同济大学高等数学课件D23高阶导数

1、二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数

2、, 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 设, )

3、1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 设bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为

4、常数 , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )

5、0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuc)(nuc(c为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 vu 3)(vuvuvu)( vu)(

6、vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. ,22xexy 求.)20(y解解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!)

7、 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.思考与练习思考与练习xy1211)()1

8、(!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函数的 n 阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xbxaxx提示提示: 令)2(xa原式2x) 1(xb原式1x11机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22b

9、abax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)( !nxfn2. (填空题) (1) 设,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各项均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意阶可导, 且2n时)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 试从

10、yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同样可求33ddyx 作业作业p104 1 ; 5 ; 6; 7 ; 8 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 1设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导. y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf备用题备用题x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin() )(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfx

11、xxxxf)(sincos22xfxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx. 3设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思

12、考题解答思考题解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设tetysin 则则y =_.=_.2 2、 设设xytan , ,则则y = =_._.3 3、 设设xxyarctan)1(2 ，则，则y = =_._.4 4、 设设2xxey , ,则则y = =_._.5 5、 设设)(2xfy , ,)(xf 存在，则存在，则y = =_. .6

13、 6、 设设6)10()( xxf, ,则则)2(f =_.=_.7 7、 设设nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常数都是常数) )，则，则)(ny= =_. .8 8、设、设)()2)(1()(nxxxxxf , , 则则)()1(xfn = =_._.练练 习习 题题二、二、 求下列函数的二阶导数：求下列函数的二阶导数：1 1、 xxxy423 ；2 2、 xxylncos2 ；3 3、 )1ln(2xxy . .三、三、 试从试从ydydx 1，导出：，导出：1 1、 322)(yydyxd ；2 2、 6233)()(3yyyydyxd . .五五、验验证证函函数数xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是是常常数数） 满满足足关关系系式式02 yy . .六六、 求求下下列列函函数数的的 n n 阶阶导导数数： 1 1、xeyxcos ；2 2、 xxy 11；3 3、 2323 xxxy; ;4 4、 xxxy3sin2sinsin . .一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7