高三数学导数专题例题及知识点总结

1、学习必备欢迎下载王增浩数学第五课时导数专题一、导数的基本应用（一）争论含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值基本方法：一般通法：利用导函数争论法特别方法：（ 1）二次函数分析法； （ 2）单调性定义法第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类争论的才能与技巧【例题 1】已知函数f x2 xb，求导函数f x ，并确定f x的单调区间x122 x122 xb 2 x12 x2b22 xb1解： f x x14 x13x13令 f x0 ，得 xb1 当 b11 ，即 b2 时，f x2，所以函数x1f x 在 ，1 和 1， 上单调递减

2、当 b11，即 b2 时，f x 的变化情形如下表：x， b1b1b1，11，fx0当 b11 ，即 b2 时，f x 的变化情形如下表：x，11， b1b1b1，f x0所以， b2 时，函数f x 在 ， b1 和 1， 上单调递减，在b1，1 上单调递增，b2 时，函数f x 在 ，1 和 1， 上单调递减b2 时，函数f x 在 ，1 和 b1， 上单调递减，在1， b1) 上单调递增其次组本组题旨在强化对导函数零点进行分类争论的意识、才能和技巧【例题 2】已知函数f xx3mx2nx2 的图象过点1,6 ，且函数g xf x6 x 的图象关于y 轴对称 （. ）求 m、n 的值及函数

3、yf x 的单调区间； （）如 a0 ，求函数yf x在区间 a1,a1) 内的极值 .解：（）由函数f x图象过点 1,6 ，得 mn3 ，学习必备欢迎下载由 f xx3mx2nx2 ，得 f x3x22mxn ，就gxf x6x3x22m6xn ；而 g x图象关于 y 轴对称，所以2m60 ，所以 m3 ，23代入得n0 .于是 fx3x26 x3 xx2 .由 f x0 得 x2 或 x0 ，故f x的单调递增区间是,0 ， 2, ；由 f x0 得 0x2 ，故f x的单调递减区间是0, 2 .（）由（）得f x3x x2) ，令f x0 得 x0 或 x2 .当 x 变化时，f x

4、 、f x的变化情形如下表：x,000, 222,f'x00fx增极大值减微小值增由此可得：当0a1时，f x 在 a1,a1) 内有极大值f 02 ，无微小值；当 a1 时，f x 在 a1,a1) 内无极值；当 1a3 时，f x在 a1,a1 内有微小值f 26 ，无极大值；当 a3 时，f x在 a1,a1 内无极值 .综上所述，当0a1时，f x 有极大值2 ，无微小值；当 1a3 时，f x 有微小值6 ，无极大值；当a1 或a3时，f x无极值 .点评：此题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类争论，但争论的直接对象变为了函数自变量的研究范畴，故此题思路不难，

5、旨在帮忙同学加深对此类问题本质的熟悉，并提升其详尽分类，正确运算的水平.2【例题 3】已知函数f xx1a ln x ， a0，x(i) 争论f x 的单调性 ;(ii) 设 a=3，求f x 在区间 1 ， e2 上值域 . 其中 e=2.71828是自然对数的底数.解：（）由于f / x12x2a ,令 t x1 得 f x/ x2t 2at1t0当a 280 ，即 0a22 时，f / x0 恒成立，f x 在 ,0,0, 上都是增函数.当a 280 ，即 a22 时，学习必备欢迎下载由 2t 2aa 28at10 得 t或 t 4aa284aa 28 x0 或 x或 0 2aa 28x

6、2aa28aa 28aa28aa 28又由 2t 2at10 得t，x4422综上 ,当 0a2 2f x在 ,0,0, 上都是增函数；aa 28aa28当 a22f x 在 ,0,0, 及 ,上都是增函数，22aa 28aa28在 , 22是减函数 .（ 2）当 a3 时，由（ 1）知，f x在1 ， 2 上是减函数，在 2, e2 上是增函数 .又 f 10,f 223ln 20,f e2 e2250e2函数点评：f x 在区间 1， e2 上的值域为23ln 2, e22e25 .（ 1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；（ 2）

7、其次问将问题延长到了函数值域上，过程比较简洁，是一个承上启下的过渡性问题.（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范畴基本思路：定义域 单调区间、极值、最值 不等关系式 参数取值范畴基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题 4】已知函数f xx32bx2cx2 的图象在与x 轴交点处的切线方程是y5x10.（ i）求函数f x的解析式；（ ii ）设函数量 x 的值 .g xf x1 mx，如g x 3的极值存在 ，求实数 m 的取值范畴以及函数g x取得极值时对应的自变解：（ i ）由已知 ,切点为 2,0, 故有f 20 ,即 4bc30又 f x3 x24bxc ，由已知f

