二阶常系数线性微分方程

1、8.5 二阶常系数线性微分方程上页下页铃结束返回首页一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yc1y1c2y2就是它的通解 一、二阶常系数齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页v二阶常系数齐次线性微分方程 考虑到当y、 y、 y为同类函数时 有可能使ypyqy恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数

2、yerx就是微分方程的解 分析 下页 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 一、二阶常系数齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 v特征方程及其根 特征方程的求根公式为下页v二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 一、二阶常系数齐次线性微分方程,2422,1qppr 上页下页铃结束返回首页rr12xeecxcy21v特征方程的根与通解的关系有两个不相等的实根 r1、r2 方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况 简要证明下页这是因为 函数xre1和x

3、re2都是方程的解;xrrxrxreee)(2121不是常数 即xre1与xre2线性无关上页下页铃结束返回首页xexcrrc2xey111有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 下页v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxrececy2121 简要证明 这是因为 0)()2(121111qprrxeprexrxr即xrxe1是方程的解;xexexrxr11不是常数 即xre1与xre2线性无关xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1 ()2()()()(1211 xrxrxrxrxrxrqxee

4、xrpexrrxeqxepxe111111)1 ()2()()()(1211 上页下页铃结束返回首页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(c1cosxc2sinx) 下页v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxrececy2121有两个相等的实根 r1r2 简要证明故excosx和exsinx也是方程的解; 因为函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而)(21cos21yyxex)(21sin21yyixex 函数excosx与exsinx的比值为cotx 不是常数 故excosx和exsinx是方程的线性无关解

5、xrxrxececy1121上页下页铃结束返回首页第一步 写出微分方程的特征方程r2prq0;第二步 求出特征方程的两个根r1、r2; 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 求ypyqy0的通解的步骤 下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(c1cosxc2sinx) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxrececy2121有两个相等的实根 r1r2 xrxrxececy1121上页下页铃结束返回首页下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(c1cosxc2sin

6、x) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxrececy2121有两个相等的实根 r1r2 xrxrxececy1121因此微分方程的通解为yc1exc2e3x 例1 求微分方程y2y3y0的通解 解 微分方程的特征方程为 r22r30 特征方程有两个不相等的实根r11 r23 即(r1)(r3)0 上页下页铃结束返回首页下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(c1cosxc2sinx) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxrececy2121有两个相等的实根 r1r2 xr

7、xrxececy1121特征方程有两个相等的实根r1r21 例2 求方程y2yy0的通解 解 微分方程的特征方程为 r22r10 即(r1)20 因此微分方程的通解为yc1ex c2xex 即y(c1c2x)ex 上页下页铃结束返回首页下页通解形式 r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(c1cos2xc2sin2x) 例 3 求微分方程y2y5y 0的通解 有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1, 2i yex(c1cosxc2sinx) v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxre

8、cecy2121有两个相等的实根 r1r2 xrxrxececy1121 解 微分方程的特征方程为 上页下页铃结束返回首页例例4.1)0(, 1)0(032的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求方方程程 yyyyy解解特征方程为特征方程为0322 rr特征根为特征根为21, 2121irir 故所求通解为故所求通解为)2sin2cos(21xcxceyx xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 21rr 实根实根21,rr特征方程的两个根特征方程的两个根的通解的通解方程方程0 qyypy21rr 实根实根 ir 2, 1一对共轭复根一对共轭复

9、根上页下页铃结束返回首页)2sin2cos(21xcxceyx , 1)0( y由由初初始始条条件件)2sin()2cos(2 xecxeyxx)2sin22(cosxxex , 1)0( y由由. 22 c从而从而.)2sin22(cos为所求为所求于是于是xxeyx 11 c得得)2cos22sin(2xxecx .2112c 得得.1)0(, 1)0(032的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求方方程程 yyyyy上页下页铃结束返回首页vn阶常系数齐次线性微分方程 下页 方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 p

10、n1 pn都是常数 引入微分算子d及微分算子的n次多项式 l(d)dn p1dn1p2 dn2 pn1dpn注 d0yy dyy d2yy d3yy dnyy(n) 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (dn p1dn1p2 dn2 pn1dpn)y0或l(d)y0上页下页铃结束返回首页下页vn阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数 引入微分算子d 则上述微分方程可记作 (dn p1dn1p2 dn2 pn1dpn)y0或l(d)y0因此如果r是多项式l(r)的根 则yer

