趣味数学：棒球锦标

1、趣味数学：棒球锦标?在棒球赛季的最后一周，猫咪棒球俱乐部联合会的野猫队、红猫队、美洲狮队和家猫队的得分仍并列第一。于是 决定进行一系列的“季后赛”。在季后赛中赢的场数最多的一队将夺得锦标。（ l ）在季后赛中，各队（以各队基地所在城市的名称表示）的得分情况如下：三场比赛中的得分记录塞克斯顿城队l 37特里布尔城队1 46阿尔斯特城队2 36凡尔迪尤城队3 4 5（ 2）各队在季后赛中赢的场数各不相同。（ 3）季后赛中每场比赛的比分各不相同。（ 4）在各场比赛中两队得分差距最大的是3 分。这个差距只出现过一次，在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方4 分。（ 5）在季后赛的第一轮中有两个队的得分

2、相同，在第二轮中有两个队的得分相同。 （各队同时比赛一次称一“轮”。 ）（ 6）在最后一轮中，野猫队的得分为较大的奇数，红猫队的得分为较小的奇数，美洲狮队的得分为较大的偶数，家猫队的得分为较小的偶数。四支棒球队中的哪一支球队 野猫队、 红猫队、 美洲狮队，还是家猫队夺得了锦标？（提示：总共比赛了多少场？不考虑队名，各队蠃了多少场？对于夺得锦标的队，可能是哪一种三场得分组合？对于输的场数最多的队，可能是哪一种三场得分组合？夺得锦标的队参加的比赛，结果可能是什么样的比分？输的场数最多的队参加的比赛，结果可能是什么样的比分？）答案根据（ 1） ，总共比赛了六场。根据 （ 2）各队在季后赛中赢的场数各

3、不相同。 以及比赛了六场的事实，一个队赢了三场，一个队赢了两场，一个队赢了一场，一个队一场都没赢（因此没有平局） 。塞克斯顿城队和特里布尔城队都不可能赢三场，因为它们都有一场比赛只得了 1 分。塞克斯顿城队没有三场全输，因为有一场比赛它得了季后赛中的最高分（ 7 分） 。因此，下列四种情况必有一种发生：I.凡尔迪尤城队赢了三场，特里布尔城队一场都没赢。n.凡尔迪尤城队赢了三场，阿尔斯特城队一场都没赢。m.阿尔斯特城队赢了三场，特里布尔城队一场都没赢。IV.阿尔斯特城队赢了三场，凡尔迪尤城队一场都没赢。除（ l ）之外，下面的推理还用到了（3）和（4） 。如果发生的是I,则特里布尔城队对塞克斯顿

4、城队的比赛结果是 6 比 7，于是特里布尔城队得4 分的那场比赛的对手不是凡尔迪尤城队就是阿尔斯特城队。如果是凡尔迪尤城队，则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说，（ 4）就得不到满足。因此特里布尔城队得4 分的那场比赛的对手是阿尔斯特城队，而且那场比赛阿尔斯特城队得了 6 分。于是特里布尔城队对凡尔迪尤城队的比赛结果是1 比 4，从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2 比 1，凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是 5 比 3，塞克斯顿城队对阿尔斯特城队是3 比 2。这样，三轮比赛的结果可表示如下（S代表塞克斯顿城队，T代表特里布尔城队， U 代表阿尔斯特城队， V 代表凡尔迪尤城队）STTUTV7:64:

5、6 1:4VUVSSU5:32:13:2这种情况与 （ 5） 在季后赛的第一轮中有两个队的得分相同，在第二轮中有两个队的得分相同。 （各队同时比赛一次称“轮”。 ） 矛盾，所以 I 被排除。如果发生的是n ,则阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是6比7,于是， 根据 （ 4） 在各场比赛中两队得分差距最大的是3 分。这个差距只出现过一次，在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方 3 分。 ，要么阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是2比 5，要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是3 比 6。如果是前者，则阿尔斯特城队对特里布尔城队是3 比 4，从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是4 比 3，凡尔迪尤城队对特里布尔城队是 2

6、 比 1。但是这样一来，将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是1 比 6，而这与（4）矛盾。因此，应该是阿尔斯特城队对特里布尔城队是3 比 6。从而阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是2 比 4。接下来，要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是 2 比 1，要么凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2 比1。如果是前者，则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是5 比 3。但是这样一来，将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是 2 比4，而这与（4）矛盾。因此，应该是凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是 2 比 1。从而凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5 比4，塞克斯顿城队对特里布尔城队是3 比 1。这样，三轮比赛的结果可表示如下：USUTUV6:73

7、:62:4VTVSST5： 42:13:l这种情况与（5）矛盾，所以n被排除。如果发生的是田，则特里布尔城队对塞克斯顿城队是6比7。于是，特里布尔城队仅得1 分的那场比赛的对手不是阿尔斯特城队就是凡尔迪尤城队。如果是阿尔斯特城队，则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说，（ 4）就得不到满足。因此特里布尔城队仅得1 分的那场比赛的对手是凡尔迪尤城队，而且那场比赛凡尔迪尤城队得了 4 分。于是，特里布尔城队对阿尔斯特城队是4 比 6，阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是3 比 2， 阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是2 比 1， 塞克斯顿城队对凡尔迪尤城队是3 比 5。这样，三轮的比赛结果可表示如下：TSTVTU

8、6:71:44:6UVUSSV3:22:13:5这种情况与（5）矛盾，所以田被排除。如果发生的是IV ,则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是4比7于是，要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5 比 6，要么是凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是5 比 6。同时，要么阿尔斯第 6 页特城队对塞克斯顿城队是2 比 1，要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是2 比 1。因此，共有四种可能。我们进行推理如下(其中(b)中又发生了两种可能)：(a) 如果VSVTUS则VU则UT则ST4： 75： 62： 12： 36： 43： l(b)如果VS第 7 页VTUT则VU则US6 3则ST1 44 75 66 17 3或US8 1则ST9 4(c)如果VSVUUS则VT则UT则ST10 711 612 113 414 13 6(d)如果VSVUUT则VT则US则ST4： 75： 62： 12： 43： 13： 6根据（4）, （b）、（c）和（d）被排除。这样，三轮的比赛结果可表示如下：（a）VSVUVT4： 72： 35： 6UTSTUS6： 4 3： 12： 1这是唯一余下的并且能够满足（5）的情况。根据（5）和（6） ，是最后一轮。根据 （ 6）在最后一轮中，野猫队的得分为较大的奇数，红猫队的得分为较小的奇数，美洲狮队的得分为较大的偶数