8、 2128bc5 得 8bc70联立，解得b1,c1 .所以函数的解析式为f xx32 x2x2（ ii ）由于g xx32 x2x21 mx令 g3x3 x24 x11 m03学习必备欢迎下载2当函数有极值时，方程3x14 x1m30 有实数解.就41m0 ，得 m1.当 m1时，g x0 有实数 x2 ，在 x32左右两侧均有3g x0 ，故g x无极值当 m1时，g x0 有两个实数根x1 21m, x1 21m ,g x, g x 情形如下表：1233x, x1 x1 x1 , x2 x2 x2g x+0-0+g x极大值微小值所以在 m,1 时，函数g x 有极值；当 x点评：1 2

9、13m 时，g x 有极大值；当x1 213m 时，g x有微小值；（ 1）此题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（ 2）此题其次问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍旧是求含参数的函数的极值，难度不大.【例题 5】 设 ar ，函数f xax33x2 （） 如 x2 是函数 yf x 的极值点，求a 的值；（）如函数g xf xf x， x0，2 ，在 x0处取得最大值，求a 的取值范畴解：（）f x3ax26x3 xax2 由于 x2是函数yf x的极值点，所以f 20 ，即 62a20 ，因此 a1 体会证，当a1 时， x2 是函数yf x 的极值点（）

10、由题设，g xax33x23ax26 xax2 x33 x x2 当 g x在区间 0，2 上的最大值为g 0 时，a 6g 0 g2，即 020a24 故得5反之，当a 65时，对任意x0，2 ，g x 6 x2 x533xx23x 2x2 5x103x 2 x55x2 0 ，而 g00 ，故g x在区间 0，2 上的最大值为g 0 学习必备欢迎下载6，综上， a 的取值范畴为5点评：（ 1） 本 题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特别的方法，具有肯定的思维难度.（ 2） 本 题如用一般方法，就可求出g0=0，将问题转化为gx 0 的恒成立问题，此种解法的运算量将有所加大.（

11、三）导数的几何意义【例题 6】设函数f xbax，曲线xyf x 在点 2,f 2处的切线方程为7 x4 y120 .（）求yf x 的解析式；（）证明：曲线yf x 上任一点处的切线与直线x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：（）方程7 x4 y120 可化为 y7 x3 ，当 x42 时， y1 ；22 ab1又 f 'xab，于是x2a22 ，解得b7a13，故 fxxb3x（）设44px , y为曲线上任一点，由y'13知曲线在点p x , y处的切线方程为00x200333yy012xx0 x0，即 yx0x012xx0 x0令 x0 ，得 y

12、6，从而得切线与直线xx00 的交点坐标为0,6；x0令 yx ，得 yx2 x0 ，从而得切线与直线yx 的交点坐标为2x0 ,2 x0；所以点px , y处的切线与直线x0, yx 所围成的三角形面积为162x6 ；2x0000故曲线 yfx 上任一点处的切线与直线x0, yx 所围成的三角形面积为定值6.二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题问题设置：依据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范畴基本方法：通性通法：函数最值掌握法特别方法：（ 1）二次函数判别式法； （ 2）零点存在性定理第一组二次函数（ 1） 本 组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的熟悉；（ 2）

13、 本 题旨在提升对函数与方程关系问题的熟悉水平；（ 3） 研 究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）掌握法，为三次函数零点分布争论做方法上的铺垫 .学习必备欢迎下载【例题 7】设函数f x392xx26 xa （ 1）略；（ 2）如方程f x0 有且仅有一个实根，求a 的取值范畴 .解：由于当 x1时,f ' x0 ;当 1x2时 ,5f ' x0 ;当 x2 时,f ' x0 ;所以当 x1 时,f x取极大值f 1a ;2当 x2时 ,f x取微小值f 22a ;故 当 f20或 f 10 时, 方程f x0 仅有一个实根. 解得a2 或 a

14、5 .2点评：此题是零点问题的方程形式，用函数最值掌握法解答，属于本类问题的原型题.【例题8】已知二次函数yg x 的导函数的图像与直线y2 x 平行，且yg x 在 x = 1 处取得最小值m1m0 .设函数f xg x x（ 1）如曲线yf x 上的点 p 到点 q0,2 的距离的最小值为2 ,求 m 的值；（ 2） kkr 如何取值时 ,函数 yf xkx 存在零点 ,并求出零点 .解：（ 1）设gxax2bxc ，就 gx2axb ；又 gx的图像与直线y2x 平行2ab2 ，解得 a1又 gx 在 x1 取微小值，1，解得 b22g1abc 12cm ，1 解得 cm ；所以fxgx

