高三数学一轮复习：椭圆

1、第五节椭圆 备考方向要明白考 什 么怎 么 考1.把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁性质2.明白圆锥曲线的简洁应用3.懂得数形结合的思想.1.椭圆的定义、 标准方程和几何性质是高考的重点考查内容， 三种题型均有可能显现，如2021 年山东 t10 等2.直线与椭圆位置关系问题始终是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2021 年陕西 t19 等.归纳 ·学问整合 1 椭圆的定义1满意以下条件的点的轨迹是椭圆在平面内；与两个定点f1、f 2 的距离之和等于常数；常数大于 |f1f2|.2焦点：两定点3焦距：两焦点间的距离探究 1.在椭圆的定义中，如2a |f 1f 2

2、|或 2a<|f1f2|，就动点的轨迹如何？提示： 当 2a |f1f 2|时动点的轨迹是线段f1f2；当2a<|f1f2|时，动点的轨迹是不存在的2 椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2y2a2b2 1 a>b>0y2x2 a2 b2 1a>b>0图形性质范畴 a x a b y b bx b ay a对称性对称轴： x 轴、 y 轴对称中心： 0,0a1 a,0， a2a,0顶点b10， b， b20， ba10， a， a20 ，a b1 b,0， b2 b,0长轴 a1a2 的长为 2a轴短轴 b1b2 的长为 2b焦距|f 1f 2| 2c离心率e

3、 c，e 0,1aa， b， c 的关系c 2 a2 b2探究 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示： 离心率ec越接近a1， a 与 c 就越接近，从而ba2 c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆自测 ·牛刀小试 x2y21椭圆1a. 3c. 3 3 1 的离心率为 168b.12d. 2 2.解析： 选 d a2 16，b2 8， c2 8， e c2a2222已知 f 1， f2 是椭圆 x y169 1 的两焦点，过点f 2 的直线交椭圆于a，b 两点，在af 1b 中，如有两边之和是10，就第三边的长度为 a 6b 5c4d 3解

4、析： 选 a依据椭圆定义，知af1b 的周长为 4a 16，故所求的第三边的长度为1610 6.3椭圆 x2 my2 1 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，就m 的值为 11a. 4b.2c2d 4解析： 选 a由题意知a21， b2 1，且 a 2b，就 1 4，得 m 1.mm44如椭圆xy2216m2 1 过点 2，3，就其焦距为 a 23b 25c43d 45解析： 选 c把点 2，3的坐标代入椭圆方程得m2 4，所以 c2 16 4 12，所以c23，故焦距为2c 43.x2y25设 f 1、f2 分别是椭圆 1 的左、右焦点，p 为椭圆上一点，m 是 f1p 的 中2516点

5、， |om |3，就 p 点到椭圆左焦点的距离为 2解析： 由题意知 |om | 1|pf2 |3，就 |pf2 | 6.故|pf 1|2× 5 6 4.答案： 4椭圆的定义、标准方程例 11 已知 abc 的顶点 b、c 在椭圆2x y2 1 上，顶点a 是椭圆的一个焦点，且3椭圆的另外一个焦点在bc 边上，就 abc 是周长是 a 23b 6c43d 12x2y232222021山·东高考 已知椭圆c： a2 b2 1a>b>0的离心率为2 .双曲线 x y 1 的渐近线与椭圆c 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，就椭圆 c 的方程为222

6、2xyxya. 8 2 1b.12 6 1x2y2x2y2c.16 4 1d.20 5 1自主解答 1 依据椭圆定义，abc 的周长等于椭圆长轴长的2 倍，即 43.2由离心率为3得， a22 4b2，排除选项b，双曲线的渐近线方程为y±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16 可得在第一象限的交点坐标为2,2，代入选项a 、c、d，知选项 d 正确答案 1c2d用待定系数法求椭圆方程的一般步骤1作判定：依据条件判定椭圆的焦点在x 轴上，仍是在y 轴上，仍是两个坐标轴都有可能；x2y2x2y22设方程：依据上述判定设方程a2 b2 1a>b>0或 b2 a2 1 a&g

