大学数学：ch5-6 多元函数微分学在几何上的简单应用-2

1、2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系1第6节 多元函数微分学在几何上的 简单应用6.1 6.1 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线6.2 6.2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面6.3 6.3 曲线的弧长曲线的弧长6.4 6.4 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线(Geometric Applications 0f Differentiation of Functions of Several Variables)2第6节 多元函数微分学在几何上的简单应用6.3 6.3 曲线的弧长曲线的弧长(Arc Length of a Curve)(Arc Length of

2、 a Curve)35.3 5.3 曲线的弧长曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0P 1iP iPnP 当折线段的最大当折线段的最大边长边长 d0 时时, 折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长 , 即即并称此曲线弧为并称此曲线弧为可求长的可求长的(rectifiable).1iiP P 1ni 0limds 则称则称1.弧长的概念弧长的概念11maxiiindP P ABzoyx弧长弧长折线的极限折线的极限简单曲线与有向曲线简单曲线与有向曲线（SeeP102)4?可求长的条件

3、可求长的条件?连续够不够连续够不够在曲线光滑的条件下可求长在曲线光滑的条件下可求长 :( )( ), ( ), ( ) rr tx ty tz tt52.弧长的计算公式弧长的计算公式弧长计算公式：弧长计算公式：对于空间光滑曲线：对于空间光滑曲线： ( )( ), ( ), ( ) rr tx ty tz tt222( ) ( ) ( ) ( )sr t dtx ty tz tdt 证明见证明见P107对于平面简单曲线对于平面简单曲线: :( )( ( ), ( )()r tx ty tt 弧长计算公式：弧长计算公式：22( ) ( ) ( )sr t dtx ty tdt611( )()()

4、,.iiiiiiiiyy ty tytxx于是于是22111nniiiiiiP Pxy .:110 nnttttT证证 设设 , , 的的任任一一分分割割1, ,iitt在在上上由由微微分分中中值值定定理理11( )()() ,iiiiiiiixx tx txtxx7221()()niiiixyt221()().niiiixyt22( )( ) ,xtyt 由由于于在在上上连连续续, ,从从而而可可积积， niiiityx122)()( niiiityx122)()( 因此因此222201lim()()( )( )d .niiidixytxtytt 8. )()()()()()(2222iii

5、iiiyyyxyx ( ) , ,y t 又又在在上上连连续续 从从而而在在上上一一致致连连续续, ,0,0,ii因因此此对对任任意意存存在在当当时时()(),1, 2, .iiyyin 于是于是,22221()()()() niiiiiixyxyt1()(),niiiiyyt9即即222201lim()()()()0,niiiiiiiiidixyxyt从而从而22101lim( )( )d .niidisPPxtytt 10(1) (1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出: :1( ) ()( ) , yy xaxby xC a b其中其中则弧长则弧长21 ( )dbasyx

6、x (2) (2) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出: :( ) () ( )cos,( )sin,xy 令令弧长弧长22( ) ( ) ds 则得则得11解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab12例例 求平面曲线的弧长：求平面曲线的弧长： 211ln 142xyyyeP109 例例6.4 13解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss 22204( )( )sxy dt dttta 20cossin34 .6a xoy 222

7、22043 cossin3 sincosattattdt 14解解,a drrs )()(22).412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 212a 21ln12 20 15解解xyzOak例例4 4 求螺旋线一个螺距之间的长度：求螺旋线一个螺距之间的长度：:cos ,sin ,(02 ).xat yat zktt 222202220 ( ) ( ) ( )sx ty tz tdtak dt 22222 ( ) ( ) ( )x ty tz tak 2220222 2aktaak 163 3 弧微分弧微分设光滑曲线的参数方程为设光滑曲线的参数方程为可以将弧长视为参数可以

8、将弧长视为参数 t 的函数的函数这样，可得这样，可得弧长的微分弧长的微分（弧微分弧微分）为：）为： ( )( ), ( ), ( ) rr tx ty tz tt00222( ) ( ) ( ) ( )ttttsrdxyzd 222( ) ( ) ( ) ( )dsr tx ty tz tdt 17222( )dsr t dtdxdydz ( )( ), ( ), ( ) rr tx ty tz t22dsdxdy1( ) , yf xC a bds称为称为弧长的微分弧长的微分 ( (弧微分弧微分) )(,)Mxdx ydy( , )M x ydsMM 则则弧微分的弧微分的几何意义：几何意义：

9、sdyxabo( )yf x xxxdds是是以以dx,dy为直角边为直角边的三角形的三角形的的斜边长斜边长MdyT（微分三角形微分三角形）dxM184 4 自然参数自然参数既然弧长可以视为参数既然弧长可以视为参数 t 的函数的函数0( )( )ttss trd 一定存在一定存在反函数！反函数！将反函数将反函数 t = t(s) 代入曲线参数方程代入曲线参数方程( ( ):( )rr t sr s即弧长即弧长 s 成为曲线的参数，称之为成为曲线的参数，称之为自然参数自然参数性质：性质：2221dxdydzdsdsds,drdx dy dzdsds ds ds 即即为为单位切向量单位切向量今后用

10、今后用( ), ( )rs rs等分别表示等分别表示22,dr d rds ds等等19EX. 求连续曲线段求连续曲线段ttyxdcos2 解解: :,0cos x22 xxysd1222 的弧长的弧长.xxd)cos(12202 xxd2cos2220 02sin2222 x. 4 20小结小结1.弧长的概念弧长的概念 -折线的极限折线的极限1iiP P 1ni 0limds 2.弧长的计算公式弧长的计算公式 ( )( ), ( ), ( ) rr tx ty tz tt222( ) ( ) ( ) ( )sr t dtx ty tz tdt 平面简单曲线的弧长计算公式平面简单曲线的弧长计算公式( )( ( ), ( ), ,r tx ty tt 22( ) ( ) ( )sr t dtx ty tdt( ) ()yy xaxb21 ( )dbasyxx ( ) () 22( ) ( ) ds 213 3 弧微分的概念弧微分的概念222( )dsrddxdydz ( )( ), ( ), ( ) rr tx ty tz t22dsd