高三数学数列的极限

1、高三数学试题及高考分析本周复习内容：数列的极限本周复习重点：数列的极限运算，数列及其极限的综合问题<一>关于数列极限的运算n1运算法就：liman=a,limbn=b.nn(1) lim anbn ab(2) limanbn abnn(3) limanbna b0 b留意： 运算法就只可应用于有限个数列的运算当中；2几个基本数列的极限n1limc=c2lim10 n3limnq =0 0<|q|<1nn3数列极限运算的几种基本类型：1关于 n 的分式型2关于 n 的指数型3无穷多项的和与积4无穷递缩等比数列<二> 本周例题例 1 求以下数列的极限：(1) l

2、im3n22n6(2) lim2 n3nn(3) lim5n27n11 191 11 n11 2n13n 1n(4) lim2 2123 24 212n 212n55 25 35 45 2n 152 nn5lim 11139271 n 11 3 n13323 n 1n(6) limnn1n(7) limn3na n 1 n 1n8lim 1232.3.4.nn1.lim9naa nb na,b>0分析： 求数列的极限第一应判定属于哪一种基本类型，然后考虑如何转化哪一种基本数列的极限解决问题；解 : 1lim n3n 25n 22n67 n9nlim n3262nn35795nn 22 n

3、1(2) lim（2）n3= lim31 .n(3) lim2n1113n11n1 122 n3331 11 n=lim n12 21 123 21 124 21 131 13n21 11 4411 1n1 n=lim n=lim n 1322231 n12 n43534412 n1 n nn1n(4) lim1255 2125 35 415 2n 1252 n=lim n 11553152 n 1 112 5 25 415 2n =lim n1 1 511 52 n1521 125211 52 n712452n或另解：原式= lim 1155 31115 2n 1 125 215 2 n 5

4、52711121242255(5) 分析： 应能够很快地由数列的通项1n 111可识别出此数列为公比为-3 n1 的无穷递缩等比数列；3lim111n3927n(6) limnn11 n 1n lim= n133n113n n1=n1；4nn1n1n=lim nn n1n1nlim n=nnn1nlim n111112n注： 数列 n 不存在极限，不能直接用运算法就，因此变形后化为基本数列的极限解决；n(7) lim2133n 13= lim13 nn31= lim13n3na n 1n3=13na n 1n23n 11na n 1 1n 当 0|a|<3时 ， lim23nan 1 l

5、im n213. a na2 33n1 当|a|>3时，lim n3n1nn 1（）=limaa nn30 .23a2 naa311 当 a=3 时 ，lim n3n123nannlim=1 nn1；213811nn= 当 a=-3 时 ， lim323n1a n 1 lim n213na 1（极限不存在） ；133213 n 120| a |3-综 ， limn3 na n 10| a |31a38n8lim 1232.3.4.nn1.=lim n 212.31413.4. n11n1.=lim n=lim n111 12.2.1 n1.1 11 3.3.4.1.a n 1 1n.na

6、11.n=9 a>b>0 时， lima nb nlim na ；1 b nan 当 b>a>0 时 ， lima n 1nnlim na a nb0 ；a=abn1bn 当 b=a>0 时 ， lima n 1a nb nlimaa=n；22n综上： lima n 1a=a nbn0a2a b0b a0ab小结： 求数列的极限难点问题有几类，<i>无穷多项的和与积；如上例中第3,4,5,7,8，不能直接用极限的运算法就，先要将所给形式变形，化简，如3 是约分化简，4是转化为两个等比数列的和，5的关键是能够判定其为无穷递缩等比数列，7就是光用等比数列求

7、和公式化简，8 却应用的是特别数列求和的基本方法裂项求和达到化简的目的；<i i >关于 n 的指数型数列的极限，如含有参数的幂的形式（关于n 的），n就需要争论，以确保符合条件0<|q|<1 ，才可应用limq n0 来解决问题；n例 2. 1已 知 lim2 2 nn2nanb,求 a, b.n(2) 已 知 liman 2cnbn 2c2 ,limbnccna3 ,求 ： liman 2ncn2bnc ；anb(3) 已知：lima 2 n4 n 13 ,求 a.n解： 1limn3 n2n 222 2 n 18na b,即有： limnn22a n 2n22na

