一,对坐标的曲面积分的概念与性质

1、一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系105 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分有向曲面、流向曲面一侧的流量对坐标的曲面积分的定义、 对坐标的曲面积分的性质计算公式一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面： 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n cosa , cosb , cosg的方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，xyzo 在曲面的上侧cosg 0，)g 一、对坐标的曲面积

2、分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面： 通常我们遇到的曲面都是双侧的曲面的方向可以用曲面上的单位法向量n cosa , cosb , cosg的方向来确定 例如由方程zz(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧，xyzo 在曲面的上侧cosg 0， 在曲面的下侧cosg 0，在曲面的下侧cosg 0，在曲面的左侧cosb 0，在曲面的后侧cosa 0流向曲面一侧的流量： 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x, y, z) p(x, y, z) , q(x, y, z) , r(x, y, z)给出，s是速度场中的一片有向曲面，函数p(x, y, z)、 q(x, y, z)、

3、 r(x, y, z)都在s上连续，求在单位时间内流向s指定侧的流体的体积，即流量mxyzov(x, y, z)s 显然在t时间内流过s 的是一个弯曲的柱体流向曲面一侧的流量： 对于s上的一个小块s， 它的体积近似于以s为底，而高为 (|v|t)cos(v,n)vn t的柱体的体积：vn t s ，这里n cosa , cosb , cosg是s上的单位法向量，s表示s的面积xyzov(x, y, z)sns 显然在t时间内流过s 的是一个弯曲的柱体流向曲面一侧的流量： 对于s上的一个小块s， 它的体积近似于以s为底，而高为 (|v|t)cos(v,n)vn t的柱体的体积：vn t s ，这

4、里n cosa , cosb , cosg是s上的单位法向量，s表示s的面积 所以单位时间内流向s 指定侧的流体的流量近似于v n s p(x, y, z)cosa q(x, y, z)cosb r(x, y, z)cosg s 流向曲面一侧的流量： 对于s上的一个小块s，单位时间内流向s 指定侧的流体的流量近似于v n s p(x, y, z)cosa q(x, y, z)cosb r(x, y, z)cosg s msp(x, y, z)cosa q(x, y, z)cosb r(x, y, z)cosg dssv n ds 舍去流体这个具体的物理内容，我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概

5、念按对面积的曲面积分的定义，在单位时间内流向s指定侧的流量对坐标的曲面积分的定义： 设s是空间内一个光滑的曲面，n cosa , cosb , cosg是其上的单位法向量，v(x, y, z) p(x, y, z) , q(x, y, z) , r(x, y, z)是确定在s上的向量场如果下列各式右端的积分存在，我们定义sdydzzyxp),(s p(x, y, z)cosa ds，sdzdxzyxq),(s q(x, y, z)cosb ds，sdxdyzyxr),(s r(x, y, z)cosg ds并分别称为p在曲面s上对坐标y、z的曲面积分， q在曲面s上对坐标z、x的曲面积分，r

6、在曲面s上对坐标y、z的曲面积分其中p、q、r叫做被积函数，s叫做积分曲面 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分三个对坐标的曲面积分之和的简记形式： 根据对坐标的曲面积分的定义，通过s流向指定侧的流量m可表示为 如果s是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在s上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分：sdydzzyxp),(sdzdxzyxq),(sdxdyzyxr),(sp(x, y, z) dydzq(x, y, z) dzdxr(x, y, z) dxdy msp(x, y, z)cosa q(x, y, z)cosb r(x, y,

7、z)cosg dssp(x, y, z) dydzq(x, y, z) dzdxr(x, y, z) dxdy对坐标的曲面积分的性质： 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的些性质例如： (1)如果把s分成s 1和s2，则 (2)设s是有向曲面，s表示与s取相反侧的有向曲面，则spdydzqdzdxr dxdy这是因为如果n cosa , cosb , cosg是s的单位法向量，则s上的单位法向量是n cosa , cosb , cosgspdydzqdzdxr dxdy spdydzqdzdxr dxdys1pdydzqdzdxr dxdys2pdydzqdzdxr dxdy二、对坐标

8、的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面s由方程zz(x, y)给出，s在xoy面上的投影区域为dxy，函数zz(x, y)在dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数r(x, y, z)在s上连续，则有其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积分前带负号sdxdyzyxr),(xyddxdyyxzyxr),(, 这是因为n cosa , cosb , cosg2211yxzz zx , zy , 1，二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面s由方程zz(x, y)给出，s在xoy面上的投影区域为dxy，函数zz(x, y)在dxy上具有一

