数学解题教学

1、第2章 数学教学理论与实践专题三：数学解题教学一、数学解题的基本步骤美籍数学家、数学教育家波利亚(GPolya)在怎样解题、数学的发现等著作中，给出了一个简明的数学问题解决的过程和步骤，点明了采取这些步骤的动机和态度，揭示了解数学题的心理活动历程。理解问题。首先，必须弄清楚问题的求解目标是什么，并将其目标在脑海中留下深刻的印象。其次，弄清楚已知条件是什么，明确任务：如何在已知与未知之间架起桥梁。设计求解计划。先观察能否在已知条件与未知解答中直接架起桥梁。倘若不能，就得采用迂回的策略设计辅助问题，以求达到目标。通过辅助问题的解决在已知与未知之间建立联系，形成一条通道。实现求解计划。将探索到的解题

2、方案进行逻辑整理，并且用语言将其表达出来。检验和回顾。检验所得结果是否符合实际，回顾解题过程中的关键，探索更好的方法。例1 任意一个ABC，它的三条边都被4等分，从顶点A、B、C分别向对边的对应等分点E、F、G引直线，如图3-2，它们两两相交于L、M、N三点，求LMN与ABC的面积之比。分析： 对题意的理解：当我们开始理解这道题的题意时，ABC与LMN的面积关系并不能直接看出来，但很容易看出LMN的面积可以由ABC的面积减去LAB、MBC、NCA这三个三角形的面积得到，于是LMN与ABC的面积关系就转化成其周围小三角形与ABC的面积关系，这是对题意的新的理解。注意到LMN周围的三个小三角形与A

3、BC分别都是同底不同高的，因而它们的面积之比就是高之比。又注意到ABC各边被4等分，把这些情况概括起来不难发现线段的比例关系，对解决此题有很大作用，这是对题意更深入的理解。作出解题的一个设想：联系过去的解题经历(联系已经解决的问题)，寻找线段比例关系的常用办法是利用4等分点作平行线。如图3-2中那样作平行线GH、DF，就立即出现一系列相似三角形：ABCAGH、CFPCHG、FPMBCM等。于是可以猜想MBC与凸ABC高之比很可能由此得到。至此，实际上已经有了解题的一个设想或方案。至此，可以说对这个问题已经得到了一个解法。这一解法中，所涉及的运算有：添置辅助线；平行线的性质定理；相似三角形的判定

4、与性质定理；比例的合分比定理；逻辑运算规则等。回顾解题过程：按照解题思维活动过程的几个阶段，回顾以上的解题过程，可产生一些新的认识。当进一步理解题意，研究与问题有关的全部情况时，注意到如果原问题已知：LMN与ABC的面积之比是一定值，再要求求出这个定值，那么尽管上述解法仍然有效，但增加了：“定值”这一条件，使解法产生质的变化。由这个“定值”及题中的ABC是“任意”三角形，而产生一个重要的启示：内外三角形面积之比的定值关系，既然对任意三角形都能成立，那么自然对特殊三角形等边三角形亦能成立，因此只要对等边三角形这一特殊情形加以研究，一个新的简便的方法就应运而生了。可见，经过“特殊化”，对问题产生了

5、新的认识。能否把这个问题的结论推广到新情况去。这是解题思维活动中极为重要的组成部分，但在多数情况下被学生甚至教师忽视了，往往使学生丧失了尝试一下发明创造滋味的机会，对培养学生创造精神不利。就这题而言，容易想到：将任意三角形各边4等分后，内外三角形的面积之比是一个定值，那么将任意三角形各边5等分、6等分n等分后，内外三角形面积之比与n之间是否有一个函数关系呢？例2 Ptolomy定理：已知四边形ABCD内接于圆O，求证AC.BD=AB.CD+AD.BC用什么方法可导向结论？变形：将左边拆成两项变形：移项得AC.BD-AB.CD=AD.BC，能够将左边化简，从而导向右边吗？化异为同：AC、BD可以

6、用四边形的边来表示吗？利用中介化异为同：AC,BD,AB,BC,CD,DA可以用什么共同的的中介量来表示吗？联想：设，则AC.BD再乘以就等于SABCD，那么右边乘以能否得到SABCD呢？二、数学中的逻辑思维方法1类比 类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为对象 A具有属性 a、b、c，对象B具有属性a、b猜测 对象B具有属性c复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为H蕴涵AH蕴涵B，B真猜测 A可能真运用类比法解决问

