2021年中考数学一轮复习训练27涉及圆的证明与计算问题(解析版)

1、专题27涉及圆的证明与计算问题专題知礁概述圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证 明与讣算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。一、与圆有关的概念1. 圆：平面上到定点的距离等于左长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半 径或直径决泄圆的大小，圆心决泄圆的位置。2. 圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。3. 圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫 做三角形的外心。外

2、心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。5. 若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。6和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角 平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。二、与圆有关的规律1. 圆的性质：（1）圆具有旋转不变性：（2）圆具有轴对称性：（3）圆具有中心对称性。2. 垂径左理：垂直于弦的宜径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧4. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心

3、距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也 相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦 心距也相等。5. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.6. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.7. 圆内接四边形的特征 圆内接四边形的对角互补； 圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系1点和圆的位置关系 点在圆内O点到圆心的距离小于半径 点在圆上O点到圆心的距离等于半径 点在圆外O点到圆心的距

4、离大于半径2. 直线与圆有3种位宜关系如果OO的半径为r,圆心0到直线/的距离为d,那么 直线/和OO相交OdV厂： 直线/和OO相切Od =广： 直线/和00相离Od > F。3. 圆与圆的位置关系 设圆q的半径为斤，圆的半径为两个圆的圆心距dop1.则:两圆外离 >ri+r2两圆外切Od =斤+d；两圆相交<>-<r<+r2;两圆内切O=比一巧I；两圆内含<=>J<l-7l 四、切线的规律1. 切线的性质（1）经过切点垂直于这条半径的宜线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。2. 切线

5、的判左方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3. 切线长立理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。四、求解圆的周长和面积的公式设圆的周长为r,贝Ih1. 求圆的直径公式d=2r2. 求圆的周长公式C二2 nr3. 求圆的而积公式S=r=五、解题要领1. 判泄切线的方法（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化：平行转化：直径转化：中线转化等：有时可通过计算结合相似、勾股泄理证垂直：（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线泄理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线：总而言之，要完成两个层次的证明：

6、 直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）； 直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此 及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2. 与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径左理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复 杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借 助圆的相关左理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解 决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：构建矩形转化线段：构建“射影左理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求

7、其它 所有线段长）；构造垂径左理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股左理模型：构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现苴中的相等关系建立方程， 解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基 本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3. 攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑类型1图形：（1）如图1,M是OO的直径，点& Q是O0上的两点.基本结论有：在“川7平分ZBAE” ； tiADLCD" : “是的切线”三个论断中，知二推一。

8、(2) 如图2、3,力等于弓形応的髙：的弦心距0尸(或弓形血的半弦厅)o(3) 如图(4):若CKLAB于K则: CK二CD； BK二DE； CK=-BE=DCX AErAB=BK=AD2 ADC ACB>AC =ADAB(4) 在中的条件、中任选两个条件，当丄切于尸时(如图5),则:Q)DE二GB；DC=CG;肋*BG二AB；ADG=-DG在“万0平分ZCBA99 ; aBO/DE" “曲是C)Q的切线” ;iiBD=BC"。四个论断中，知一推三。=DC类型2图形：如图：RtAABC中，90°。点0是M上一点，以&'为半径作00交M于点伐基

9、本结论有：(1) DE切O<=>E是證的中点：(2) 若 DE切O0,贝J:QL)DE=BE=CEX D、0、B、疋四点共圆二>ZCED=2ZA CD CA二4BF, DE cD _ BCR BD BA图形特殊化：在(1)的条件下如图：DE/ABO ABC. CDE是等腰直角三角形:C如图：若加的延长线交曲的延长线于点尺 若AB=BF,则:C:®类型4图形：如图 ABC中，AB=Aa以M为直径作OQ交BC于点、D,交/1Q于点只基本结论有：(1) DESCU>DE切0Q(2) 在DEA-AC或血切00下，有： ZIZFQ是等腰Aff>:BF EF=EC；

