概率统计第二章第四节PPT课件

1、 若若X为连续型为连续型随机变量，由于随机变量，由于X在在a, b内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线滑曲线).(xf而且：而且： )(xfdxxfSbXaPba )(1)( dxxfXPXaP.b)(xfdxxfSba )(由此推出连续由此推出连续型随机变量型随机变量的定义的定义第1页/共34页, 0)( xf, 1)( dxxf 设设X X是随机变量，如果存在定义在整个实是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数数轴上的函数f f( (x x) )，满足条件，满足条件 1. 2.对于任意的对于任意的有有也可为也可为也可为也可为,b,),(,

2、ababa 3.,)( badxxfbXaP则称则称X是是连续型随机变量连续型随机变量， 称为称为X的的概率密度函概率密度函数数, ,简称概率密度简称概率密度. .)(xf(2) 连续型随机变量的定义连续型随机变量的定义第2页/共34页 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1)0)( xf2) 1)(dxxfaSb 1xo)(xf这两条性质是判定一这两条性质是判定一个函数个函数 f(x)是否为某是否为某个随机变量个随机变量X的概率的概率密度函数的充要条件密度函数的充要条件.3) X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率= badxxf)(第3页/共34页连续型随机变量等价定义定义，使对于任意实

3、数有负函数如果存在非的分布函数对于随机变量)(),(xfxFX dxF xP Xxf tt.)(概率密度的概率密度函数，简称为称其中函数称为连续型随机变量，则XxfX第4页/共34页注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP 由此可得由此可得这是因为这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00 第5页/共34页)()(,)(20 xf

4、xFxxf 有有处连续处连续在点在点若若 xttfxXPxFd)()(10),()()(30aFbFdxxfbXaPbXaPbXaPbXaPba 关于关于连续随机变量连续随机变量X的分布函数和概率密度函的分布函数和概率密度函数的性质：数的性质：第6页/共34页 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度.x ,(xxx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(

5、lim0 x xxxxdttf)(lim0=f(x)() 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解第7页/共34页 密度函数密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反的高度，并不反映映X取值的概率取值的概率. 但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以说，在某也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度近的程度.1xo)(xf)(afa问题：问题：f (a)是是=a的概率吗？的概率吗？第8页/共34页事实上，若不计高阶无穷小，有：事实上，若不计高阶无穷小，有：xxfxxXx

6、P )( 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxx xxf )(xxf )(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpxXP 在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.第9页/共34页PX=a=0而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件.可见，可见， 由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=问题：问题：概率为零的事件一定是不可能事件概率为零的事件一定是不可能事件吗？吗？类似可知，类似可知，第10页/共34页例1 设连续型随机变量X具有概率密度 1, 02

7、,0 , .kxxfx其他k确定常数) 1 ( xFX的分布函数求)2(2523)3( XP求第11页/共34页20(1)( )d1,(1)d1f xxkxx由得(2)X的分布函数为 20, 01d, 0241, 2 xxF xf ttxxxx5335(3)22221 0.93750.0625PXFF 解1/2k 解得第12页/共34页均匀分布具有概率密度设连续型随机变量X , , 0, ,1其他bxaabxf),(,),(baUXbaX记为上服从均匀分布在区间则称 1d, 0)(xxfxf且易知满足连续型随机变量的两个最基本性质第13页/共34页均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量

8、变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等长度的子区间落在区间落在区间ba a b lablp l事实上事实上，若若X U(a, b)，则对于满足，则对于满足bdca 的的c,d, 总有总有 dcdxxfdXcP)(abcd dcdxab第14页/共34页的分布函数为X bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0( )F x 相应的图形为第15页/共34页均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对

9、小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么一般认为误差服从（差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间如公交系统中乘客随机乘车的等车时间第16页/共34页指数分布概率密度为设连续型随机变量X , 0 , 0, 0 ,exxxfx的指数分布服从参数为则称常数为其中X,0 1ded0)(0 xxxfxfx且易知的分布函数为X . , 00 ,e1其他，xxFx满足连续型随机变量的两个最基本性质第17页/共34页指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示 第18页/共34页 指数分布

10、在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间间. .有些系统的寿命分布也可用指数分布来有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似近似, 当当电子产品的失效是偶然失效时电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布其寿命服从指数分布.在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等等. 第19页/共34页例3()1/1000,31000X已知某种电子元件寿命单位：h 服从参数的指数分布 求 个这样的元件使用小时至少有一个已损坏的概率。解

11、：的概率密度为X . 0 , 0, 0 ,e100011000 xxxfx 11000ed1000 xxfXP于是各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 ，从而至少有一个已损坏的概率为 3e31 e第20页/共34页正态分布概率密度为设连续型随机变量X22()21( )e,2xf xx ).,(,)0(,2 NXX记为分布的正态服从参数为则称为常数其中( )0( )1f xf x dx显然，下面来证明满足连续型随机变量的两个最基本性质第21页/共34页得令, tx222()2211eded22xtxt20ed,2xx利用有22ed2tt于是22(

12、)21ed12xx第22页/共34页的分布函数为X22()21( )ed2txF xt如下图所示)(xF第23页/共34页正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 第24页/共34页;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x第25页/共34页.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越

13、瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf第26页/共34页 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 第27页/共34页表示，即有分别用其概率密度和分布函数。记为服从标准正态分布时称当)(),() 1 , 0(, 1, 0 xxNX

14、X221( )e,2xx221( )ed2txxt()1( ) xx易知引理若2(,)XN 则(0,1)XYN第28页/共34页4例解816816(2)0.977344XP XP880( 2)1(2)0.022744 XP XP12882081220(3)(1)4440.99870.84130.1574XPXP查表得的分布函数由引理及,X已知求16, 0P XP X及1220PX)(8,4 2NX第29页/共34页5例设2(,)XN 内的概率落在区间求),(kkX), 3 , 2 , 1 (k解P XkPkXk( )()2( ) 1kkk于是2(1) 10.6826 P X2 2(2) 10.

15、9544 P X3 2(3) 10.9973P X 3 13 0.00270.003P XP X 则有.003. 0)3,3(不会发生在实际问题中常认为它，以外的概率小于落在 X第30页/共34页)(, 10 ,),1 , 0(如下图所示分位点为标准正态分布的上称点则满足条件若设uuXPuNXuux1)( 的图形的对称性可知：由第31页/共34页课堂思考课堂思考 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量, 试求他试求他候车时间少于候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依题意，依题意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位 其它其它, 0300,301)(xxf第32页/共34页 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到