复数与复变函数

1、 第一节第一节复数复数 第二节第二节复平面上的点集复平面上的点集 第三节第三节复变函数复变函数 第四节第四节复球面与无穷远点复球面与无穷远点 1复数域复数域形如形如的数，称为复数。其中实数的数，称为复数。其中实数和和分别称为复数的实部和虚部，常记为分别称为复数的实部和虚部，常记为全体复数并引进四则运算后称为复数域全体复数并引进四则运算后称为复数域iyxzxyzyzxim,re 加（减）法加（减）法 乘法乘法 除法除法)()(212121yyixxzz)()(2121212121xyyxiyyxxzz)0(2222221212222212121zyxyxxyiyxyyxxzz 相等：相等： 当且

2、仅当当且仅当 共轭复数：共轭复数：21zz 2121,yyxxiyxz 2复平面复平面一个复数一个复数 本质上由一对本质上由一对有序实数有序实数 唯一确定。可对唯一确定。可对应于平面上的点应于平面上的点 ，这样表，这样表示复数的平面称为复平面或示复数的平面称为复平面或 平面。平面。其中其中 轴称为实轴，轴称为实轴， 轴称为虚轴称为虚轴。轴。iyxz),(yx),(yxzxy 向量向量 的长度称为复数的长度称为复数 的模或绝对值，即：的模或绝对值，即：oziyxz22|yxzr模的模的性质性质|,|,|yxzzyzx|2121zzzz|2121zzzz（1）（2）（3）（4）点点 与点与点 的距

3、离为的距离为1z2z2212212121)()(|),(yyxxzzzzd 实轴正向到非零复数实轴正向到非零复数所对应的向量所对应的向量间的夹角间的夹角满足满足称为复数称为复数 的辐角，记为：的辐角，记为：iyxzozxytanzzarg 任一非零复数有穷多个辐角。任一非零复数有穷多个辐角。 以以表其中的一个特定值，并称表其中的一个特定值，并称合条件合条件的一个为的一个为的主值，或称之为的主值，或称之为的主辐角。有下述关系：的主辐角。有下述关系：zargzargzargz, 2, 1, 02argkkzzarg 代数形式：代数形式： 三角形式：三角形式： 指数形式：指数形式：iyxz)sin(

4、cosirzzarg| zr irez 6复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根)sin(cosninrerzninnn1, 2 , 1 , 02nkerznkinn1.2.1复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念1.2.2区域区域与约当与约当(jordan)曲线曲线1.2.3 典型例题1.2.4小结与思考小结与思考定义定义1.1邻域邻域:. :)( ,的的邻邻域域内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的圆圆为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以000zzzz 记作记作:n (z0)n (z0)=z |z-z0| .0 00的的去去心心邻邻域域确确定定的的点点的的集集

5、合合为为所所称称由由不不等等式式zzz 记作：记作：n 0(z0)=z |0|z-z0|0:n (z0)e=z0z0为为e的外点的外点 0:n (z0)e= 定义定义1.3内点内点:. , , . ,000的的内内点点称称为为那那末末于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设ezezeze如果如果e 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末e 称称为开集为开集. .如果在如果在z0的任意一个邻域内的任意一个邻域内,都有都有属于属于e 的点的点,也有也有不属于不属于e的点的点,则称则称z0为为

6、e的边界的边界点。点。z0为为e的内点的内点 0:n (z0)e点集点集e e的全体边界组成的集合称为的全体边界组成的集合称为e e的边的边界界. .记为：记为： e e定义定义1.4有界集和无界集有界集和无界集:. , ,0, ,否否则则称称为为无无界界的的称称为为有有界界的的那那末末足足使使区区域域的的每每一一个个点点都都满满即即存存在在心心的的圆圆里里面面点点为为中中可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个emzme 点集z zxy有界！有界！o定义定义1.5区域区域:如果平面点集如果平面点集d满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称它为一个区域它为一个区域. .(