7、t;b>0 ；3 找关系：依据已知条件，建立关于a、b、c 或 m、n 的方程组；4 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.留意： 用待定系数法求椭圆的方程时，要“ 先定型，再定量” ，不能确定焦点的位置时，可进行分类争论或把椭圆的方程设为mx2 ny21 m>0， n>0 .1已知椭圆g 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3，且椭圆上一点到椭圆2的两个焦点的距离之和为12，就椭圆 g 的方程为 22解析： 设椭圆方程为x 2 y 2 1a>b>0，依据椭圆定义2a 12，即 a 6，又 c 3，得ab222a2x2y2c33，故 b a c 36

8、 27 9，故所求椭圆方程为36 9 1.2答案： x2 y 1369x2y22已知f 1， f2 是椭圆c： a2b2 1 a>b>0的左、右焦点，p 为椭圆c 上一点，且pf 1 pf 2 .如 pf 1f2 的面积为9，就 b .解析： 设椭圆的焦点坐标为 ±c,0依据椭圆定义和pf 1f2 是一个面积等于9 的直角三角形，|pf1| |pf 2| 2a，有 |pf1| ·|pf 2| 18，|pf1|2 |pf 2|2 4c2.式两端平方并把、两式代入可得4c2 364a2，即 a2 c2 9，即 b2 9，故 b 3.答案： 3椭圆的几何性质及应用例

9、22021安·徽高考 如图， f 1， f 2 分别是椭圆c：x2y2b2 2 a1a>b>0 的左、右焦点，a 是椭圆 c 的顶点， b 是直线 af 2 与椭圆 c 的另一个交点， f 1af 2 60°.1求椭圆 c 的离心率；2已知 af 1b 的面积为403，求 a， b 的值.自主解答 1 由题意可知，af 1f2 为等边三角形，a 2c，所以 e 122法一： a2 4c2， b23c2，直线 ab 的方程可为y3x c将其代入椭圆方程3x2 4y2 12c2，得 b 8c， 33.5 5 c·所以 |ab|1 38c 016c.55由

10、saf1b |af| ·|ab|sin f11635ab a·23 2 403，解得 a 10，b 53.12112 · c2 5a法二： 设|ab | t .由于 |af 2| a，所以 |bf 2| t a.由椭圆定义 |bf1| |bf 2| 2a 可知， |bf 1|3a t.再由余弦定理3at2 a2 t2 2atcos 60 °可得， 8t 5a.由 saf1b1a8323 2 403知，· a·a2525a 10， b 53.椭圆离心率的求法求椭圆的离心率或范畴 时，一般是依据题设得出一个关于a， b ， c 的等式 或

11、不等式 ，利用 a2 b2 c2 消去 b，即可求得离心率或离心率的范畴x2y23椭圆a2 b2 1a>b>0的两顶点为aa,0，b0， b，且左焦点为f ， fab 是以角 b为直角的直角三角形，就椭圆的离心率e 为3 1a.2b.51 215c.4d.3 14解析： 选 b依据已知a2 b2 a2 a c 2，即 c2 aca2 0，即 e2 e 1 0，解得 1± 5e，故所求的椭圆的离心率为25 12.x2y24椭圆a2 5 1a 为定值，且a>5的左焦点为f，直线x m 与椭圆相交于点a，b， fab 的周长的最大值是12，就该椭圆的离心率是 解析： 设椭

12、圆右焦点为f ，由图及椭圆定义知，|af| |af | |bf| |bf | 2a.又 fab 的周长为 |af | |bf | |ab| |af | |bf | |af | |bf | 4a，当且仅当ab 过x2y2右焦点 f 时等号成立，此时4a 12，就 a 3，故椭圆方程为e c 29 5 1, 所以 c 2，所以.a3答案： 23直线与椭圆的综合x2y21例 3如图，椭圆c： a2 b2 1a b 0的离心率为2，其左焦点到点p2,1的距离为10.不过原点o 的直线 l 与 c 相交于 a， b 两点，且线段ab被 直 线 op 平 分 1 求 椭 圆 c 的 方 程 ； 2求 ab

