上海松江区高三数学二模试卷及答案

1、松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学2017.4（满分150分，完卷时间120分钟）一.填空题（本大题满分 54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，第16题每个空格填对得 4分，第712题每个空格填对得 5分，否则一律得 零分._ x_ _ 1 _1.已知 f(x) 2x 1,则 f 1(3) 2.已知集合 M x x 1 1 , N 1,0,1，则 M I N 3.若复数乙a 2iz 2 i （i是虚数单位），且qz?为纯虚数，则实数a =x 2 . 2t4 .直线_ （t为参数）对应的普通方程是y 3 . 2t5 .若(x 2)n xn a

2、xn 1 L bx c n N ,n 3b 4c ,贝U a的值为 .6 .某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是.7 .若函数f（x） 2x（x a） 1在区间0,1上有零点，则实数 的取值范围是.8 .在约束条件 x 1 y 2 3下，目标函数z x 2y的最大值为9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红1 ，E灯的概率都是1,则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是3.210 .已知椭圆x2 与 1 0 b 1的左、右焦点分别为 FF2,记F1F2 2c.若此椭圆 b1俯视图上存在点P,使P到直线x 的距离是|PF1与

3、PF2的等差中项，则 b的最大值为 c.11 .如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P在大圆上，PA与urn unr小圆相切于点 A,Q为小圆上的点，则PA PQ的取值范围是 .12 .已知递增数列& 共有2017项，且各项均不为零，32017 1 ,如果从 Bn中任取两项ai,aj ,当i j时，aj a仍是数列 an中的项，则数列 an的各项和S2017 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.r rr r13 .设a、b分别是两条异面直线 小l2的方向向量，

4、向量a、b夹角的取值范围为 A, l1、L所成角的取值范围为 B,则“ A”是“ B”的（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件14.将函数ysin x 一图像上的点12向左平移s（s 0）个单位，得到点P ,若P1(A) t一）s的最小值为6(B)2(C) t1一)s的最小值为12(D)2位于函数ysin 2x的图像上，则s的最小值为一6s的最小值为12-7 -15.某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额 车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（I）不改变车票价格，减少支出费用；建议 （n）

5、不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中, 实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（A）反映了建议（n）（B）反映了建议（I ）（C）反映了建议（I ）（D）反映了建议（I ）,反映了建议（I） ,反映了建议（n） ,反映了建议（n） ,反映了建议（n）16.设函数y f (x)的定义域是R ,对于以下四个命题：(1)若y f(x)是奇函数，则y f(f(x)也是奇函数；(2)若yf(x)是周期函数，则 y f (f (x)也是周期函数；(3)若yf(x)是单调递减函数，则y f (f (x)也是单调递减函数；1 _1(4)右函数y f(x)存在反函数y f (x),且函数y

6、f (x) f (x)有零点，则函数y f(x) x也有零点.其中正确的命题共有(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个三.解答题(本大题满分 76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤.17 .(本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分)直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB AC, AB AC 2,AA1 4, M是侧棱CC1上一点，设 MC h .若BM AQ,求h的值；(2)若h 2 ,求直线BA与平面ABM所成的角.18 .(本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分)设函数f(x) 2x,函数g(

7、x)的图像与函数f(x)的图像关于y轴对称.(1)若 f (x) 4g(x) 3, 求x的值；(2)若存在x 0,4 ,使不等式f (a x) g( 2x) 3成立，求实数a的取值范围.19.(本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分)如图所示，PAQ是某海湾旅游区的一角，其中 PAQ 120 ,为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 AP和AQ上分别修建观光长廊 AB和AC, 其中AB是宽长廊，造价是800元/米，AC是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总 造价为120万元，同日在线段 BC上靠近点B的三等分点 D处建一个观光平台，并建水 上直线通道 AD (平台大小忽

8、略不计)，水上通道的造价是1000元/米.(1)若规划在三角形 ABC区域内开发水上游乐项目， 要求 ABC的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？(2)在的条件下，建直线通道 AD还需要多少钱？加Bn及20 .(本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)设直线l与抛物线y2 4x相交于不同两点 A、B,与圆(x 5)2 y2 r2(r 0)相切于点M ,且M为线段AB中点.(1)若4AOB是正三角形(O是坐标原点)，求此三角形的边长；(2)若r 4,求直线l的方程；(3)试又r 0,进行讨论，请你写出符合条件的直线l的条数(直接写出结论).21 .(本题满分18分；第

9、1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)r r -I-、自心/*一、. .4 *对于数列an,te乂Tna1a2a2a3Lanan1 , n N.*(1)若an n ,是否存在k N ,使得k 2017 ?请说明理由；(2)若a1 3, Tn 6n 1,求数列an的通项公式；T2 2T1n 1(3)令bn* ,求证：an为等差数列”的充要条件是Tn 1 Tn 1 2Tn n 2,n Nan的前4项为等差数列，且bn为等差数列”.松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）（参考答案）2017.4.填空题（本大题共 54分）第16题每个空格填对得4分，第75题每个空格填对得5分1. 22. 1,07. 1

10、,18. 923. 14. x y 1 05.166.4屈9. -10. 11 . 3 73,3 V3 12, 100992二、选择题（每小题5分，共20分）13. C 14. A 15. B 16. B三.解答题（共78分）17. （1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示,则 B(2,0,0),Ai(0,0,4) , C(0,2,0), M(0,2,h)2分BM ( 2,2,h), AC (0,2, 4)4分由 BM AC 得 BM A1C 0,即 2 2 4h 0解得h 1.6分(2)解法一：此时 M (0,2,2) uuruuruurA

