三重积分的计算ma

1、3 3 三重积分的计算三重积分的计算3.13.1直角坐标系中直角坐标系中三重积分的计算三重积分的计算2的体积dxdydz （时 1),(zyxf） 。 dxdydz 称为直角坐标系下的体积元素。面上，得投影域投影到把xydxy).(型区域为的交点不多于两个边界曲面的的直线与轴且穿过区域设平行于xyszxyzoxyd),(1yxzz ),(2yxzz 分成两部分：的交线把柱面，柱面与轴的行于的边界为准线作母线平以sszdxy)()(, )()(212211yxzyxzyxzzsyxzzs，：，：方法方法1. 细棒法细棒法 (“先一后二先一后二” ) 一一.直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下三

2、重积分的计算zxyddyxdd dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfdyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度记作注注：1若平行于) ( 轴或轴yx的直线与 s 的交点不多于 两个，则同样可把投影到yoz面（xoz或面）上， 得到先对 x（或 y）的积分。 2若平行于坐标轴的直线与 s 的交点多于两个，则可 把分 成几块处理。 xyz1c2czdo

3、z（先二后一法先二后一法) （切片法）（切片法）.),(),()(21zdccdxdyzyxfdzdvzyxf方法方法2. 切片法切片法 (“先二后一先二后一”)xyzo111其中 为三个坐标例例1.1. 计算三重积分,dddzyxx所围成的闭区域 .面及平面1x y z 例 2.0, 0532222的体积部分所围成的立体区域的和求由两个旋转抛物面yxyxzyxz例 3计算三重积分dxdydzz2，其中是由椭球面1222222czbyax所围成的空间闭区域。xyzozd分析分析：被积函数中缺变量yx 和，用平行于xoy平面 去截，其截面是椭圆。故用“先二后一法” 。,)(22zdccdxdyd

4、zzdxdydzz其中 d(z)为平面上的zz椭圆盘：2222221czbyax， )1 (11222222)(czabczbczadxdyzd故32222154)1 (abcdzczzabdxdydzzcc。 利用被积函数的奇偶性与积分区域的对称性利用被积函数的奇偶性与积分区域的对称性简化计算：简化计算：2 2若将 x 换为 y，y 换为 z，z 换为 x，积分区域不变， 则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分 的值，与原积分的值相同。 (轮换对称性轮换对称性).1),(,ddd1)1ln(222222222 zyxzyxzyxzyxzyxz其中其中计算计算. 0ddd1)1ln(22

5、2222 zyxzyxzyxz,平面对称平面对称积分区域关于积分区域关于 xoy.的奇函数的奇函数被积函数是关于被积函数是关于z例例4 4解解2 (), : 01, 01, 01; xyzdxdydzxyz计算222221112000 () (222) (36)5(36)2xyzxyzdxdydzxyzxyxzyz dxdydzxxy dxdydzdzdxxxy dy关于 ， ， 具有轮换对称性解例 53 32 2 三重积分的一般换元法则三重积分的一般换元法则（2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数； 则dxdydzzyxf),(, , , ( , ,)fx u v wy u v wz u

6、v wj dudvdw一、一、 柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算 设),(zyxm为空间内一点，并设面在点 xoym上的 投影p的极坐标为 ,，则称三元有序数组) , ,(z 是点 m 的柱面坐标，其中z , ,的取值范围规定为： 0，20，z。 xyzo),(zyxm),( p显然： sincoszzyx。 三组坐标面分别为： 常数，即以 z 轴为轴的圆柱面； 常数，即过 z 轴的半平面； 常数z，即与xoy面平行的平面。 1000cossin0sincos),(),(zzyxj，oxyzoz),(zyxm)0 ,(yx dzddzfdxdydzzyxf) ,sin,co

7、s(),(。适用范围适用范围:1) 积分区域积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时较简单较简单. 与zyx322所围成的区域。 解：两曲面的交线为 3z42222yxyxz 1322zyx， 224yxzzxyozyx322133在xoy平面上的投影区域为3,(22yxyxdxy， 在柱面坐标下43 , 30 ,20),(22zz. zdvydvxdvdvzyx )(.413 22433020zdzddzdv在xoy平面上的投影区域为 16),(22yxyxdxy， 1622yx所围成，已知其上任一点的密度与该点到轴的距离 z成正比，求其 m质量

8、。解：密度函数)0(),(22kyxkzyx，则 dxdydzyxkm22 。 xyzo1622yx4zy44dxdydzyxkm22 sin404020dzddk403220)sin4(ddk.3512)sin643256(20kdk 在柱面坐标下 sin40 , 40 ,20),(zz， 设空间一点m的直角坐标为),(zyx，从点 m 向 xoy平面引垂线，垂足为 p，令rom ，设om 与轴 z正向的 夹角为， op与轴 x正向的 夹角为， 则称三元有序数组) , ,(r 是点 m 的球面坐标，其中 的取值范围规定为 , ,r： r0，0，20。 2 2 球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算),(rmzxyoryxzp 三组坐标面分别为： 常数r，即以原点为心的球面； 常数，即以原点为顶点，轴 z为轴的圆锥面； 常数，即过轴 z的半平面。 cos sinsinsin cossincosrzropyropxsin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),(),(2rrrrrrrzyxj ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2 dxdydzzyxf),( 解：dxdydzzdxdydzxi22 ， 由轮换对称性知： dxdydzzdxdydzydxdydzx222