13、p 面积取最大值时直线l 的方程 自主解答 1 设椭圆左焦点为f c,0，就由题意得2c 2 110，c1解得a ，2c 1，a 2.2所以椭圆方程为x42y 1.32设 ax1， y1， bx2， y2，线段 ab 的中点为m .当直线 ab 与 x 轴垂直时，直线ab 的方程为x 0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线ab 的方程为y kxmm 0，ykx m，由消去 y，整理得 3x2 4y212322 8kmx4m2 12 0，4k x就 64k2m2 43 4k24 m2 12 0，x1 x2 8km 2，3 4k4m2 12x1x23 4k2 .所以线段 ab 的中点 m 4km

14、 2，3m 2 .3 4k3 4k13m 2km由于 m 在直线 op： y2x 上，所以.得 m 0舍去 或 k 3222.3 4k3 4k此时方程为3x2 3mxm2 30，就 312 2m 0，x1 x2 m，m2 3所以 |ab|1 k2x1x23. x392· |x 12|6· 12m .设点 p 到直线 ab 距离为 d，就|8 2m|2|m 4|d32 2213.设 abp 的面积为s，就1s 2|ab | d·36 · m 42 12m2 .其中 m 23， 0 0,23令 um12 m2m42， m 23， 23 ， u m 4m4 m

15、2 2m 6 4m 4m17m 17所以当且仅当m 17时， um取到最大值故当且仅当m 17时， s 取到最大值综上，所求直线l 方程为 3x 2y 27 2 0.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法x2y225 2021 ·洛阳模拟 已知椭圆a2 b2 1a>b>0 的离心率为2 ，短轴的一个端点为m 0,1，直线 l ：y kx 1与椭圆相交于不同的两点a， b.31如|ab |426，求 k 的值；92求证：不论k 取何值，以ab 为直径的圆恒过点m .，解： 1由题意知 c 2b 1.a2由 a2

16、 b2 c2 可得 c b 1， a2，椭圆的方程为x22 y21.13y kx ，由x2得2k2 1x243kx16 0.9y2 1，2 16 2 42k2 1× 16 16k2 649 k9设 ax1， y1， bx2， x2，9 >0 恒成立就 x x4k， x16，123 2k2 11x29 2k2 12412 4426 |ab|1k2·|x1 x2|1 k2· x1 x2 2 4x1x2k9k2，化简得 23k4 13k2 100，即 k2 123 k2 10 0， 解得 k±1. 2证明： ma x1， y1 1， mb x2， y2

17、1， ma ·mb x1x2 y11 y2 1 1 k2x1x24k x1 x2 163 2k 19392216 1k169 2k2 116k9 2k2 1 9 0.不论 k 取何值，以ab 为直径的圆恒过点m .1 个规律 椭圆焦点位置与x2、y2 系数之间的关系22给出椭圆方程x y 1 时，椭圆的焦点在x 轴上 . m>n>0；椭圆的焦点在y 轴上 .mn0<m<n.1 种思想 数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，摸索时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们

18、之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系2 种 方 法 求 椭 圆 标 准 方 程 的 方 法1定义法：依据椭圆定义，确定a2， b2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程 2待定系数法：依据椭圆焦点是在x 轴仍是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后依据条件确定关于a、b、c 的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程 3 种技巧 与椭圆性质、方程相关的三种技巧1椭圆上任意一点m 到焦点 f 的全部距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为a c.2求椭圆离心率e 时，只要求出a， b，c 的一个齐次方程，再结合b2 a2 c2 就可求得 e0&l

