高中数学课件方程的根与函数的零点

1、fanfan花拉子米花拉子米( (约约780780约约850)850)给出了一次方程和二次方给出了一次方程和二次方程的一般解法。程的一般解法。 阿贝尔阿贝尔(1802(18021829)1829)证明了五次以上一般证明了五次以上一般方程没有求根公式。方程没有求根公式。 方程解法史话方程解法史话: :fan(1)y=x2-2x-3与与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与与x2-2x+3=0引申引申: :二次函数二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与的图象与x轴交点轴交点和相应一元二次方程和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的

2、根有何关的根有何关系系? ?结论结论: : 二次函数图象与二次函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。就是相应方程的实数根。问题问题1 1：下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x轴交点和相应方轴交点和相应方程的根有何关系？程的根有何关系？问题情境问题情境: :fan 方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的方程的实数根实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x2-2x-3=0 xy01321121234.xy0132112543

3、.yx012112y= x2-2x+3函数的图函数的图象与象与x轴轴的交点的交点fan方程方程ax2+bx+c=0 (a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相有两个相等的实数等的实数根根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相两个不相等的实数等的实数根根x1 、x2fan函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标就是方程就是方程f(x)=0的实数根。的实数根。推广：推

4、广：函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴交点和相应的方程轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？的根有何关系呢？结论：结论：函数零点的定义：函数零点的定义： 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做叫做函数函数y=f(x)的零点。的零点。零点是一个点吗?注意：注意：零点指的是一个实数零点指的是一个实数方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点等价关系：等价关系：fan练习练习2、求函数求函数y=x2-5x+1的零点。的零点。变式：变式：判断函数判断函数y=x3-5x+1

5、是否有零点。是否有零点。练习练习1、利用函数图象判断下列方程有没有根，利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根。有几个根。练一练练一练: :（1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3） x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.fan解：令解：令f(x)=x23x5, 作出函数作出函数f(x)的图象，如下：的图象，如下：.xy01321486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有有两个不两个不相等的实数根相等的实数根。1(1) x23x50fan解：解：2x(x2)3可化为可化为2x24x30，令令f(x)= 2x24x3 , 作出作出函数函数

6、的图象的图象,如下：如下：xy0132112543. 它与它与x轴没有交点，所轴没有交点，所以方程以方程2x(x2)3无实无实数根数根。1(2) 2x(x2)3fan解：解：x2 4x4可化为可化为x24x40，令令f(x)= x24x4，作出，作出函数函数f(x)的图象，如下：的图象，如下：. 它与它与x轴只有一个交轴只有一个交点，所以方程点，所以方程x2 4x4有有两个相等的实数根两个相等的实数根。xy0132112543641(3) x2 4x4fan解：解：5x2 +2x3x2 +5可化为可化为2x2 2x50，令令f(x)=2x22x5 , 作出函作出函数数f(x)的图象，如下：的图

7、象，如下：xy013211213343654422. 它与它与x轴有两个交点，所轴有两个交点，所以方程以方程5x2 +2x3x2 +5有有两两个不相等的实数根个不相等的实数根。1(4) 5 x2 2x3 x2 5fan0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy探究新知探究新知: : 观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，如右图，我们发现函的图象，如右图，我们发现函数数f(x)=x2-2x-3在区间在区间-2，1 上有零点。计算上有零点。计算f(-2)和和f(1)的的乘积，你能发现这个乘积有什乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间么特点？在区间 2,42,4 上是

8、否上是否也具有这种特点呢？也具有这种特点呢？fan 函数函数y=f(x)在区间在区间 a,b 上图象是连续不断上图象是连续不断的一条曲线的一条曲线, ,并且有并且有f(a)f(b)0, ,那么那么, ,函数函数y=f(x)在区间在区间( (a,b) )内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b) )，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。 归纳：归纳：探究新知探究新知: :abababab例：例：fan练习练习3、函数函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点在下列哪个区间有零点( )( ) a.(-2，-1) b.(0，1) c.(1，2) d.

9、(2，3) 练习练习4、求证：方程求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间的一个根在区间(-1,0)(-1,0)内，另一个根在区间内，另一个根在区间(1,2)(1,2)内。内。练一练练一练: :总结：总结：函数函数y=f(x)在区间在区间 a,b 上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线：断的一条曲线：（1 1）f(a)f(b)0，则函数零点可能存在，也可，则函数零点可能存在，也可能不存在。能不存在。fan例例: :例题分析例题分析: :结论：结论：如果加入条件函数在区间如果加入条件函数在区间 a,b 上单调，上单调，则存在零点，且只有一个。则存在零点，且只有一个。1412108642-2-4-6-551015fan 研究研究 的相互的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试以一种系统的、简洁的方