7、题，其基本过程可用框图表示如下：例1欧拉用类比法发现伯努利级数之和例2任给7个实数xk（k=1，2，7）证明其中有两个数xi，xj，满足不等式。例3已知xi0（i1，2，n），且xl+x2+xn=1。求证： 。2归纳归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情形的分析得出一般性结论的思维方式。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。设Mi(i=1，2，n)是待研究的对象M的特例或子集，若Mi 具有性质P，由此猜想M也可能具有性质P。即当时称为完全归纳法；当时，称为不完全归纳法。前者属于数学证明的方法，后者是数学发现中常用的方法。完全归纳法也称枚举法，它是根据每一个Mi(i=1，2，n)均具有某种属性而推

8、出M也具有这种属性，因而所得到的结论必定正确。例1 设凸n边形的任意三条对角线在形内不交于一点，求所有对角线在形内交点数目Nn。例2证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于。 3演绎法演绎是由一般性前提推出特殊性结论的思维方法。通常，在依据已知的事实或真命题去进行推理的方式都是演绎推理。1三段论2关系推理3归纳与演绎的关系（1） 归纳与演绎都是逻辑推理方法，这两种推理方法是互相联系的、互为补充的。例1 研究形如的数，当x取何值时，N为素数；当x取何值时，N为合数。（2） 在归纳法的证明过程中，是先用归纳法，后用演绎法。但有时也可先用演绎法推证，在获得结论之后，再分类归纳

9、。例2 在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线，若它把正方形分成面积相等的两部分。求证这条曲线的长度不小于1。4分析法1 分析法的含义分析是将整体分解为若干部分的一种思维方法。具体地说，先把研究的对象分解成若干个组成部分，然后通过对各个组成部分的研究，从而认识事物的基础或本质的一种思维方法。2 分析法的种类（1）元抽象分析法例1 计算曲边梯形的面积（2）追溯型分析法例2设n为大于3的自然数，求证：。（3）构造型分析法例3 已知A、B为锐角三角形之二内角，求证：。（4）前进型分析法例4 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数。试问：这样的数

10、列最多包含多少项？（5）混合型分析法5综合法1 综合法的含义2 分析法与综合法的关系6数学证明（1）数学证明的价值例1 若甲、乙两人轮流往一张圆桌上放一枚同样的硬币，放置过程中不允许重叠与倾斜。谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就是胜者。证明：先放者（甲）一定可以获胜。例2 若。例3 已知：四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点，（图1）求证：在三角形中（如图2），你能否归纳出类似的结论，若能够，写出你猜想的结论，并证明；若不能够，说明理由。例4 证明：1的n个n次方根之和为0。（2）数学证明的常用方法（1） 数学归纳法归纳公理：若，且（1） 1；（2）对任意，有，则。第一数学归纳法：设p(n)

11、 是关于自然数n的命题，若（1）p(n)在n=1时成立；（2）假定p(k)成立，可以推出p(k+1)成立。则p(n)一切自然数都成立。推论1 设p(n) 是关于自然数n（）的命题，若（1）p(n)在n= n0时成立；（2）在p(k)(k是不小于n0的自然数)成立的假定下，可以推出p(k+1)成立。则p(n)对不小于n0的一切自然数都成立。推论2设p(n) 是关于自然数n的命题，若（1）p(n)在n= 1，2，时成立；（2）在p(k)(k是任意自然数)成立的假定下，可以推出p(k+)成立。则p(n)对一切自然数都成立。最小数原理：自然数的任一非空集合M中必有最小数。第二数学归纳法 设p(n) 是

12、关于自然数n的命题，若（1）p(n)在n=1时成立；（2）假定p(m)()成立，可以推出p(k+1)成立。则p(n)一切自然数都成立。第一数学归纳法与第二数学归纳法的区别？第二数学归纳法的变形 设p(n) 是关于自然数n的命题，若（1）p(n)在n= n0时成立；（2）由所有时p(m)成立可以推出p(k+1)成立。则p(n)对不小于n0的一切自然数都成立。反向数学归纳法 设p(n) 是关于自然数n的命题，若（1）p(n)对于无穷多个自然数n成立；（2）在p(k+1)成立的假定下，可以推出p(k)成立。则p(n)一切自然数都成立。跷跷板数学归纳法 设p1(n) 、p2(n)是两个关于自然数n的命

13、题，若（1） p1(1)成立；（2） 由p1(k)成立可知p2(k)成立，进一步可得p1(k+1)成立。则p1(n) 、p2(n)对一切自然数都成立。例1 有两堆棋子，数目不等。两人玩耍，轮流取子，每次每人可以在一堆里任意取几颗（不能不取），但不能同时在两堆里取，规定取得最后一颗者获胜。求证：先取者可以获胜。例2 不小于8的自然数均能表为若干个3与5的和。例3 证明对任意自然数n，方程x2+y2=zn都有正整数解。例4 设为 n个正数，则。例5 在1+3+5+7+12+19+中，其项数定义为，以S(m)表前m项之和。求证：（1）（2）。正确运用数学归纳法（1）严格把握归纳程序例1 “xn+yn对一切自然