7、1)d是一个是一个开集开集；(2)d是是连通的连通的, ,就是说就是说d中中任何任何两点都可以用完全属于两点都可以用完全属于d的的一一条折线连结起来条折线连结起来.d加上加上d的边界称为闭域。记为的边界称为闭域。记为 dd+ dz1z2d说明说明(2)区域的边界可能是区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的.z 1c2c3cz 1c2c3c(1)区域都是开的区域都是开的.以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域p 边界点边界点边界边界不包含边界！不包含边界！(1)圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练

8、习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2)上半平面上半平面:; 0im z(3)角形域角形域:;arg0 z(4)带形域带形域:.imbza 答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.xyo定义定义1.7连续曲线连续曲线:. ,)(),( , )(, )( )(称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果 ttyytxxtytx平面曲线平面曲线c的复数表示的复数表示:)().()()( ttiytxtzzc的实参数方程的实参数方程c的的复复参数方程参数方程起点起点z( )c终点终点z( )zx

9、ycc的正向：起点的正向：起点终点终点o. )( , )()( , ,121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足ctztztztttttt 没有重点的曲线没有重点的曲线c 称为称为简单曲线简单曲线( (或若尔当曲线或若尔当曲线).).重点重点重点重点重点重点. , )( )(,为为简简单单闭闭曲曲线线那那末末称称即即的的起起点点和和终终点点重重合合如如果果简简单单曲曲线线czzc 换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质约当定理约当定理 任意一条简单闭曲任意一条简单闭曲线线 c c 将复平面唯一地分

10、将复平面唯一地分成成c c, ,i i( (c c), ),e e( (c c) ) 三个互不相三个互不相交的点集交的点集. .满足：满足：xyoi(c)e(c)边界边界（1）i i( (c c) ) 是一个有界区域是一个有界区域（称为（称为c c的内部）的内部）. .（2）e e( (c c) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为c c的外部）的外部）. .（3）若简单折线）若简单折线p的一个断点属于的一个断点属于i(c)，另一个，另一个端点属于端点属于e(c) ，则，则p必与必与c相交相交. .（4）c是是i(c)，e(c) 的公共边界的公共边界. .2.光滑曲线光滑曲线:.0,

11、)( )( , , )( )( ,22称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxttytxt 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. .xyoxyo特特点点（1）光滑曲线上的各点都有切线）光滑曲线上的各点都有切线（2）光滑曲线可以求长）光滑曲线可以求长课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(b

12、z )(az)(bz 4.单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域复平面上的一个区域b,如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于b,就称为就称为单连通域单连通域.一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域,就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域例例1 1指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)re()1(2 zzzzzzz解

13、解 , )1(时时当当iyxz ,)re(222yxz , 11)re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).3arg)2( z,3arg33arg zz是是角形域角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3( z,3131 zz,31 ,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通域无界的多连通域.411)4( zz表示到表示到1,1的距离之的距离之和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹,是是椭圆椭圆,411 zz,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.111)5( zz,sincos irrz 令

14、令 111zz边界边界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或, )(2cos22也称双纽线也称双纽线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其内部是其内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.例例2 2解解满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?, 3im)1( z是是一条平行于实轴的直线一条平行于实轴的直线,-3-2-1123x123456y不是区域不是区域., 2re)2( z),

15、 2re( 2re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域单连通域., 210)3( iz,2 , )1(的去心圆盘的去心圆盘为半径为半径为圆心为圆心以以i 是是多连通域多连通域.,4)arg()4( iz), (1 , ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以不是区域不是区域.,4arg0)5( iziz ,时时当当iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx, 0)1(22 yx因为因为 , 12, 01, 022222yxxyx

16、x于是于是 . 2)1(, 1, 02222yxyxx, 2)1( 22集集部且属于左半平面的点部且属于左半平面的点的外的外表示在圆表示在圆 yx单连通域单连通域.应理解区域的有关概念应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域理解单连通域与多连通域.放映结束，按放映结束，按escesc退出退出. .1.3.2 复变函数的概念1.3.2 复变函数的极限与连续1.3.3 小结与思考称为为函数值对应的与上的定义义wzzefivuwzeffiyxze),( , , ,