11、x是微分方程l(d)y0的解 分析 令yerx 则l(d)yl(d)erx(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxl(r)erx l(r)0称为微分方程l(d)y0的特征方程 上页下页铃结束返回首页下页vn阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数 v特征方程的根与通解中项的对应 引入微分算子d 则上述微分方程可记作 (dn p1dn1p2 dn2 pn1dpn)y0或l(d)y0ex(c1c2x ck xk1)cosx(d1d2x dkxk1)sinx单实根r对应

12、于一项 一对单复根r1 2i 对应于两项 k重实根r对应于k项 一对k重复根r1 2i 对应于2k项 erx(c1c2x ckxk1); ex(c1cosxc2sinx); cerx ; 上页下页铃结束返回首页结束 例4 求方程y(4)2y5y0 的通解 解 微分方程的特征方程为 r42r35r20 即r2(r22r5)0 它的根是r1r20和r3 412i 因此微分方程的通解为 yc1c2xex(c3cos2xc4sin2x) 例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0 解 微分方程的特征方程为 r4 40 其根为 因此微分方程的通解为 )2sin2cos()2sin2cos(432 212

13、xcxcexcxceyxx )1 (22 , 1ir )1 (22 , 1ir )1 (24 , 3ir 上页下页铃结束返回首页二、二阶常系数非齐次线性微分方程1、 f(x)pm(x)ex型2、f(x)expl(x)coswxpn(x)sinwx型 方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yy(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yy(x)y*(x) 上页下页铃结束返回首页提示 q(x)(2p)q(x)(2pq)q(x)exq(x)+2q(x)+2q(x)expq(x)+q(x)ex+qq(x

14、)exy*q(x)ex 设方程ypyqypm(x)ex 特解形式为 q(x)(2p)q(x)(2pq)q(x)pm(x) ()则得 q(x)exq(x)exqq(x)ex y*py*qy* 1、 f(x)pm(x)ex 型上页下页铃结束返回首页提示 此时2pq0 要使()式成立 q(x)应设为m次多项式 qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*qm(x)ex y*q(x)ex 设方程ypyqypm(x)ex 特解形式为 q(x)(2p)q(x)(2pq)q(x)pm(x) ()则得 1、 f(x)pm(x)ex 型上页下页铃结束返回首页提示

15、 此时2pq0 但2p0 要使()式成立 q(x)应设为m1次多项式 q(x)xqm(x) 其中qm(x)b0 xm b1xm1 bm1xbm (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xqm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*qm(x)ex y*q(x)ex 设方程ypyqypm(x)ex 特解形式为 q(x)(2p)q(x)(2pq)q(x)pm(x) ()则得 1、 f(x)pm(x)ex 型上页下页铃结束返回首页提示 此时2pq0 2p0 要使()式成立 q(x)应设为m2次多项式 q(x)x2qm(x) 其中qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm (

16、3)如果是特征方程r2prq0的重根 则y*x2qm(x)ex (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xqm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*qm(x)ex y*q(x)ex 设方程ypyqypm(x)ex 特解形式为 q(x)(2p)q(x)(2pq)q(x)pm(x) ()则得 1、 f(x)pm(x)ex 型上页下页铃结束返回首页v结论 二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqypm(x)ex有形如y*xkqm(x)ex的特解 其中qm(x)是与pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 (3)如果

17、是特征方程r2prq0的重根 则y*x2qm(x)ex (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xqm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*qm(x)ex 即 1、 f(x)pm(x)ex 型上页下页铃结束返回首页提示 因为f(x)pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 因此所给方程的特解为31* xy b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b03b1

18、 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示 3b03 2b03b11 x 同次幂的系数 得 b01 311b 上页下页铃结束返回首页 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 提示齐次方程y5y6y0的通解为yc1e2xc2e3x 因为f(x)pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0 x2b0b1x 比较系数 得 b11 故xexxy2) 121(* 系数 得210b b11 故提示 2b01 2b0b10上页下页

19、铃结束返回首页 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 2b0 x2b0b1x 比较系数 得210b b11 故 b11 故xexxy2) 121(* 因此所给方程的通解为 xxxexxececy223221)2(21 因为f(x)pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得上页下页铃结束返回首页 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexpl(x)coswxpn(x)sinwx有形如 y*xkexr(1)m(x)coswxr(2)m(x)sinwx的特解 其中r(1)m(x)、r(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 二、f(x)expl(x)coswxpn(x)sinwx型v结论 上页下页铃结束返回首页 解 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f(x)expl(x)coswxpn(x)sinwxxcos2x iw2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*(a