大学高等数学ppt课件第一章4求导运算

1、求导运算 第四节学习重点学习重点导数的四则运算法则导数的四则运算法则复合函数，隐函数，参数方程函数的求导复合函数，隐函数，参数方程函数的求导函数的和差积商的求导法则函数的和差积商的求导法则( )( ) uu xvxv xx 如果函数及，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）在都点处也在点处可导可导， 且()uvuv()uvu vuv2( )0uu vuvvvv （）()uvwu vwuv wuvw()cucu你记住了吗？21( )0vvvv （）特别特别推广推广2( )34sinfxxx32(2537)yxxx32(2 )(5 )(3 )(7)xxx22 35 23 0 xx 26103

2、xx23( )424fsin2是 常 数322537yxxxy求例例1 设设解解3( )4cossin2f xxx( )()2fxf，求及例例2解解 3( )(sin )fxxx233sincosxxxx()uvuv uv2( )0uu vuvvvv （）2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx222cossincosxxx21cos x2sec x2(tan )secxx 2(cot )cscxx 33() sin(sin )xxxx3( )sinf xxx( )fx求例例3 设设解解tanyxy求例例4sin(tan )cosxyxx解解导数公式导数公式(1)seccsc

3、yxyx和求下列函数的导数求下列函数的导数2(2)lnc os yxxxln (3) xyx(sec )sec tanxxx2 2lncosc oslnsin yxxxxxxxx 21l nxyx (csc )csc cotxxx反函数的求导法则反函数的求导法则0000000()()0()()1()()yfxxfxfxxxyyfxyfx如 果 函 数在 点处 的 导 数 存 在 ，且，在 点的 某 一 邻 域 内 连 续 ，且 严 格 单 调 ， 则 其 反 函 数在 对 应 的点 可 导 ， 且 （ 。推广：推广：()()0()()xxyyfxifxfxixyi如 果 函 数在 区 间内 可

4、 导 ， 且，在 区 间内 严 格 单 调 ， 则 其反 函 数在 对 应 的 去 间内 可 导 ， 且1)( )yfx（例例5 设设 ，求，求 arccosyxdydx解解 由于由于 的反函数为的反函数为 arccosyxcos ,0, xy y所以所以11arccossincosxyy211x （因为（因为 ）(0, )y同理，可求得同理，可求得21cot1arcxx21arccos1xx 21arctan1xx即即21(arcsin)1xx 1logln.lnxxaxxaaaa 由反函数求导法则和公式推导指数函数的导数公式 解解 因为因为 的反函数是的反函数是xyalogaxy所以所以1

5、1lnln1loglnxxaayaaayya特别特别xxee基本导数公式基本导数公式( )0c1()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx ()lnxxaaa ()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 复合函数的求导法则复合函数的求导法则( )( )( ) ( ) ug xxyf uug xdyyf gdydudxdudxxx如果

6、函数在点可导,而在对应点处可导, 则复合函数在点处可导，且其导数为 dydydudvdxdudvdx推广推广 ( )( ),( ),( ),yfxyf uuvvx 对于复 合函数， 设均可导 则链式法则链式法则chain rule证明关键式子证明关键式子yyuxux3,.uyeux 1cosxu1cossinxxcot x323xx e3()xdyedx33()xex323xx e也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量lnsin ,dyyxdx求例例6 设设3,xdyyedx求例例7 设设解解ln sinyx可 分 解 为ln,yusinux解解 因为因为d yd yd ud xd ud x

7、所以所以3xye可分解为可分解为d yd yd ud xd ud x所以所以代入代入dydydudvdxdudvdx1( sin )xveu 1( sin)cos()xxxeee tan()xxee 也可以不写出中间变量也可以不写出中间变量lncos()xdyedx1cos()cos()xxeetan()xxee 环环环环相扣相扣1( sin) ()cos()xxxeee 1( sin)cos()xxxeee lncos(),xdyyedx求例例8 设设ln,cos ,xyu uv veln cos()xye可 分 解 为解解求下列函数的导数求下列函数的导数123(12) yx2231(1 2

8、) ( 4 )3xx1sin()xye1sin211cos()xexx 32(1)12yx1sin(2)xye2(3)(arcsin)2xy 2(4)1lnyx2112arcsin221( )2xyx 2112ln2 1lnyxxx 332() 3(3 )(3 )xxxxxy 232333 ln3(3 )xxxxx233ln33xxx2212112 1xyxxx 211x2221111xxxxx3,3xxyy求例例92ln(1),yxxy求例例10解解解解求下列函数的导数求下列函数的导数21(1)(arcsin1)2yxxx22(2)sinsinyxx222112(1)212 1xyxxxx

9、21x22221cos2(2sincos) sinsin22 sinxxyxxxxxx 22221cossin2sinsin2sinxxxxxxx高阶导数高阶导数 22( )d yfxdx或，或，( )( )( )( )yf xyfxxyfxyf xy 一般地，函数的导数仍然是 的函数，我们把的导数叫做的二阶导数，记作 ，y而则称为一阶导数33( )d yyfxyydx，或，或。 相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三阶导数相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，的导数称为四阶导数，（n-1)阶导数的导数称为函数的阶导数的导数称为函数的n阶导阶导数数，分别记