9、阶连续偏导数，被积函数r(x, y, z)在s上连续，则有其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积分前带负号sdxdyzyxr),(xyddxdyyxzyxr),(,cosg 2211yxzz ， 这是因为ds221yxzz dxdy，(x, y, z)cosg dsxyddxdyyxzyxr),(,sdxdyzyxr),(s r(x, y, z)cosg ds二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面s由方程zz(x, y)给出，s在xoy面上的投影区域为dxy，函数zz(x, y)在dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数r(x, y, z)在s上连续

10、，则有其中如果取曲面的上侧则积分前带正号，如果取曲面的下侧则积分前带负号 类似地，如果s由xx(y, z)给出，则有 如果s由yy(z, x)给出，则有问：如何确定积分前的符号？sdxdyzyxr),(xyddxdyyxzyxr),(,sdzdxzyxq),(zxddzdxzxzyxq),(,sdydzzyxp),(yzddydzzyzyxp,),(w的整个表面的外侧，w(x, y, z) |0 xa，0yb，0zc 解 把有向曲面s分成以下六部分：s1：zc (0 xa, 0yb)的上侧；s2：z0 (0 xa, 0yb)的下侧；s3：xa (0yb, 0zc)的前侧；s4：x0 (0yb,

11、 0zc)的后侧；s5：yb (0 xa, 0zc)的右侧；s6：y0 (0 xa, 0zc)的左侧 除s3、s4外，其余四片曲面在yo z 面上的投影为零，因此sx2dydzs3x2dydzs4x2dydzdydzayzd2dydzyzd0a 2bcabxyzoc 例 1 计算曲面积分sx2dydzy2dzdxz2dxdy，其中s是长方体 例1 w的整个表面的外侧，w(x, y, z) |0 xa，0yb，0zc 解 把有向曲面s分成以下六部分：s1：zc (0 xa, 0yb)的上侧；s2：z0 (0 xa, 0yb)的下侧；s3：xa (0yb, 0zc)的前侧；s4：x0 (0yb,

12、0zc)的后侧；s5：yb (0 xa, 0zc)的右侧；s6：y0 (0 xa, 0zc)的左侧 除s3、s4外，其余四片曲面在yo z 面上的投影为零，因此sx2dydzs3x2dydzs4x2dydz类似地可得s y2dzdxb 2ac，s z2dxdyc 2ab于是所求曲面积分为(abc)abcdydzayzd2dydzyzd0a 2bc 例 1 计算曲面积分sx2dydzy2dzdxz2dxdy，其中s是长方体 例1 在x0，y0的部分 例 2 计算曲面积分sxyzdxdy，其中s是球面 x2y2z21 外侧 解 把有向曲面s分成以下两部分：s1和s2在xoy面上的投影区域都是 d

13、x y ：x2y21(x0, y0)xyzos2s1 s1：z221yx (x0, y0)的上侧 s2：z221yx (x0, y0)的下侧；在x0，y0的部分 例 2 计算曲面积分sxyzdxdy，其中s是球面 x2y2z21 外侧 解 把有向曲面s分成以下两部分：于是sxyzdxdyxyddxdyyxxy221xyddxdyyxxy)1(22xyddxdyyxxy22122010221cossin2rdrrrd152152sxyzdxdyxyddxdyyxxy221xyddxdyyxxy)1(22xyddxdyyxxy22122010221cossin2rdrrrd152s1和s2在xoy

14、面上的投影区域都是 d x y ：x2y21(x0, y0) s1：z221yx (x0, y0)的上侧 s2：z221yx (x0, y0)的下侧；sxyzdxdyxyddxdyyxxy221xyddxdyyxxy)1(22三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系 由对坐标的曲面积分的定义，有sp(x, y, z) dydzq(x, y, z) dzdxr(x, y, z) dxdysp(x, y, z)cosa q(x, y, z)cosb r(x, y, z)cosg dssv n ds 例 3 计算s(z2x) dydzz dxdy，其中s是曲面 z21(x2y2)介于平面z0及z2之间的部分的下侧 解 由两类曲面积分之间的关系，可得n cosa , cosb , cosg2211yx x, y , 1，在曲面s上s(z2x) dydz s(z2 x)cosa ds (z2 x)cosa ds dxdyxzgacoscos)(2s 例 3 计算s(z2x) dydzz dxdy，其中s是曲面 z21(x2y2)介于平面z0及z2之间的部分的下侧 解 由