19、t;e<1 3 求椭圆方程时，常用待定系数法，但第一要判定是否为标准方程，判定的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴.答题模板 直线与圆锥曲线的位置关系典例 2021 北京高考 ·满分 14 分已知曲线c：5 mx2 m2y2 8m r 1如曲线 c 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范畴； 2设 m 4，曲线 c 与 y 轴的交点为a， b点 a 位于点 b 的上方 ，直线 y kx4 与曲线 c 交于不同的两点m ， n，直线 y 1 与直线 bm 交于点 g.求证： a， g， n 三点共线 快速规范审题第1问1 审条件，挖解题信息观看条件： 方程的曲线是焦点在x

20、椭圆的标准方程x2y22 审结论，明确解题方向轴上的椭圆 2a2 1a b0 b观看所求结论：求 m 的范畴 需建立关于m 的不等式3 建联系，找解题突破口确定 a2， b22828建立关于由椭圆的标准方程a， b 5 mm 2 ，m的不等式5m0m20，88解不等式组 ,得 m 的取值范畴5 mm 2第2问1 审条件，挖解题信息观看条件 ： m 4；曲线 c 与 y 轴交于 a，b 与直线 y kx 4 交于 m ， n；直线 y 1 与直线 bm 交于 g把 m 4代入曲线 c的方程 曲线并令 x 0，得 a、 b的坐标c 的方程 x2 2y2 8， a0,2， b0， 22 审结论，明确

21、解题方向利用斜率转化观看所证结论：证明 a， g，n 三点共线 证明 kan kag .3 建联系，找解题突破口联立方程 y kx 4 与 x2 2y2 8利用根与，消元 系数的关系 确定m ，n 的坐标满意的条件写出 bm的写出 kan ，写出 g 的坐标 证明 kan kag 0.方程并令 y 1kag 的表达式 精确规范答题1曲线 c 是焦点在x 轴上的椭圆，5 m 0，易忽视焦点在x 轴上，漏掉当且仅当m 2 0，.3 分85m8m 2这一条件，从88，而失误5 mm277， 5解得 m 5，所以 m 的取值范畴是22.4 分2当 m 4 时，曲线 c 的方程为 x2 2y2 8，点

22、a， b 的坐标分别为 0,2 ，0 ， 2 .5 分ykx 4，由x2 2y2 8，得 12k2x2 16kx24 0.6 分由于直线与曲线c 交于不同的两点，所以 16k2 41 2k2× 240，即 k2 3.72分设点 m ，n 的坐标分别为x1， y1， x2， y2，就 y1 kx1 4， y2 kx2 4，16kx x ， x24121 2k21x212k2.8 分y1 2联立消元后易忽视直线 bm 的方程为y 2x1x， 0这一前提条3x1点 g 的坐标为y1 2， 1 .9 分件y2 2由于直线 an 和直线 ag 的斜率分别为kany1 2x 2，kag3x1 ，

23、 .11 分y2 2y1 2kx2 2kx1 6所以 kan kagx23x1x2 16k3x1不会将三点共线转化为42 x1 xk2 4k2×122k 0.斜率相等去证明.整体运3x1x232421 2k即 kan kag.13 分算不精确，导致推证不出正确的结论 .故 a， g，n 三点共线 .14 分答题模板速成解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：第一步审清题意其次步联立方程第三步问题转化求解第四步得出结论第五步反思回忆联立方程消将所给定的问分析条 件，确定相应的曲线方程元后保证.的取值， 利用根与系数关系建立两交点坐标关系题坐标化、 方程化，转化过程中要留意整体运 算中 x1

24、 x2，x1x2 的运用.解决问题得出结论反思回忆解题过程，检查步骤是否完备一、挑选题 本大题共6 小题，每道题5 分，共 30 分 ny 1 的曲线是椭圆”的221 2021 ·上海高考 对于常数m，n， “mn>0”是“方程mxa 充分不必要条件b 必要不充分条件c充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析： 选 b由于当 m<0， n<0 时，方程mx2 ny21 表示的曲线不是椭圆，但当方程mx2 ny2 1 表示的曲线是椭圆时，m>0， n>0，mn>0.22已知椭圆：x2y 1 的焦距为4，就 m 等于 10 mm2a 4b 8c4 或

