnn 1n（i ）证明：数列bn 2bn（ n 2 ）是常数数列；（ii ）确定 a 的取值集合m ，使 am 时，数列 an 是单调递增数列；（iii ）证明：当 am 时，弦an an1 （ nn * ）的斜率随n 单调递增（辽宁理） 21（本小题满分12 分）已知数列 an ， bn与函数f x ，g x ， xr 满意条件：anbn ，f bn gbn1 nn* .（ i ）如f x tx1

15、， t0， t2 ， g x2x ，f bg b ， limnan 存在，求x 的取值范畴；（ ii ）如函数yf x 为 r 上的增函数，g xf1 x ， b1 ， f 11 ，证明对任意nn * ， limnan （用 t 表示）（四川文）（ 22） 本小题满分14 分已知函数f（ x）=x2 4，设曲线 y f（x）在点（ xn，f（ xn） 处的切线与x 轴的交点为 （ xn+1,u）（u,n + ），其中为正实数.（）用xx 表示 xn +1；（）如axn1=4，记 an=lgxn2，证明数列a12成等比数列，并求数列xn的通项公式；（）如x1 4， bn xn 2， tn 是数列

16、 bn的前 n 项和，证明tn<3.（浙江理） （ 21）（此题15 分）已知数列an中的相邻两项a2k1， a2k 是关于x 的方程x23k2k x3k 2k0 的两个根，且a2 k1 a2 k k1，2，3， （i ）求a1 ， a2 ， a3 ， a7 ；（ii ）求数列an的前 2n 项和s2n ；1sin n（）记f n3，2sin nf 2f 3f 4f n 1t1111na aa aa aaa，1 23 4562 n 1 2 nn求证： 1 t5 nn * 624（浙江文）19 （此题14 分）已知数列an中的相邻两项a2k1，a2 k 是关于x 的方程2kkx3k2 x3

17、k20的两个根，且a2 k1 a2 k k1，2，3， （i ）求a1 ， a3 ， a5 ， a7 及 a2 n （ n 4 ）（不必证明） ；（ii ）求数列an的前 2n 项和s2n （4）没有背景，就是数列问题按条件分类（1） 给出的条件是递推关系（2） 给出的条件是等差或等比数列按结论分类一般的有2-3 问，第一问是一个简洁题（求待定系数的值，求前几项，证明一个结论，求通项），第一误码的解答对其次问的证明或求解会产生影响；其次问大都与不等式有关（北京文理） 15（本小题共13 分）数列an中， a12 ， an 1ancn （ c 是常数，n1，2，3， ），且a1， a2，a3 成

18、公比不为1 的等比数列（i ）求 c 的值；（ii ）求an的通项公式（福建理） 21（本小题满分12 分）等差数列 an 的前 n 项和为sn， a112，s3932 （）求数列 an 的通项an 与前 n 项和sn ；（）设 bnsn n nn ，求证：数列 bn 中任意不同的三项都不行能成为等比数列（福建文） 21（本小题满分12 分）数列a的前 n 项和为 s ， a1， a2s nn* nn1n 1n（）求数列an的通项an ；（）求数列nan的前 n 项和 tn （湖北文） 20（本小题满分13 分）已知数列 an 和 bn满意：a11， a22 ， an0， bnanan1 （

19、nn * ），且 bn 是以 q 为公比的等比数列（i ）证明：aa q2 ；n 2n（ii ）如 cna2n 12a2n ，证明数列 cn是等比数列；（iii ）求和：111111a1a2a3a4a2 n 1a2 n（湖南文） 20（本小题满分13 分）设 s 是 数列 a （ nn * ）的前n 项和，aa ，且 s23n2 as2， a0 ，nn1nnn 1nn2，3，4， （i ）证明：数列 an 2an （ n 2 ）是常数数列；（ii ）试找出一个奇数a ，使以 18 为首项， 7 为公比的等比数列 bn （ nn * ）中的全部项都是数列 an 中的项，并指出bn 是数列 an