15、mx2 ，xx设 pxy22就 pqx22y2x2xm2x2m222m22o ,o，00000x22x0022m224 ,解得 m2； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2m2（ 2）由yfxkx1 kxxm2 0 ，得1kx2xm0*m当 k1 时，方程*有一解x，函数 yfxkx 有一零点 x；22当 k1 时，方程*有二解44m 1k0 ，如 m0 ， k11 ， yfxkx有两个零点x244m 1 k11 m 1k ；m2 1 kk1学习必备欢迎下载如 m0 ， k11 ， yfxkx有两个零点x244m 1k11 m 1k；m2 1 kk1当 k点评：1 时，方程*有一解44m

16、1k0 ，即 k111, yfxkx有一零点 xmk1（ 1）此题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目运算量中等，思维难度不大；（ 2）其次问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系争论根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题 .【例题 9】已知 a 是实数，函数f x2ax22x3a，假如函数yfx 在 区 间1,1上有零点，求 a 的取值范畴 .解：如 a0 ,f x2 x3 , 明显函数在1,1上没有零点 .如 a0 ，令48a 3a8a224a40 ,解得a372当a37 时,yfx 恰有一个零点在1,1 上;2当 f1f 1a1 a50 ，即 1a5 时， yfx在1,

17、1 上也恰有一个零点.当 yfx在1,1 上有两个零点时,就a028a24a40111或2a8a21a024a40112af10f10f10f10解得 a5 或 a35 ，综上，所求实数a 的取值范畴是a21 或 a35 .2点评：此题以二次函数为载体，设定在区间范畴上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类争论，涉及到含参二次方程根的分布争论、零点存在性定理. 是原型问题和重点题.【例题 10】已知函数f xx31ax2aa2xba,br （ ii ）如函数f x在区间 1,1 上不单调 ，求 a 的取值范畴解：（）函数f x在区间 1,1 不单调，等价于导函数即函数f x 在 f x 在

18、 1,1 既能取到大于0 的实数，又能取到小于0 的实数1,1 上存在零点，依据零点存在定理，有f1 f10 ，即： 321aaa2321aaa20整理得： a5 a1 a1 20 ，解得5a1其次组三次函数（ 1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的熟悉；学习必备欢迎下载（ 2）此题旨在提升对函数与方程关系问题的熟悉水平；（ 3）本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的熟悉，进而深化对导数方法、极值、最值的懂得.【例题 11】已知函数f xx33ax1,a0（ i）求f x 的单调区间；（ ii ）如f x 在 x1 处取得极值，直线y=m 与yf x的图象有三个不同的交点

19、，求 m 的取值范畴 .解：（ 1）f ' x3x23a3x2a ,当 a0 时，对 xr ，有f ' x0, 所以f x 的单调增区间为,当 a0 时，由f ' x0 解得 xa 或 xa ，由f ' x0 解得axa ，所以 fx的单调增区间为,a,a , ，单调减区间为a ,a .（ 2）由于f x 在 x1 处取得极大值，所以 f' 13123a0,a1.所以 fxx33 x1, f' x3x23,由 f ' x0 解得 x1, x1.12由（ 1）中f x 的单调性可知，f x 在 x1处取得极大值1，在 x1 处取得微小值-3

20、.由于直线 ym与函数yf x的图象有三个不同的交点，所以 m 的取值范畴是3,1 .点评：（ 1） 本 题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；（ 2） 本 题最终将问题转化为争论三次函数根的分布，采纳极值（最值）掌握法；（ 3） 在 这里应结合上面例题进一步揭示争论二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的熟悉和对利用导数争论函数性质.（二）不等式恒成立与存在解问题问题设置：当不等关系在某个区间范畴内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范畴基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题基本方法：通性通法：变量分别法

21、、变量转换、最值掌握法特别方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布争论【例题 12】设函数f xa x33 x2a1x1,其中 a 为实数 .32（）如f ' xx2xa1 对任意 a0, 都成立，求实数x 的取值范畴 .学习必备欢迎下载解：法一（变量转换，最值掌握法）： ax23xa1x2xa1对任意 a0, 都成立 .即 ax22x22 x0 对任意 a0, 都成立设 g aax22x22xar ，就对任意xr，g a 为单调递增函数ar所以对任意a0, ，g a0 恒成立的充分必要条件是g 00 .即x22 x0 ，2x0 ， 于是 x 的取值范畴是x |2x0法二（变量分别法）

