大学数学：作业中的定积分应用题目求解

1、2009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系1求求r = a sin3 所围图形的面积所围图形的面积.解解 这是三叶玫瑰线，由这是三叶玫瑰线，由 sin3 0，有，有 32,30.3534 及及由对称性由对称性 d3sin3d2166022260arA260260246sin6123d)6cos1(213aaa 作业集作业集 P74.5P74.52009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系2作业集作业集 P75.6P75.6求由曲线求由曲线x= t - t3 ,y= 1 t 4所围图形的面积所围图形的面积.若参数方程若参数方程x j j( (t),y y y( (t)所表示

2、的曲线是所表示的曲线是封闭封闭的，即的，即( )( ), ( )( )xxyy 且在且在（ ， ）内曲线自身不再相交，那么由曲线自身）内曲线自身不再相交，那么由曲线自身所围成的面积：所围成的面积：( ) ( )Att dt y yj j ( ) ( )tt dt j jy y 2009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系3求由曲线求由曲线x= t - t3 ,y= 1 t 4所围图形的面积所围图形的面积.2(1)(1),(1)(1)(1)xtttyttt ( 1)(1), ( 1)(1)xxyy易见，易见，1013302( ) ( )2()( 4 )Att dttttdtj jy y

3、 该曲线关于该曲线关于y轴对称轴对称57146100168()85735ttttdt 解解作业集作业集 P83.6P83.62009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系4作业集作业集 P75.7(2)P75.7(2)解解 将极坐标方程化为参数方程将极坐标方程化为参数方程23 (1cos )cos(1cos )sinxaya sin (2cos1): 0dxad 20,3 0222233ddVyxyx 383a 0222(1cos ) sinsin (2cos1)daa 02dyx 2009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系50222(1cos ) sinsin (2cos

4、1)daa 3230(1cos ) sin(2cos1)da 3220(1cos ) (1cos)(2cos1)d( cos )a 1323451(144252)d()auuuuuu cos:u 383a 2009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系6可以证明曲边扇形可以证明曲边扇形0, 0( ),rr绕极轴绕极轴32( )sin d .3oxVr )(rr xd旋转而成的体积为旋转而成的体积为32(1cos ) sin d3oxV 383a 2009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系7作业集作业集P76. 13半径为半径为R的球沉入水中，它与水面相切，球的密度与的球沉入

5、水中，它与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，问需要做多少功？水相同，现将球从水中取出，问需要做多少功？ 如图建立坐标系如图建立坐标系 R2yxxodxx 则圆的方程为则圆的方程为 222()xRyR取积分变量为取积分变量为x, 积分区间为积分区间为0,2R， 下面研究厚度为下面研究厚度为dx部分的球所作的功部分的球所作的功dw 由于球的比重与水相同，因此这部分的球由于球的比重与水相同，因此这部分的球 由由x处提到水面不作功。处提到水面不作功。 而将球从水中取出，这部分球将向上提起而将球从水中取出，这部分球将向上提起2R-x 克服重力作功，从而克服重力作功，从而 2(2)dWy dxRx 2009年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系8克服重力