8、b ，就有2a0a2b2ab4 c2 lim nan 2cnbn 2c2 ,alimnncbn 22 , a b2 .又lim nbnccnabcn3 ,limn can,abcb 3 ,bc c3 .又liman 2bnc= limnn 2ancn 2anbnaabc nn2can2bnc由，得c3lim232nna4，lim n613 ,cn2anb=6；n3n2 当2lim24na 2n84n 1lim11 （ 4 ）n4a 2|a |>4 时 ， n3n 224 n = n3n9 a2 4n2 a2 不存在，2当 0<|a |<4 时 ， lima 2 n4 n 1=

9、 lim a n12n8441 ，n3n 224nn392=4a2n当 a =4 时 ， lim2n3n 224 n 124 nlim n1143，9 3 n284 有 ： a =4,即 a=± 2.小结： 本例中几问共同特点是已知数列的极限，反过来求式子中待定的系数；解决的方法仍是化归为求数列的极限问题；如 1 中，已知一个关于n 的分式型的极限，实际上考察了对关于n 的分式型极限求法的把握情形；应使同学明确形如：ax 22cxbxcdxc的极限问题关键看分子，分母中关于n 的项的最高次项的系数，假如不能确定其系数时，即需要争论；nn例 3 1 在等比数列a n 中， a1>

10、1，且前 n 项和 sn 满意 lims1，求 a1 的取值范畴；a1n2数列 a n, bn 均是公差不为0 的等差数列，且limanbn3 ，求 limb1b2bn；na2 nnnn解： 1 a n 为等比数列，又a1>1, 且lims1,因此 a n 为无穷递缩等比数列，a11设 a n 公 比 为 q. a1a12, 1-q=a 1 ,1q2 0<|q|<1, 0<|1-a1 |<1,解得： a 1,2 .n2设 a n 公 差 为 d, bn 公差为 d', lima1nb1n1d 1d 'd 3 ,d'b1b2bnnb1n n2

11、1 d ' , na 2n=na 1+2n-1d,limnnb1n n 21d 'b1limn1 n21d '.1 limd '1nna12 n1 d a12n1d4d12小结：数列的极限与等差，等比数列的学问的结合是常常考察的问题，特别要留意对于无穷递缩等比数列的识别，及求和公式的正确运用；例 4 已知数列 a n 前 n 项和为sn,此无穷数列对于不小于2 的正整数n,满意 1-sn=an-1 -a n.(1) 求 a1, a 2, a 3.2证明 a n 为等比数列；3设 bn1log 2 a 2 n 3log 22a 2n 1a ， 求 limnn1b

12、1+b2+bn 的值；解： 1s2 =a1+a2, 1-a 1+a2=a 1-a 2,解得 : a1,2 s =a +a +a ,同懂得得：113123a 2,a3.481(2) <方法 1>, 由 a1,a 2,a 3 估计 a n用数学归纳法证明 当 n=1 时，上式成立假设当n=kk 1, k n 时， a knn n.21成立；2 k欲证当 n=k+1 时， a k1k121成立， 1-s k+1=ak-a k+1, 1-s k+ak+1=a k-a k+1, 1-s k=ak.i同理， 1-s k+1=ak+1.iiii-i得： 1-s k+1-1-s k=a k+1 -

13、a k-ak+1=ak+1-a k , 2a k+1 =ak ,1a k 1a k2112 2 k112 k 1, n=k+1 时，命题也成立；由对于n n,a nn 均成立；2< 方 法 2> 当 n2 时 ， 1-s n=an-1 -a n. 1-s n+1=an-a n+1.- 得： sn+1-s n=an-1 -2a n+an+1, a n+1=an-1 -2a n+an+1,an1 ,an 12即a2a3a1a2an an 11 ， a n 为等比数列；2(3) bnlog 21 1 2n 32log111 2 n 12 n2222n1lim112n32 n2 n1n 112 2n1n32nb 1+b2+b3+bn=lim n 131115252742n11 2 n 12 n13 2n =lim1n32n113 2n 3 .小结： 数列，极限，数学归纳法常常将几个学问点综合起来考察，因此需要清懂得决问题