可降阶的高阶微分方程59295

1、首页上页返回下页结束解高阶方程的降阶法解高阶方程的降阶法1. y(n) = f (x) 型型2. y = f (x, y) 型型3. y = f (y, y) 型型首页上页返回下页结束解法：解法：特点：特点：.,)1( nyyy及及不不显显含含次次。连连续续积积分分 n)()()1()(xfyynn 1. y(n) = f (x) 型型 1)1()(cdxxfyn 21)2()(cdxcdxxfynncdxdxcdxcdxxfy )(21首页上页返回下页结束例例1的通解。的通解。求求 cos 2xeyx 解解1cdxyy 12)cos(cdxxex12sin21cxex 2cdxyy 212)

2、sin21(cdxcxex212cos41cxcxex 3cdxyy 3212)cos41(cdxcxcxex32212sin81cxcxcxex 首页上页返回下页结束解法：解法：特点：特点：. y不不显显含含因因变变量量。，降降阶阶为为：因因变变量量换换元元),( pxfpyp ),;( 1cxp 若若得得解解2. y = f (x,y) 型型),;( 1cxy 则则2121);(),;( cdxcxccxy 则则注注: y (n)= f (x, y (k), y (n-1) 型型，：因因变变量量换换元元)( kyp 。降降阶阶为为),( )1()( knknppxfp首页上页返回下页结束例

3、例2 2的的特特解解。、的的满满足足求求 3 1 2)1( 002 xxyyyxyx解解. y缺缺,2)1( 2xppxyp ，降降阶阶为为令令pxxp212 改改写写为为 dxxxecp2121 )1(21xc )1(21xcy ),;(21ccxy.)31(231cxxc 由由初初始始条条件件，得得可可分分离离变变量量，()齐次线性齐次线性，1321 cc.13)(3 xxxy首页上页返回下页结束：做做因因变变量量及及自自变变量量换换元元, dxdyp 新新因因变变量量原原方方程程降降阶阶为为若得其解为若得其解为原方程通解为原方程通解为.);(21cxcydy 特点：特点：. x不不显显含

4、含自自变变量量解法：解法：),;(1cyp 3. y = f (y,y) 型型)(dxdydxdy 则则, y新新自自变变量量dxdydydp ,dydpp ),(pyfdydpp 则则),;(1cydxdy 首页上页返回下页结束.02的通解的通解求求 yyy解解,dydppy 则则不不显显含含自自变变量量。原方程化为原方程化为 , 02 pdydppy, 0)( pdydpyp即即0 pdydpy由由.12xcecy 原方程通解为原方程通解为ycdxdy1 例例3 3为为自自变变量量，为为因因变变量量，取取 yyp 0 pdydpy即即. 0 p或或.1ycp 解解得得（可分离变量，（可分离

5、变量，齐次线性）齐次线性）首页上页返回下页结束.012的通解的通解求求 yy解解,dydppy 则则不不显显含含自自变变量量。原方程降阶为原方程降阶为 , 012 pdydppdydppp 12例例4为为自自变变量量，为为因因变变量量，取取 yyp （可可分分离离变变量量，,) 1ln(2112cyp ）（难难 ! ! !）bernoulli首页上页返回下页结束.012的通解的通解求求 yy例例4另解另解不不显显含含因因变变量量。原方程降阶为原方程降阶为 012 pdxdpdxpdp 12为因变量，为因变量，取取 yp （可可分分离离变变量量）1arctancxp )tan(1cxpy 21)

6、tan(cdxcxy 21| )cos(|lnccx 首页上页返回下页结束小结小结高阶微分方程的基本解法高阶微分方程的基本解法1、 y(n) = f (x) 型：型：2、 y = f (x,y) 型：型：因变量换元；因变量换元；3、 y = f (y,y) 型：型：通过代换降低阶数。通过代换降低阶数。因变量及自变量换元。因变量及自变量换元。连续积分连续积分n次；次；首页上页返回下页结束思考题思考题 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.首页上页返回下页结束思

7、考题解答思考题解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xcecx 122231yycyycy 首页上页返回下页结束一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(m且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 . .练练 习习 题题首页上页返回下页结束练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123cxcxcexeyxx ； 2 2、21)c