10、刀是 的中点。与基本图形1的结论重合。连AD,产生母子三角形。类型5图形：以直角梯形月Q的直腰为直径的圆切斜腰于E，基本结论有:(1)如图1：AD+BC=CD； ZCOgZAEAg$ ；平分ZADC (或兀平分ZBCD):(注：在、及“e是Oo的切线”四个论断中，知一推三)AD BC=Lab-R;4(2) 如图2,连必；CO,则有：CO/AE. C0A2f(与基本图形2重合)(3) 如图3,若EFLAB于尸，交胚于G贝J: EUFG.类型6图形：如图：直线PRjOo的半径仞于耳 加切00于0, BQ交直线加于爪基本结论有：(1) PQ=PR PQR是等腰三角形)：(2) 在 “PRLOB&qu

11、ot; > “F0切00" X "PQ=PF 中，知二推一(3 ) 2PR RE二BR RQ=BE 2R二类型7图形：如图，ZI磁内接于O0, Z为/!證的内心。基本结论有:(1)如图 1, ®BD=CD=IDX Df =DE DA：ZA妙90° + 丄 ZACB;1(2)如图 2,若ZBA(60c ,贝Ih BDKE=BC.A类型8图形：已知，曲是O0的直径，C是B（J中点,CD丄 AB 于 D° BG 交 CD、AC于E、F。基本结论有:(I) WBE=EF=CE'' GDE（反之，由CD=BG或庞羽可得：CQ中点）2

12、(2)OE= 2 AF' OE/AC' AODEs AAGF(3) BE BG二BD BABC=CG=AG（4）若Q是血的中点，则：）CEF是等边三角形；例题解析与对点练习【例题1】（2020武汉）如图，在半径为3的00中，M是直径，M是弦，。是农的中点，AC与BD交于 点、E.若疋是加的中点，则EC的长是（）OA. 3B 33C. 32D 42【答案】D【解析】连接勿，交月C于尸，根据垂径肚理得岀血丄HG AF=CF.进而证得归应；根据三角形中位线左理求得竝尸，从而求得BC=DF=2、利用勾股龙理即可求得月C连接血交AC于F,TQ是盘的中点， ODLAa AF=CF. :乙D

13、FE=9Y ,9： OA = OB. AF=CF. ：. OF= ,是直径，A ZACB= 90c ,在旳和购中NDFE = ZACB = 90 °ZDEF = ZBECDE= BE： HEFgHECBJ AAS' ,ADF=BG：.OF= dF.VOD= 3. :.0F=：.BC=2, 在 RtAABC中，AC=AB -EC ：.Ae= VaB2-BC2 = 62 - 22 =42>DE【对点练习】（2019山东省聊城市）如图，庞是半圆O的直径，D、5BCh两点，连接恥 d并延长交于点儿 连接血OE.如果ZJ=70o ,那么乙DoE的度数为（）CA. 35°

14、B. 38°C. 40°D. 42°【答案】C.【解析】考点是圆周角宦理、直角三角形的性质。连接Q，由圆周角左理得出Z磁=90° ,求出AACD=90° - ZJ=20o ,再由圆周角泄理得出ZDoE=2ZACD=40°即可，连接G如图所示：I證是半圆 0的直径，：.ZBDC= 9Qc , ZJPc= 90° ,：.ZACD=9Qa - Zl=20o , :乙D0E=2乙ACD=Wi【例题2】（2020牡丹江）M是QO的弦，OMVAB.垂足为M连接加 若ZM"中有一个角是30° , OM=23,则弦M的长

15、为【答案】12或4【解析】分Zall=30o , Z加片30° ,两种情况分别利用正切的定义求解即可.V OMLAB,：.AM=B若Z6KJ=30o ,2vr3 _ V*3AM 3ZOMtan Z CMtf= AMAV=6t.9.AB=2Alf=12若ZA0)f=3Qt ,则 tanZM0 霧=：.AM=2,：.AB= 24.【对点练习】（2019安徽）如图，丽Q内接于OQ Za5=30o , Z為=45° G?丄月万于点D若O0的半径为2,则Q的长为【答案】5【解析】本题考査了三角形的外接圆与外心，圆周角宦理，等腰宜角三角形的性质，正确的作出辅助线是解 题的关键.连接并延