17、, .复复变变数数简简称称复复变变函函数数的的函函数数复复变变数数是是那那末末称称之之对对应应与与就就有有一一个个或或几几个个复复数数的的每每一一个个复复数数中中对对于于集集合合按按这这个个法法则则存存在在确确定定的的法法则则如如果果有有一一个个的的集集合合是是一一个个复复数数设设 1.复变函数的定义复变函数的定义:).(zfw 记作记作2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义:. )( ,是单值的是单值的我们称函数我们称函数那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz. )( ,是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值两个以上两个以上的一个值对应着两个或的

18、一个值对应着两个或如果如果zfwz3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合: ; )( )(定定义义域域的的定定义义集集合合称称为为集集合合zfe.( , )(值域）称为函数值集合称为函数值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于efwze()| , ( )f ewze f zw 4.复变函数与自变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系:例如例如, , ,2zw 函数函数,ivuwiyxz 令令2)(iyxivu 则则,222xyiyx :2数数对对应应于于两两个个二二元元实实变变函函于于是是函函数数zw ,22yxu .2xyv :)(相当于两个关系式相当于两个关

19、系式之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(yxvvyxuu .的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx( )( , )( , ),wf zu x yiv x y若令若令z=rei ,则则w=f(z)=u(r, )+i v(r, )222222222cossincossiniz rewzrrurvr 1.函数极限的定义函数极限的定义:. )()(,)0(0 )( , 0, ,0 )(0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称有有时时使得当使得当相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的存

20、在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfaazfzzazzzzfw )( .)(lim00azfazfzzzz 或或记作记作注意注意: :.0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 一一.函数极限函数极限:2.极限计算的性质极限计算的性质定理定理1.2.),(lim,),(lim)(lim, ,),(),()(000000000000vyxvuyxuazfiyxzivuayxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设证证 ,)(lim0azfzz 如果如果根据极限的定义根据极限的定义,)()(0 00时时

21、当当 iyxiyx,)()(00 ivuivu(1)必要性必要性.,)()(02020时时或当或当 yyxx,)()(00 vviuu,00 vvuu.),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若,)()(02020时时那么当那么当 yyxx(2)充分性充分性.,2,200 vvuu有有)()()(00vviuuazf 00vvuu ,00时时故当故当 zz,)( azf .)(lim0azfzz 所以所以证毕证毕说明说明. ),( ),( ,),(),()(的的极极限限问问题题和和函

22、函数数转转化化为为求求两两个个二二元元实实变变的的极极限限问问题题该该定定理理将将求求复复变变函函数数yxvyxuyxivyxuzf 定理定理).0()()(lim(3);)()(lim(2);)()(lim(1) ,)(lim ,)(lim00000 bbazgzfabzgzfbazgzfbzgazfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限性质类似与实变函数的极限性质类似.惟一性惟一性复合运算等复合运算等1.连续的定义连续的定义:000lim( )def1.17, ( )().zzf zf zf zz 如如果果那那末末我我们们就就说说在在处处连连续续连续的连续的三要素三要素:000(

23、 )| 0| ( )()|0 ze |f(z)|m （2） |f(z)|在e上有最值. 即： z1, z2e ze |f(z)|f(z2)| （3） f(z)在e上一致连续.即0, 0 当z1, z2e且|z1- z2| 有|f(z1)-f(z2)|department of mathematics1 复球面2 扩充复球面上的几个概念第四节第四节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点1.南极、北极的定义南极、北极的定义, 0的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z ,与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 s ,ns点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的

24、作垂直于复平面的通过通过. ,为南极为南极为北极为北极我们称我们称snxypnos球面上的点球面上的点,除去北极除去北极n 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应对应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义复球面的定义我们规定我们规定:复数中有一复数中有一个唯一的个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的无穷与复平面上的无穷远点相对应远点相对应,记作记作.因而球面上的北极因而球面上的北极n就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.xypnos3.扩充复平面的定