25、8d 以上均不对解析： 选 c由10 m>0， m 2>0，得 2<m<10 ，由题意知 10 m m 2 4 或m 210 m 4， 解得 m 4 或 m8.3矩形 abcd 中， |ab| 4， |bc| 3，就以 a， b 为焦点，且过c， d 两点的椭圆的短轴的长为 a 23b 26c42d 43解析： 选 d依题意得 |ac| 5，所以椭圆的焦距为2c |ab| 4，长轴长2a |ac|bc | 8，所以短轴长为2b 2a2 c2 216 443.4 2021 ·汕尾模拟 已知 p 为椭圆xy222516 1 上的一点， m ，n 分别为圆 x 32

26、 y2 1和圆 x 32 y24 上的点，就 |pm | |pn |的最小值为 a 5b 7c13d 15解析： 选 b由题意知椭圆的两个焦点f 1， f2 分别是两圆的圆心，且|pf1| |pf 2|10，从而 |pm | |pn |的最小值为 |pf1| |pf 2| 1 2 7.5以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是a 内切b 相交c相离d 无法确定解析： 选 a如图，设线段是pf1， o1 是线段 pf1 的中点，连接o1o，pf 2，其中 o 是椭圆的中心，f2 是椭圆的另一个焦点，就在pf 1f 2 中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长

27、是|oo 1| 122|pf 2| 1a2 |pf 1|a 1|pf 1| r r .2x2y26 2021 ·新课标全国卷 设 f 1， f 2是椭圆 e： a2 b2 1a>b>0的左、右焦点，p 为直线3axpf1上一点， f 2是底角为30°的等腰三角形，就e 的离心率为 212a. 2b.334c.4d.5解析： 选 c依据题意直线pf的倾斜角是 3a c1|pf| 1|ff | 12c，解.2得 e 342，所以3222212×二、填空题 本大题共3 小题，每道题5 分，共 15 分x2y222227如椭圆a2 b2 1a>b>

28、0与曲线 x y a b恒有公共点，就椭圆的离心率e 的取值范畴是 解析： 由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b c，所以 b2 c2，即 a2 2c2 ，所以2cc22a.又a<1，所以答案：2， 12 e<1.2x2y28 2021 ·江西高考 椭圆 a2 b2 1a>b>0的左、右顶点分别是a， b，左、右焦点分别是 f1， f 2.如 |af1|， |f 1f 2|， |f1b|成等比数列，就此椭圆的离心率为 解析： 依题意得 |f 1f2|2 |af 1| |·bf1|，即4c2 ac ·a c a2 c2，整理得

29、5c2 a2，得 e c 5.a5答案：55x2y239已知椭圆c： a2 b2 1a>b>0 的离心率为2 .过右焦点f 且斜率为kk>0 的直线与椭圆 c 相交于 a， b 两点如 af 3 fb ，就 k .解析： 依据已知 c3，可得a2c2，就b21c2 ，故椭圆方程为3x223y22 1，即 3x24a2334cc 12y2 4c2 0.设直线的方程为x my c，代入椭圆方程得3m2 12 y2 6mcy c2 0.设 ax1， y1， bx2， y2，就依据af 3 fb ，得 c x1 ， y1 3x2 c， y2 ，由此得y1 3y2 ，依据韦达定理y1

30、y22cm2， y1y2c2cm，2，把 y1 3y2 代入得， y22m43 m 4c21m 423y23 m2 4，故 9m2 m2 4，故 m2 ，从而 k2 2， k ± 2. 2又 k>0，故 k2.答案：2三、解答题 本大题共3 小题，每道题12 分，共 36 分10已知 p 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p 到两焦点的距离分别为过 p 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程33.解： 设两焦点为f 1， f 2，且 |pf 1| 45， |pf 2|25由椭圆定义知2a |pf 1| |pf2| 25，即 a5.由|pf1 |>|pf 2