16、长交00于E连接宓于是得到ZE=ZQ30° , EBC=W ,解直角三角形即可得到结论.连接W并延长交00于E连接眩则Z=Zl=30o , ZEBC=90',V（9的半径为 2, d=4, ：.BC=丄年=2,2E【例题3】（2020贵州黔西南）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平而图形中最美的是圆” 请研究 如下美丽的圆.如图，线段AB是G）O的直径，延长AB至点C,使BC=OB.点E是线段OB的中点，DE丄AB 交OO于点D,点P是0 ±一动点（不与点A, B重合），连接CD, PE, PC.（1）求证：CD是Oo的切线;（2）小明在研究的过程中发现疋是一个确定

17、的值.回答这个确泄的值是多少？并对小明发现的结论加以证明.【答案】（1）见解析：（2） 解析【解析】本题考査了切线的判定与性质及相似三角形的判泄与性质.（1）连接OD, DB,由已知可得DE垂 直平分0B,于是DB=DO,而OB=OD所以DB=DO=0B,即AODB是等边三角形，于是ZBDO=60° ,再由 等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得ZCDB=30° ,从而可得ZoDC=90° ,所以0D±CD,所以CD是 00的切线：（2）连接0P,由已知条件得OP=OB=BC=20E,再利用“两组边成比例，夹角相等”证明厶 OEPSZkOPC,最后由相似

18、三角形的对应边成比例得到结论.【详解】解：（1）如答图，连接0D, DB, V点E是线段OB的中点，DE丄AB交OO于点D, ADE垂直平分 OB, DB=DO. VDO=OB, ADB=DO=0B, 0DB 是等边三角形, ZBDO= ZDBO=60° TBC=OB=BD, 且ZDBE 为ABDC 的外角， ZBCD= ZBDC= ZDBO. V ZDBO=60o , ZCDB=30o . /.ZODC=ZBDO + ZBDC=60° +30° =90° , °.0D丄CD, .°.CD 是00 的切线；（2）这个确怎的值是?.OP

19、 OC 2OE OP 1 证明：如答图，连接 OP，VOP=OB=BC=20E, /.=,XvZCOP= ZPOE, .0EPPE OP 1疋荒【点拨】本题考査切线的判立与性质及相似三角形的判龙与性质，掌握相关性质及宦理是解题的关键【对点练习】（2019-湖北十堰）如图，朋C中,AB=AC,以WC为直径的0交庞于点Q，点疋为Q延长 线上一点，且乙CDE=LZBK.（1）求证：力是OQ的切线:(2)若 AB=3BD CE=2、求OQ的半径.【答案】见解析。【解析】本题考查了圆的切线的判宦定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解 题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形

20、.（1）如图，连接OD, AD.是直径，.ZJZV=90o ,:AD1BC.9 JAB=AC. ZCAD=ZBAD=LZBAU29 ZCDE=-ZBAC2:乙CDE=乙 CAD、9： OA=OD.：.ZCAD=ZADO.9： ZADO-ZoDC=90",:乙 ODC-ZCDE=9$:乙 0DE=9Y又.勿是00的半径.加是00的切线：(2)解：9：AB=Aa ADLBC.：.BD=CD.9JAB=ZBD.： AC=3DC、设 DC=Xy 则 AC= 3x,AD=Vac2-Dc2=2j2-y,:乙 CDE=乙 CAD. ADEC= AED.：'CDEs'DAE、DE3x

21、+2 CE JC _ DE i 2 _ X*DE =AD AE ' ' DE 22x=42, .Y-,/1 C= 3-Y= 14 90的半径为7一.选择题1. （2020宜昌）如图，E, F, G为圆上的三点，ZFEG=时,F点可能是圆心的是（）【答案】C【解析】利用圆周角宦理对各选项进行判断TZ磁=50° ,若尸点圆心，：乙FPG=2乙FEG=ZX 2. （2020*营口）如图，曲为OO的直径，点C,点、D是O0上的两点，连接Gl, CD, AD.若ZCAB=AQO ,则/宓的度数是（）A. IlOoB. 130°C. 140°D. 160

22、76;【答案】B【解析】连接BC,如图，利用圆周角宦理得到ZACB=90。,则Z万=50° ,然后利用圆的内接四边形的性 质求Z宓的度数.如图，连接SGT朋为。的直径， ZACff= 90° ,.Z5=90c - ZCAB=9Qo -40° =50° ,9： ZZADC=ISQO ,：.ZADC=ISoii - 50° =130° 3. （2020荆门）如图，00中，OCLAB. ZAPC= 28° ,则/磁的度数为（）CA. 14oB. 28°C. 42oD. 56°【答案】D【解析】根据垂径肚理，可得