11、B 2,0,0 , AM 0,2,2 ,BA 2,0,4 8分r设平面ABM的一个法向量为n (x, y, z)r uuu,n AB 0 x 0由 r uuuu 得n AM 0 y z 010分所以 n (0,1, 1)设直线BAi与平面ABM所成的角为贝 U sinr uuurn BAi-f-uutrn BA14 _J0 ,2、. 20512分所以直线BA1与平面ABM所成的角为arc sin10514分解法二：联结A1MQ AB AC, AB AA , AB 平面 AACQAB A1MAM 平面ABM所以 ABM是直线BA与平面ABM所成的角;10分在 RtzXABM 中，AM272, A

12、1B 2V10所以sin ABMAM 2,2_?0AB 2，而 512分所以 ABM.10 arcsin5I14分所以直线BA1与平面ABM所成的角为arc sin 1 518. (1)由 f(x) 4g(x) 3得 2x 4 2 x 32 分2xx23 24 0所以2x 1 (舍)或2x 4 ,4分所以x 26分(2)由 f (a x) g( 2x) 3得 2a x 22x 3 8 分ax 2xa xx223223 210 分而2x 3 2 x2J3,当且仅当2x32x,即x 10g430,4时取等号12分14分所以2a 2、.3,所以a19. (1)设AB长为x米,AC长为y米，依题意得8

13、00x 400y 1200000,即2x3000,S ABCoy sin1202x.3 2x2y =281250 .3 m2当且仅当2xy,即x 750, y 1500时等号成立,10分-8 -所以当 ABC的面积最大时， AB和AC的长度分别为750米和1500米6分(2)在的条件下，因为 AB 750m, AC 1500m.uur 由AD2 uuur -AB31 uuur -AC 3uur 2 得AD2 uur 一 AB3_ 21 uur AC34 2AB947504 AB 94AC1 一2-AC910分9 uuur| AD | 500750 1500 9_ _ 215002 250000

14、12分1000 500 500000元所以，建水上通道 AD还需要50万元.14分解法二：在 ABC中，BCAB2 AC22AB ACcos120,7502 15002 2750 1500cos120o750 7在 ABD 中，cosB222AB2 BC2 AC22AB AC7502 (750.7)2150022 72 750 750 7在 ABD 中，AD 、：AB2 BD2 2AB BDcosBJ7502 (250")2 2 750 (250 7) -27 = 500 12分1000 500 500000元所以，建水上通道 AD还需要50万元. 14分解法三：以A为原点，以AB为

15、x轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0), B(750,0)C(1500cos120 ,1500sin120 )，即C( 750,750v'3),设 D(x0,y0) 8分uuruuirx0 250一由 CD 2DB,求得l,所以 D 250,250 J310 分y0 250.3所以，| AD |。(250 0)2 (25073 0)2500 12 分1000 500 500000元所以，建水上通道 AD还需要50万元. 14分31、八22所以 1a 43a,所以a 8屈20. (1)设4AOB的边长为a,则A的坐标为(a, -a)2分22此三角形的边长为8J3.4分(2)设直线l :

16、 x ky b当k 0时，x 1,x 9符合题意6分当k 0时,x ky y2 4x16(k2b) 0, y1Q kAB kCM1,kAB_2K.2k2 by2 4ky 4b 08 分y2 4k,8x2 4k2 2b M (2k2 b,2k)1 kk b 3 2k2-11 -16(k2 b) 16(3 k2) 00 k2 35 b2Q4 r 2 1 k21 k2k2 30,3 ,舍去综上所述，直线l的方程为：x 1,x 910分(3)r 0,2 U 4,5 时，共 2 条；12 分r 2,4时，共4条；14分r 5, 时，共1条.16分21.： (1)由ann 0,可知数列Tn为递增数列，2分

17、计算得 T17 1938 2017, T18 2280 2017, . . . -* . .所以不存在k N ,使得Tk 2017 ; 4分n(2)由Tn 61,可以得到当n 2,n N时，八nn 1n 1anan 1 Tn Tn 1(61) (61)56, 6 分又因为a1a2 T15,n 1*n*所以anan 1 5 6 ,n N ,进而彳#到an冏2 5 6 , n N ,a*两式相除得6,n N , an所以数列a2k1, a2k均为公比为6的等比数列， 8分, 一一 5由 a13 ,得 a2,3n 13 6 2 n 2k 1,k N所以an匚n 2. 10分5*-6 2 n 2k,k

18、 N 3(3)证明：由题意 b T2 2Ti a2a3 a1a2, *.当 n2, nN 时，bnTn 1Tn 12Tnan 1an2anan1 ,*.一因此，对任意n N ,都有bn an冏2 anan 1 . 12分必要性（）：若an为等差数列，不妨设 an bn c,其中b,c为常数,显然 a2 a a3 a2 a4 a3, 22由于 bn an ian 2 anan i = an i(an 2 an) 2b n 2b 2bc,一一. . *2 .所以对于n N , bn 1 bn 2b为常数，故bn为等差数列；14分充分性()：由于%的前4项为等差数列，不妨设公差为d当 n k 3(k 1)时，有 a ai 3d ,a3 a1 2d, a2 a d 成立。15 分-t 、i*._假设n k 3(k 1,k