31、|知， |pf 2|垂直焦点所在的对称轴，45253和3，所以在 rt pf中， sin pf |pf2| 12f 11f 2|pf1|2.可求出 pf f2c |pf | ·25，12 6，1 cos 36从而 b2a2c210.32222所以所求椭圆方程为x 3y 1 或3xy 1.510x2y2105611已知椭圆g：a2 b2 1a>b>0的离心率为，右焦点为 22， 0斜率为 1 的直3线 l 与椭圆 g 交于 a， b 两点，以 ab 为底边作等腰三角形，顶点为p 3,2 1求椭圆 g 的方程；2求 pab 的面积解： 1由已知得c 22， c6，解得a23，

32、a3又 b2 a2 c2 4.22所以椭圆 g 的方程为 x y124 1.2设直线 l 的方程为y x m.y xm，由x2y21241，得 4x2 6mx 3m2 120.设 a， b 的坐标分别为 x1， y1， x2， y2 x1<x2， ab 中点为 ex0，y0，就 x x1 x23my x m m024 ， 004 .由于 ab 是等腰 pab 的底边，所以pe ab.m 2 4所以 pe 的斜率 k 1.解得 m2.3 3m4此时方程为4x2 12x 0.解得 x1 3， x2 0.所以 y1 1， y2 2.所以 |ab | 32. 此时，点p 3,2 到直线ab： x

33、 y 2 0 的距离d | 3 2 2|232，2|ab| ·d所以 pab 的面积 s 19.2212 2021 ·重庆高考 如图，设椭圆的中心为原点 o，长轴在 x 轴上，上顶点为 a，左、右焦点分别为 f1， f2，线段 of 1， of2 的中点分别为 b1 ，b2，且 ab 1b2 是面积为 4 的直角三角形1求该椭圆的离心率和标准方程； 2过 b1 作直线 l 交椭圆于p，q 两点，使pb2 qb2，求直线 l 的方程x2y2解： 1如图，设所求椭圆的标准方程为a2b21 a>b>0 ，右焦点为f 2c,02因 ab1b2 是直角三角形，又|ab1|

34、 |ab2|， 故 b1ab2 为直角，因此 |oa| |ob2|，得 b c.结合 c2 a2 b2 得 4b2 a2 b2 ，故 a2 5b2，c2 4b2，所以离心率e c 25.a5在 rtab 1b2 中， oa b1b2，故s ab1b2 1·|b1b2| |·oa | |ob2| |·oa|c b b2.2 2·由题设条件sab 1b2 4，得 b2 4，从而 a2 5b2 20.因此所求椭圆的标准方程为xy22204 1.2由1 知 b1 2,0， b2 2,0由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为xmy 2.代入椭圆方程

35、得m2 5y2 4my16 0.设 px1， y1， q x2， y2，就 y1， y2 是上面方程的两根，因此 y y 4m， y16，12m2 51·y2m2 5又 b2 p x1 2， y1， b2q x2 2，y2 ，所以b2 p ·b2q x1 2 x2 2 y1y2 my1 4my2 4 y1y2 m21 y1y2 4my1y2 1616 m2 116m2m2 5 m25 16 64216mm2 5，由 pb2 qb2，得b p ·b q 0，即 16m2 64 0，22解得 m ±2.所以满意条件的直线有两条，其方程分别为x 2y 20 和 x 2y2 0.1设 e1， e2 分别为具有公共焦点f1 与 f2 的椭圆和双曲线的离心率，p 为两曲线的一e2e2个公共点，且满意pf· 0，就 12的值为 1 pf 2e1e2 2解析： 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2， |f1f2| 2c，由题意得 |pf 1|pf 2| 2a1， |pf1 | |pf 2| 2a2， |pf1|2 |pf 2|2 2a2 2a2.12又 pf 1·pf 2 0， pf 1 pf 2. |pf1 |2 |pf2|2 |f 1f2