23、疋=就，ZJPC= 283 ,根据圆周角定理，可得ABOC.T在00中，OCLAB.：.AC= BC.VZJPC= 28° ,：.ZBoC=2ZAPC=56a4. （2020临沂）如图，在Oo中，仙为直径，ZAoC=SQO .点D为弦M的中点，点M为就上任意一点.则Z的大小可能是（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】C【解析】连接、OE.设AB0E=x.则ZCoE=IO0。x、ZDOE=IQQO -XM0° ,根据等腰三角形的性质和三角形内角和左理求出Z%0和ZCEO,即可求出答案.连接OD、0E>C9:

24、OC= OA.：、OAC是等腰三角形，点Q为弦的中点，： ZDOC=40° , ZBOC=IQ0",设ZBOE=x,则Za=IOOd -> ZDOE=IoOO .r÷40c ,/OC= OE. ZCOE=IQQQ - X、:乙 OEC=ZoCE= 4$ +2/ OIXOE. ZDoE=IQQQ -*40° =140° 為:乙OED<2Y +2:乙CED=乙OEO 乙OEDA (40° + - (20° + =20° ,2 2Y Z CEDC ZABc= 40° ,20°<40&

25、#176;5. (2020内江)如图所示，点乂 B、C、。在00上，ZMC= 120° ,点BAC的中点，则ZQ的度数是( )【答案】A【解析】连接处如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到ZAOB=ZCOB=AOC= ,然后根為圆周角泄 理得到ZQ的度数.连接防，如图, 点BAC的中点， ZAOB= COB= -ZAoC= - ×120o =60° , 2 2：.ZD= AOB=30Q 6. （2020-湖州）如图，已知四边形馭7?内接于OQ ZABC=W,则ZMC的度数是（）D. 140°A. 70°B. IlO0C. 130°【答案】

26、B【解析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论.T四边形個B内接于C）Q ZABc=H , ZJZ?C=I80° ZABC=ISoa -70° =IlOO7. （2020-泰安）如图，遊是的内接三角形，AB=Ba ZBAC=30肋是直径，AD=S.则肚的长为（）A 4 B. 43 C. -r3 D 233【答案】B【分析】连接G根据等腰三角形的性质得到ZACB=ZBAC= 30° ,根据岡内接四边形的性质得到Zp=I80°Z5=60c ,求得Zcw=30° ,根据直角三角形的性质即可得到结论.【解析】连接切，9：AB=BC. Z胡C= 30

27、76; ,：.ZACB=ZBAc=30",Z5=180° -30° -30° =120° ,AZP= 180° - Z5=60o ,：.ZCAD=3Q,T初是直径， ZACD= 90c ,VJP= 8. ：. CD= -AD=2：.Ae= yjAD2 -CD2 = 82 - 42 =43,8. （2020嘉兴）如图，正三角形磁的边长为3,将/!證绕它的外心0逆时针旋转60°得到 ABC,则它们重叠部分的而积是（）A 23B-3C. -3D 342【答案】C【解析】根据重合部分是正六边形，连接0和正六边形的各个顶点，所得的三角

28、形都是全等的等边三角形, 据此即可求解.作AMBC于M如图：重合部分是正六边形，连接0和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形.V ABC是等边三角形，AMLBC.：.AB=BC=3. BSf=Cyf= BC= ZBAIf= 30",：.Ayf= f3B .2. AABC 的面积=-BC× AM= 1×3×-=,2224重叠部分的而积=：厶诚的面积=99429. （2020随州）设边长为&的等边三角形的髙、内切圆的半径、外接圆的半径分别为爪小R，则下列结论不正确的是（）A. /?=R2*B. R=trC. Z= 3D R= q43【

29、答案】C【解析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为0，根据30°角所对的直角边是斜边的一半 得：R=2r；等边三角形的高是斤与的和，根据勾股左理即可得到结论.如图，VAABC是等边三角形，磁的内切R和外接圆是同心圆，圆心为0,设 OE= r, AO=R, AD= h,.A=R+r,故 E 正确： ADlBG：.ADAC= -ZBAC=-×60o =30° ,2 2：R=2e故正确:t. OD=OE= r.9JAB=AC=BC=a.（詁）= <2r） （Ia） % （机）Y2 丁,后訂故C错误,Q正确:10(2020-凉山州)如图，等边三角形磁和