22、 ：由题设知：ax 23 xa1x2xa1 对任意 a0, 都成立，即 a x22x22x0 对任意 a0, 都成立 .于是 ax2x2a对任意x220,都成立，即x2x2x220 .解得 x 的取值范畴是x |2x0 .点评：变量分别法可以任何一个变量分别出来，例如此题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x 分别出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用.【例题 13】已知定义在正实数集上的函数f x1 x222ax ， g x3a2 lnxb ，其中 a0 设两曲线yf x ，yg x有公共点，且在该点处的切线相同（ i）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值；（ ii）求证：fx gx，其中

23、 x > 0 解：（）设yf x 与yg x x0 在公共点 x0，y0 处的切线相同 f xx2 a ， gx3a2 x，由题意f x0 g x0 ， f x0 g x0 1 x22ax3a 2 lnxb，0002即2由 x02a3a2得： x0a ，或x03a （舍去）x02a3a，x0x01222522即有 ba2a3aln aa3aln a 22令 ht5 t 23t 2 ln t t20 ，就h t2t13ln1t 1于是当t 13lnt0 ，即0te3 时，h t0 ；当t13lnt0 ，即te3 时，h t 0 故 ht 在10， e3为增函数，在1e3， 为减函数，于是

24、h t 在 0， 的最大值为1he33 e3 22学习必备欢迎下载（）设f xf xg x122x0 ，23a 2 xa x2 ax3aln xb x3a就 f xx2axxx0 故 f x 在 0， a 为减函数，在a， 为增函数，于是函数f x 在 0， 上的最小值是f a f x0 f x0 g x0 0 故当 x0 时，有f xg x 0 ，即当 x0 时，f x g x 点评：（ 1） 本 题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法；（ 2） 第 二问是恒成立问题的应用.两函数比较大小通过相减构造新函数运用导数学问（三） “零点存在与分布问题”与 “恒成立、存在解问题”

25、之间的关系（ 1） 研 究对象的本质相同，因此解题方向一样：函数的极值或最值掌握是解决这两类问题的通性通法，针对特别类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行争论；（ 2） 研 究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；（ 3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应留意命题的等价性.【例题 14】设函数f x1 x33x2m 21) x, xr,其中 m0（）略；（）求函数的单调区间与极

26、值；（）已知函数f x 有三个互不相同的零点0， x1 , x2 ，且x1x2 .如对任意的x x1 , x2 ，f xf 1 恒成立，求m 的取值范畴 .解：（ 2）f ' xx 22 xm 21 ，令f ' x0 ，得到 x1 m, x1m由于 m0, 所以1m1m ，当 x 变化时，f x,f ' x的变化情形如下表：x,1m1m1m,1m1m1m,f ' x+0-0+极极f x小值大值f x 在 ,1m 和 1m, 内减函数，在1m,1m 内增函数 .函数 f x 在 x1m 处取得极大值f 1m ，且f 1m =2 m3m 2133函数 f x 在 x

27、1m处取得微小值f 1m ，且f 1m =2 m3m 2133（ 3）解：由题设，f xx1 x 23xm 211 x x3x1 xx2 学习必备欢迎下载所以方程122xxm31 =0 由两个相异的实根x1 , x2 ，故 x1x23 ，且14 m 2130 ，解得 m11舍， m22由于 x1x2 , 所以 2 x2x1x23,故x2132如 x11x2 ,就f11 13x1 1x2 0 ，而f x1 0 ，不合题意如 1x1x2 , 就对任意的x1 x1, x2 有 xx10, xx20,就 f xx x3x1 xx2 0 又 fx10 ，所以函数f x 在 x x1 , x2 的最小值为

28、0，于是对任意的x x1, x2 ，f xf 1 恒成立的充要条件是f 1m210 ,解得33m333w.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上， m 的取值范畴是 1 ,3 23四、其它形式的问题【例题 15】设函数f xx3ax2a2x1,gxax22x1,其中实数 a0 （）如 a0 ，求函数f x 的单调区间；（）当函数yf x 与yg x 的图象只有一个公共点且g x 存在最小值时，记g x的最小值为ha ，求 h a的值域；（）如f x 与g x 在区间 a, a2) 内均为增函数，求a 的取值范畴解：（）f x3x2a2axa 23 xa xa ，又 a0 ，3a当 xa或x时， f3a x0 ；当ax时， f 3a x0 ，f x在 ,a 和 , 内是增函数，在 3a, 3内是减函数（）由题意知x3ax2a2 x1ax 22 x1 ，即x x2 a 220 恰有一根（含重根） a 22 0 ，即2 a 2 ，又 a0 ，a2,00,2 当 a0 时，g x才存在最小值，a0,2 gxax1 21a，ha a1 , a0,2. ha的值域为,12 aaa2（）当 a0 时，f x 在 ,a 和 a , 内是增函数