不定积分概念与基本积分公式81(数分教案)

1、第八章第八章 不定积分不定积分 8.1不定积分概念与基本积分公式不定积分概念与基本积分公式 8.2换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 8.3有理函数和可化为有理函数的不有理函数和可化为有理函数的不定积分定积分8.1不定积分概念与基本积分公式不定积分概念与基本积分公式 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.如如果果在在区区间间i内内，定义：定义：可可导导函函数数)(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)

2、()( ，那那么么函函数数)(xf就就称称为为)(xf导导函函数数为为)(xf，例：“求”出下列函数在指定区间内的原函数：(2)21( ), ( 1,1);1f xxx 2( ), ;f xxxr(1):解3(1)3x2,xxr32.3xxr在 内的一个原函数为(2)arcsin x21,1x( 1,1)x 21( 1,1)arcsin .1xx在内的一个原函数为2. 若已知某个函数的原函数存在,又怎样把它求出来?研究原函数必须解决下面两个重要问题:1. 满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存在,是否唯一?注意:一个函数的原函数不是唯一的.事实上,21arccos,1xx21arccos(

3、1,1).1xx也是在内的一个原函数3. 原函数的结构？原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.定理8.1 注意：(1)由于一切初等函数在其定义域内都连续，所以一切初等函数在其定义域内都有原函数。 下一个问题：下一个问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 为任意常数）为任意常数）c(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的结构：关于原函数的结构：定理8.2 ffi设 是 在 上的一个原函数,则 ,fcfi(1)也是 在 上的原函数c其中 为任意常数;(2),

4、fi在 上的任意两个原函数之间 只可能相差.一个常数证证:(1) )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c(2)( )( )( ),f xcf xf x xixi( )( )( )f xg xf xi设和皆为在 上的原函数xi由拉格朗日中值定理的推论( )( ),f xf x( )( )g xf x此定理提示了一个函数的全体原函数的结构，要把已知函数的原函数全体求出来，只需求其中一个原函数，由它加上任意常数，便得到全部的原函数。积分常数积分常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：cxfdxxf )()(被积

5、表达式被积表达式积分变量积分变量定义fi函数 在区间 上的全体原函数,fi称为 在 上的不定积分记作( )f x dx,ff如果 是 的一个原函数( )( );f xf x即ffc c则 的不定积分为为任意常数简写为: :于是有2x dx3,3xc211dxxarcsin,xccosxdxsin,xc1dxxln,xc0,x 不定积分的几何意义:( )( ),f xf x若是的一个原函数( )yf x则称的图象( )f x是的一条积分曲线.( )yf x( )yf xcoyx0 x( )f x于是函数的不定积分( )f x表示的某一条积分曲线沿着纵轴方向任意地.平行移动而得到的所有积分曲线组成

6、的曲线族,显然若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处,作切线 则这些切线.都是互相平行的 , a例 设质点作匀加速直线运动 其加速度为( ),( );tv ts t在时刻 的速度为路程为00( ),v tv若已知00( ).( ).s tss t求质点的运动规律:解( ),v ta ( )v tadt则atc00( ),v tv由,:代入上式 得00,cvat于是00( )v ta ttv00 ( )s ta ttv即00( )s ta ttv dt200112a ttv tc00( ),s ts由,:代入上式 得100 0,csv t故质点的运动规律( )s t200001.2a ttvtts

7、00( )s tss( )s t( )yf xoyx0 x上述例子说明: （称为初始条件） 来确定其中的任意常数， 从而，得到所求的原函数 ( )f x dx00()f xy例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是

8、是x2的一个原函数的一个原函数.,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ( )( ),f x dxf xc又 ( )( ).df xf xc即结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.( )f x dx( )f xc( )f x( );f x( )df x dx( )d f xc( )f x dx,ff如果 是 的一个原函数( )( )f x dxd f x这里记实例实例 xx 11.11cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分

9、公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表 kckxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx说明：说明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx简写为简写为.ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsi

10、n)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax (14) 0dxc例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根据积分公式（根据积分公式（2）cxdxx 11 三、三、 不定积分的性质不定积分的性质8.3 定理,fgi如果函数 与 在区间 上都存在原函数12,k k 为两个任意常数,12.:k fk gi则在 上也存在原函数且

11、1212( )( )( )( )k f xk g xdxkf x dxkg x dx:证明12( )( )kf x dxkg x dx12( )( )kf x dxkg x dx12( )( )k f xk g x12( )( ).kf x dxkg x dx且中含有任意常数项.等式成立 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数的情况）（此性质可推广到有限多个函数的情况）特别地，有： dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k11(3) ( )( )nniiiiiik f xdxkf x dx例例5 5 求积分求积分解解.)121

12、3(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 注意:这里计算不定积分的方法是,(1)对被积函数作恒等变形,化为基本积分公式表中的函数的线性组合;(2)运用定理8.3这种计算不定积分的方法分项,称为积分法.例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arct

13、an1cxx 例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxf 不定积分的概念：不定积分的概念： cxfdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结思考题思考题符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),( 思考题解答思考题解答不存在不存在.每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有原函数的函数都没有原函数.不