30、正方形肋疔都内接于OQ则血 AB=()D. 3: 22【答案】B【分析】连接创、OB、0D.过0作OHVAB干H,由垂径宦理得出妇砂:個 证出月是等腰直角三角 形，ZAoH=ZBoH=6V , AH=BH= -AB.得出 AD= 120A. AH= 0A.则 AB=2AH= f30A,进而得出答案.2 2【解析】连接OL OB、0D.过0作OHLAB于H,如图所示： 则 AH=BF >正方形個S和等边三角形月疔都内接于GlQ ：.ZAOB=I20" , ZAOD=90Q ,： OA=OD=OB,：.AOD是等腰直角三角形，ZAoH=ZBOH= = X20° =60&#

31、176; ,2：.AD= f2OA. AH=OA9sin60"=毀如AB=2AH=2× -OA= f3OA. AD _ >2OA _ 2 '9 AB r3OA f二、填空题11（2020黑龙江）如图，EQ是磁的外接圆00的直径，若ZBCA=50Q,则 ZADB=【答案】50.【解析】根据圆周角宦理即可得到结论. AD是磁的外接鬪 0的直径，点儿B、G D在O0上,V Z5C4=50a ,：.ZADB=ZBCA= 5Qa12. （2020无锡）已知圆锥的底而半径为cm,高为3c,则它的侧而展开图的而积为=enf.【答案】2.【解析】先利用勾股定理求出圆锥的母线2

32、的长,再利用圆锥的侧面积公式:Sti= "2计算即可.根据题意可知，圆锥的底而半径2=ls,高A= ea1,圆锥的耳线2= Jr2+ /=2,.*.Sw= rl= × 1×2=2 CCnI）13. （2020湖州）如图，已知/15是半圆0的直径，弦G?月氏CD=S, AB=IQ9则加与 朋之间的距离是AoB【答案】3.【分析】过点0作旳丄Q于&连接如图，根据垂径泄理得到CH=DH= 4,再利用勾股定理计算岀旳=3,从而得到G?与月万之间的距离.【解析】过点。作OHLCD于，连接比，如图，则CH=DH=；CW在 RgOCH中，OH= 52 - 42 =3,所

33、以G?与M之间的距离是3.A ,'i14. （2020*枣庄）如图，曲是C）O的直径，QI切00于点线段刊交C）O于点C.连接毗 若ZP= 36° ,则 Z5=【答案】27° 【解析】直接利用切线的性质得岀ZCMp=90° ,再利用三角形内角和怎理得出ZAOP=5 ,结合圆周角定 理得出答案.用切Oo于点厶.Zfl4P=90o VZP= 36° ,：.ZAoP= 5V 9：.ZB=-ZAOP=27° 215. （2020连云港）用一个圆心角为90° ,半径为20M的扇形纸片用成一个圆锥的侧而，这个圆锥的底面圆半径为cm.【答案

34、】5.【分析】设这个圆锥的底而圆半径为r，利用圆锥的侧而展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底而的 周长和弧长公式得到2兀尸警磐，然后解关于r的方程即可.180【解析】设这个圆锥的底而岡半径为H 根据题意得25簣解得r=5 （Cm）16. （2019南京）如图用丹是OO的切线，A.3为切点点C. D在00上若ZP=IO2° ,则ZJ+Z C=【答案】219°【解析】连接ABf根据切线的性质得到PA=PB,根据等腰三角形的性质得到ZPAB=ZPBA-（180°102。） =39° 由圆内接四边形的性质得到ZDAZc=ISQ ,于是得到结论.连接的 9：P

35、K. PB是Oo的切线，:PA=Pb7ZW , ZZ=1 (180-卫。239。，：.ZPAD-ZC=ZPAZDAZC=ISQQ +39° =219°17. （2019山东东营）如图，"是00的弦，AC=B9点是。上的一个动点，且ZMG45° ,若点M N分别是XG證的中点，则血V的最大值是【解析1 VMN是AABC的中位线,MN= AB2肖AB为OO的直径时，AB有最大值，则MN有最大值.当AB为直径时,ZACB=903 ,ZMG45° , We5, AB= 52,218. （2019黑龙江省龙东地区）如图，在C）O中，半径朋垂直于弦證点0在

