大学数学：补充_2 点积叉积

1、 三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节第二节一、两向量的内积一、两向量的内积二、两向量的叉积二、两向量的叉积内积内积 叉积叉积 混合积混合积1M一、两向量的一、两向量的内积内积沿与力夹角为沿与力夹角为的直线移动的直线移动,W 1. 定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作内积内积(数量积数量积,内积内积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, F位移为位移为 s , 则力则力F 所做的功为所做的功为cosFs sFW2Mbacosba的与为baba,s0,a 当时当时 ba 在 上的投影为在 上的投影为记作记作故故,0,b 同理 当时同理 当时abj

2、 rPb2. 性质性质为两个非零向量为两个非零向量, 则有则有Prjab cosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0a b则则2 (,)ab0,0ba3. 3. 运算律运算律(1) 交换律交换律(2) 结合律结合律(,)为实数为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律分配律cbcacba事实上事实上, 当当0c时时, 显然成立显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac向量投影的性质向量投影的性质性

3、质性质1 性质性质2 .PrPr)(Prbjajbajuuu 性质性质3 .Pr)(Prajajuu 性质性质4；，则，则若若ajbbabbPr|0 .Pr|0bjabaaa ，则，则若若.,cosPr轴的夹角轴的夹角与与为向量为向量其中其中uaaaju 证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(2.例例.Pr,Pr,3),(, 1, 2,3,32AjBjBAbababaBbaABA 求求设设 :解解237,AA A231,BB B22673aa bb28 (23 ) (3)A Babab PrAA Bj BA PrBA Bj AB 2

4、8,37 28.31 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设则则, 10 xxyyzza ba ba b当当为非零向量时为非零向量时,cos xxyyzza ba ba b222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik a b ba baba,两向量的夹角公式两向量的夹角公式 , 得得)(MB, )(MA BM例例3. 已知三点已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则

5、则AMBcos10022213AMB求求MBMAMA MB故故二、两向量的二、两向量的叉积叉积引例引例. 设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点 , 有一个与杠杆夹角为有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则符合右手规则OQFFsin OPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量矩是一个向量 M :的力的力 F 作用在杠杆的作用在杠杆的 P点上点上 ,则力则力 F 作用在杠杆上的力作用在杠杆上的力FFM oPMF1. 定义定义定义定义向量向量方向方向 :(向量向量积，外积积，外积)记作记作且符合右手规则且符合右手规则模模 :叉叉积积 ,，的夹角为设ba,c,ac bc csinabbac称称c

6、的与为向量bacabab引例中的力矩引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三角形面积右图三角形面积abba21S2. 性质性质为非零向量为非零向量, 则则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律分配律(3) 结合律结合律(证明略证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标

7、表示式向量积的坐标表示式设设则则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,xzxzaabb yxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx例例5. 已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,

8、2, 1(CBA角形角形 ABC 的面积的面积 解解: 如图所示如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三三、向量的混合积三、向量的混合积1. 定义定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合积 .记作记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体为棱作平行六面体,底面积底面积高高h故平行六面体体积为故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Aab ccba,以则其则其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设

9、设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc3. 性质性质(1) 三个非零向量三个非零向量共面的充要条件是共面的充要条件是0(2) 轮换对称性轮换对称性 :(可用三阶行列式推出可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc例例6. 已知一四面体的顶点已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的

10、体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的,61故故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA例例7. 证明四点证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面共面 .解解: 因因0)17,15,10(DABCD34512291416故故 A , B , C , D 四点共面四点共面 .ADACAB解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kj

11、|0ccc ABC解解D)3, 4 , 0( AC)0 , 5, 4( AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDACS |521225BD . 5| BD内容小结内容小结设设1. 向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:(,)xxyyzzabababab),(zyxaaaazzyyxxbabababa(,),(,),(,)xyzxyzxyzaaaabbbbcccc叉积叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazy

12、xzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以所以CcsinCbasin因因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB)(sin|,2222bababa )(cos1|,

13、222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .3.解解 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 4练习题练习题1. 已知向量的夹角且,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba22200)2(211ABCD在顶点为在顶点为三角形中三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求求