10、作，分别记作三阶导数三阶导数4(4)(4)(4)4,( ) d yyfxyydx或，或。四阶导数四阶导数( )( )( )(1),( ) nnnnnnd yyfxyydx或，或。n阶导数阶导数导函数的导数导函数的导数10981090yxyxyyx 设， 则， 我们还可以对继续求导，（ ） 引例引例 ( )sin()2nyxn( )(sin )sin()2nxxn( )(cos )cos()2nxxn cosyxsinyx cosyx (4)sinyx规律：规律：每四阶导数每四阶导数重复一次；重复一次；正弦、余弦正弦、余弦交替出现。交替出现。( )sin ,nyxy求例例11解解sin()2xs

11、in()sin(2)2xx 3sin()sin(3)22xx sin(2 )sin(4)2xx 所以所以即即同理可得同理可得常用的高阶导函数常用的高阶导函数 (1) nxxee (2) !nnxn (3) lnnnxxaaa 11 !(4) ln(1)11nnnnxx 11!(5) 111nnnnxx 隐函数的导数隐函数的导数( , )0( )f x yxyyy x 由方程确定的变量与变 量之间的函数关系，称为隐函数。0ydexyedx0ydydyeyxdxdx隐函数的求导方法隐函数的求导方法将方程两边同时对自变量将方程两边同时对自变量x求导。求导。0( )ydyexyeyy xdx求由方程所

12、确定的隐函数的导数 。例例12将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：解解ydyydxxe (0)yxe所以所以注意：注意：y是是x的函数，的函数，则则y的函数的函数f(y)视为视为x的复合函数。的复合函数。()yyddyeedxdx57=230( ).xdyyyxxyy xdx 0求由方程所确定的隐函数的导数解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导，得：求导，得：46521210dydyyxdxdx 6412152dyxdxy因为当因为当 x = 0时，从原方程可以解得时，从原方程可以解得 y = 0012xdydx所以所以解解 将方程两边同时对将方程两边同时对 x

13、 求导，得：求导，得：11cos02dydyydxdx22cosdydxy将上式两边再对将上式两边再对 x 求导得：求导得：2222sin(2cos )dyyd ydxdxy34sin(2cos )yy注意注意 y 是是 x 的函数的函数221sin0.2d yxyyydx 求由方程所确定的隐函数 的二阶导数例例13 幂指函数的导数幂指函数的导数两边取对数，得两边取对数，得lnsinlnyxx将方程两边同时对将方程两边同时对 x 求导（求导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxx sin1(coslnsin)xxxx

14、xx解法解法2解法解法1sinsin ln()()xxxyxesin ln(sinln )xxexx sinsin(cosln)xxxxxx转化为初等转化为初等函数，直接函数，直接求导法求导法转化为隐函转化为隐函数，对数求数，对数求导法导法sin0,1xyxxxy求的导数例例14一般地，幂指函数一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法，的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：( )( )v xyu x( )( )( ) ln( )v xyu xv xu x 如如sinsinsinlnxxxxxxsin1coslnsinxxxxxx练习练习 设设 33333 ,.xxyxxy求

15、3233 ln33lnxxxyxxx 32333 ln33 ln3 lnxxxxxxxx解答解答对数求导法对数求导法1lnln(1)ln(2)ln(3)3yxxx两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 x 求导（求导（注意注意 y 是是 x 的函数的函数）得：）得：11111()3123yyxxx 31(1)(2)111()33123xxyxxxx 对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。为主的函数的求导。3(1)(2),3xxyyx设求例例15解解tan xyxy ( 1 ) 求的 导 数tantan ln()(

16、)xxxyxesin1xyxxey ( 2 ) 求的 导 数11lnlnln sinln(1)22xyxxe11 1cos12sin2 1xxxeyyxxe111sin1cot22 1xxxeyxxexxe 解解解解tan2tan(secln)xxxxxx所以所以由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数( )( )xtdyytdx由 参 数 方 程确 定 的 函 数 的 导 数( )( )dytdydtdxtdxdt22()dydd ydtdxdxdtdxdydydtdxdtdxdydydtdxdxdt()ddydtdxdxdt注意一阶导注意一阶导数也是数也是 t t 的函数的

17、函数11( )( )( )( )xttxytx y是是x的复合函数的复合函数t是中间变量是中间变量求由摆线的参数方程求由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。所确定的函数的二阶导数。(sin )(1 cos )xa ttyatttxydydxsin(1cos )atatsin(1cos )ttcot2t22()ddyd ydt ddtxxdxd(cot)2txt21csc2 2(1 cos )att21(1cos )at 解解例例16是是t的函数，的函数，是是x的复合的复合函数函数23331 , xtd ydxytt 设求解解 21 332221ttydyxtttdxt 221322ttd y

18、tdxx3331344td yttdxx4233442ttt23131322424tttt 311344tttx253 18tt 22( )( )( )( )xftytftf td yftdx求由参数方程确定的函数的二阶导数 （设存在且不为零）.ttxydydx( )( )( )( )tftftftft22()tddyd ydtxdxdxt1( )ft解解相关变化率相关变化率( )( )xx tyy txydxdydtdt 设及都 可 导 ，而 变 量与存 在 某 种 关 系 ， 从而 变 化 率与间 也 存 在 一 定 关系 ， 这 两 个 相 互 依 赖 的 变 化 率 称 为相 关 变 化 率 。例例1 1 一个飞机观察员观察到一架飞机正在一个飞机观察员观察到一架飞机正在的的1143米的高度米的高度向他飞来，仰角为向他飞来，仰角为 ，并以，并以 /s