36、圆上，且ZADC= 30。,则ZAOB的度数为【答案】60。【解析】TQl丄万G AB = AC , A ZAOB2ZADC99： ZADC= 3Qt , AOB=19. （2020山东济宁模拟）如图，0为Rt 磁直角边/!上一点，以为半径的C）O与斜边M相切于点必 交OA于点伐 已知处=勺兮，AC=3.则图中阴影部分的而积是【答案】辛.【解析】本题考查了切线的性质泄理、切线长定理以及勾股宦理的运用，熟记和圆有关的 各种性质立理是解题的关键.在 Rt ABC 中，V5C-3 JC=3. M=JAC'+BC 2=2 岳9：BCLOa ：.BC是圆的切线，V(2与斜边AB相切于点D、：.B

37、D=Ba：.AD=AB- 3-=3:(ziRt 磁中 VSinJ=丄.A ZJ=30o AB 232VO(7 与斜边 M 相切于点 0，： ODXAB' ：. AOD= W - ZJ=60o -tanJ-tan30阴影= OD -33 TJ.OD=1,60兀X详 兀36020. (2019-湖北省鄂州市)如图，在平而直角坐标系中，已知0(3, 4),以点C为圆心的圆与y轴相切点A. 在W轴上，且OA=(L点尸为OQ上的动点，AAPB=W ,则月万长度的最大值为【答案】16【解析】连接并延长，交OC上一点只以0为圆心，以莎为半径作G)Q交X轴于乂万，此时朋的长度最大，Q(3, 4) ,

38、6%7=32+42 = 5>T以点C为圆心的圆与y轴相切.0C的半径为3, /.OP=OA=OB=S,TM是直径，Z加=90° , ：.AB长度的最大值为16。三、解答题21. (2020咸宁)如图，在RtJ5C中，Z*90° ,点0在M上，以Qi为半径的半圆0交M于点0,交AC于点E过点。作半圆0的切线加 交氏于点尸.(1)求证：BF=DF;(2)若AC=. BC=Z> CF=I9求半圆O的半径长.B【解析】见解析。【分析】(1)连接由切线性质得ZoDF=90° ,进而证明ZBDfSZA=上卅ZB=9L ,得ZB=ZBDF.便可得府 =D尸；（2）设

39、半径为*连接血OF,则Oc=4-r,求得亦再由勾股定理，利用防为中间变量列出r的方程 便可求得结果.【解析】（1）连接勿，如图1，T过点Q作半圆O的切线QF，交氏于点尸，Z<2F=90o ,:.Zadszbdf=W ,： OA=OD,:ZOAD=ZODA,： ZoAlhZBDF=90° ,VZc=90° ,Z<24ZHZ5=90a ,:.ZB=ZBDF.: BF= DF：B（2）连接炉OD.如图2, 设圆的半径为J则OD=OE= r.VJc= 4, BC=3. CF=I.:.0C= 4_r, DF=BF=3=2,B图2. ODr=OF = Oe+CF.r+2s=

40、 (4 - r) ：+1故圆的半径为詈.22. （2020怀化）如图，在0中，曲为直径，点C为圆上一点，延长M到点2使CD=CA9且ZP=30o（1）求证：Q是00的切线.（2）分别过月、方两点作直线Q的垂线，垂足分别为E尸两点，过Q点作曲的垂线，垂足为点G求证:CG=AE9BF.【解析】见解析。【分析】（1）连接OG ZCAD=ZP=3Qi ,由&MQL进而得到ZoCA=ZCAD=3Qo ,由三角形外角泄理 得到ZCOD= ZAZoCA=60",在中由内角和圧理可知AOCD=W 即可证明：（2 ）证明M是AEAG的角平分线，彷是ZFC&的角平分线，得到CE=CG C

