2022年三垂线法求二面角专题

1、（精品）三垂线法求二面角专题1、（本小题满分 13 分）如图，已知 da平面 abe，四边形 abcd是边长为 2 的正方形，在 abe中， ae=1，be= 3 ；（）证明：平面 ade平面 bce；（）求二面角 b ace 的大小； 解：（） da平面 abe， da beabe中， ae=1 be= 3ab=2be eabe平面ade be平面bce平面 ade平面 bce（注：此题也可证明bce）ae面bce， ae面ade，从而平面 ade平面（）过点 e 作 efab与 f da平面 abe平面 abcd平面 abeef平面 abcd过 f 作 fg ac与 g，连 eg，就 eg

2、 ac（三垂线定理） egf为二面角 b ac e 的平面角；在 rt efg中tanegfef gf6,egfarctan6（注：此题答案仍可写成arcsin42 或者是写成7arccos7 ）72、（本小题满分 12 分）如图， abcd 为直角梯形，dababc90 ，abbc1， ad2 ， pa平面 abcd ， pa1；、求点 p 到cd 的距离；、求证：平面 pac平面 pcd ；p1 / 4下载文档可编辑afdh、求平面 pab 与平面 pcd 所成二面角的大小；解：取 ad 的中点 f ，连结 cf ；易证四边形 abcf 是正方形， cfab1 又 ad2 cf1 ad21

3、， cfaffd acd90即accd pa平面 abcd pccd p 到 cd 的距离为 pc ，pc3证明： accd ，pccd 且 acpcc ， cd平面 pac又 cd平面 pcd平面 pac平面 pcd解：延长 dc 交 ab 的延长线于 g ，连结 pg ；平面 pab平面pcdpg ，易证 da平面 pab过a 作 ahpg ，垂足为 h ，连结 dh ，得到 ahd 为所求二面角的平面角ah255 ， tanahdad5ah ahdarctan5 平面 pab 与平面 pcd 所成二面角为arctan5（注：此题答案仍可写成arcsin30 或者是写成6arccos6 ，

4、并且也可用射62 / 4下载文档可编辑影面积法求解）3、（12 分）如图：已知四棱锥 pabcd 中，底面四边形为正方形，侧面 pdc为正三角形，且平面 pdc底面 abcd，e 为 pc中点；（ 1）求证：平面 edb平面 pbc；（ 2）求二面角 bdec 的平面角的正切值；【解析】（1）要证两个平面相互垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线；第一观看图中已有的直线， 不难发觉，由于侧面 pdc为正三角形，所以， depc，那么我们自然想到：是否有de面pbc？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情； 面 pdc底面 abcd，交线为 dc， de 在平面 ab

5、cd内的射影就是 dc；在正方形 abcd中， dccb， de cb；又 pcbcc ， pc、bc面pbc ， de 面pbc ；又 de面 edb， 平面 edb平面 pbc；（2）由（ 1）的证明可知： de 面pbc；所以， bec 就是二面角bdec 的平面角； 面 pdc底面 abcd，交线为 dc，又平面 abcd内的直线 cb dc； c b面 pdc；又pc面 pdc， c b pc；在 rtecb 中，tanbecbc2ce；4、（ 12 分）一副三角板拼成一个四边形abc，d 如图，然后将它沿 bc折成直二面角 .3 / 4下载文档可编辑（1） 求证：平面 abd平面 acd；（2） 求二面角 abd c的大小.解析：（1）证明：取 bc中点 e，连结ae， ab=ac， aebc平面 abc平面 bcd， ae平面 bcd， bccd，由三垂线定理知 abcd.又 ab ac， ab平面 bcd， ab 平面 abd. 平面 abd平面 acd.（ 2） 解： ae面 bcd，过 e作 eg bd于 g，连结 ag，由三垂线定理知 agbd， age为二面角 abdc的平面角2 ebg=30°，