20、中的第几项（江苏） 20（此题满分16 分）已知an是等差数列，bn是公比为 q 的等比数列， a1b1 ，a2b2a1 ，记 sn 为数列bn的前 n 项和（1）如 bkam （ m， k 是大于 2 的正整数），求证：sk 1 m1a1 ；（4 分）（2）如 b3ai （ i 是某个正整数） ，求证： q 是整数， 且数列bn中的每一项都是数列an中的项；（8 分）（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列bn中有三项成等差数列？如存在，写出一个q的值，并加以说明；如不存在，请说明理由（ 4 分）（江西理） 22（本小题满分14 分）aa11设正整数数列a满意： a4 ，且对于任何nn *

21、，有 21anan 121 11n2n 1nnn1（1）求a1 ， a3 ；（3）求数列an的通项an （江西文） 21（本小题满分12 分）设an为等比数列，a11， a23 （1）求最小的自然数n ，使an 2007；（2）求和：t2 n1232na1a2a3a2n（辽宁文） 20（本小题满分12 分）a 3 a1 b1已知数列 an ， bn 满意na12 ， b11，且b4n 11 a4n 13 b（ n 2 ）1n4n 14n 1（i ）令 cnanbn ，求数列 cn 的通项公式；（ii ）求数列 an 的通项公式及前n 项和公式 sn （全国文理） （ 22）（本小题满分12 分

22、）已知数列an中 a12 ， an121an2 ， n1，2，3， （）求an的通项公式；（）如数列b 中 b2 ， b3bn4 ， n1，2，3， ，n1n 12bn3证明：2 bn a4 n3 ， n1，2，3， （全国文） （ 21）（本小题满分12 分）设 an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11 ， a3b521 ，a5b313（）求 an ， bn 的通项公式；（）求数列an的前 n 项和bnsn （全国理） 21（本小题满分12 分）设数列 an 的首项 a10，1， an3 an 21 ， n2，3，4，（1）求 an 的通项公式；（2）设 bnan32an，

23、证明 bnbn 1 ，其中 n 为正整数（全国文） 17（本小题满分10 分）设等比数列 an 的公比 q1 ，前 n 项和为sn 已知 a32，s45s2 ，求 an 的通项公式（山东理）（ 17）（本小题满分12 分）2设数列a满意 a3an 1n， an * n（）求数列123 a3an的通项；3an3（）设 bnn，求数列anbn的前 n 项和sn （山东文） 18（本小题满分12 分）设 an 是公比大于1 的等比数列，sn 为数列 an 的前 n 项和已知s37 ，且a13，3a2， a34构成等差数列（1）求数列 an的等差数列（2）令 bnln a3n1， n1，2， ，求数列

24、 bn 的前 n 项和 t （陕西理） 22（本小题满分12 分）已知各项全不为零的数列 an 的前 k 项和为（i ）求数列 an 的通项公式；sk ，且 sk1ak ak21kn* ，其中a11（ ii ）对任意给定的正整数n n bk 12 ，数列 bn 满意kn （ k1，2， ， n1 ），bkak 1b11，求 b1b2bn （陕西文） 20（本小题满分12 分）已知实数列an是等比数列，其中a71 ，且a4， a51 ， a6 成等差数列（）求数列an的通项公式；（）数列an的前 n 项和记为sn ，证明： sn128 n1，2，3， （天津理） 21（本小题满分14 分）在数列

25、a中， a2，aan 122n nn ，其中0 n1n 1n（）求数列an的通项公式；（）求数列an的前 n 项和sn ；（天津文）（ 20）（本小题满分12 分）在数列an中， a12 ， an 14an3n1， nn * （）证明数列ann是等比数列；（）求数列an的前 n 项和sn ；（）证明不等式sn 1 4sn，对任意 nn * 皆成立（重庆文理） 21（本小题满分12 分，其中（）小问5 分，（）小问7 分）已知各项均为正数的数列nn an的前 n 项和sn 满意s11 ，且 6snan1an2，（）求an的通项公式；（）设数列bn满意a 2 bn11，并记tn 为bn的前 n 项和，求证：n3tn1 log 2 an3，nn （2006 江苏）