41、F=CG、再证明個SZkG汎 对应线段成比例即可求解.【解答】(1)证明：连接处如右图所示，YCA=CD.且ZP= 30° ,AZC4P=ZP=30",Y OA=OC,：.ZCAD=ZACo=30", ZCOD= ZCAIyrACO= 30o +30° =60° , Z6O=180° ZD ZCOD= 3 -30° -60° =90° ,：.OCLCD9仞是Oo的切线：(2) J ZCOB=6丫 ,負 OC=O5&万为等边三角形，ZCFG=60° ,又，：.ZCGB= 90°

42、,:乙GCB=乙CGB-乙CBG=3Q° ,又VZ6P=60o ,.少是ZGQ的角平分线，YBFlCD. BGLCG.：BF=BG.又 YBC=BU:R仏BCGR仏BCF(HL),： CF=CGT ZZ= 30° , AELED. Z£=90° ,AZ £4P=60° ,又9： ZCAD=30o ,是ZEAG的角平分线，. CErAE. CGLAB>：.CE= CG.： ZE=ZBFe=9$ , ZC=30° =乙BCF、:AECs'CFB,RP AE-BF=CF-CE.CF BF又 CE=CG、CF=CG.：

43、.AE-BF= CG.23. （2020铜仁市）如图，朋是Oo的直径，C为6>±一点，连接血CE丄AB于点E, D是直径曲延长 线上一点，且乙BCE=乙BCD.（1）求证：切是的切线：（2）若 AD=Z.=求 ?的长.CE 2【答案】见解析。【分析】（1）连接兀 根据圆周角定理得到ACB=W ,根据余角的性质得到ZA=ZECB、求得ZJ=Z Q,根据等腰三角形的性质得到ZJ= ZACO,等量代换得到乙ACO=乙BCD,求得ZDeo=W ,于是得到结 论：（2）设BC=匕AC= 2k,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】（1）证明：连接处T朋是00的直径， ACB=W ,9

44、： CELAB. C.CEB=W , ZBCB-ZABC= ZABZCAB=9Qo , :乙A=ZECB、:乙BCE=乙BCD. :乙A= ZBCD.9COC=OA, ：. ZA=ZACO. :ZACO=ZBCD:厶ACSZBCo=ZBCSZBCD=90° ,：.ZDCO=9Qa ,.Q是00的切线；(2)解：:乙A= ZBCE.*.tanJ= =tanZ56= = -ACCE 2设 BC= k. AC=2k.:乙D=乙D、ZA=ZBCD9 BC _ CD _ 1 = = _ ACAD 29 ： AD=S9：.CD=A.24(2020温州)如图，G D、gO上两点，且在直径曲两侧，连

45、结G?交曲于点Z G是走上一点，Z ADC=AG.(1) 求证：Z1 = Z2.(2) 点Q关于的对称点为斤 连结G7.当点尸落在直径曲上时，CF=10. tanZl=求00的半径.n【答案】见解析。【分析】(I)根据圆周角上理和曲为Qo的直径，即可证明Zl = Z2；(2)连接Q尸，根据垂径定理可得/=P=尸C=I0,再根拯对称性可得Zr=M；进而可得的长，再根据锐角三角函数即可求出00的半径【解析】(1) VZJC=Za：.AC = AD9丽为。O的直径,：.BC = BD.Z1 = Z2:（2）如图，连接加：.ABLCD, CE=DE.：.FD=FC= IQ9点G尸关于对称,：.DC=D

46、F= 10,:DE=5,VtanZI=三，«>. EB=DE0nZ=2,VZI = Z2,2. tanZ2=：.AE=DEtan N225225. （2020衢州）如图，個:内接于G>0,曲为0的直径，AB=I0, Jc=6.连结&；弦肋分别交&； BC于点、E、尸，其中点E是肋的中点.（1）求证：ZCAD=ZCBA（2）求处的长.【答案】见解析。【分析】（1）利用垂径左理以及圆周角左理解决问题即可.（2）证明AH2Q推出=求出比即可解决问题 AC AB【解析】（1）证明:JAE=DE,力是半径，.*.AC CD,:乙CAD=乙CBA（2）解:XAB是直径

47、,：.ZACB= 90Q ,：AE=DE、：.OCLAD. ：. ZAEC=9QQ ,：.ZAEC=ZACB.： 4AECSHBCA. CE AC -" = ,AC AB CE 6 =,6 10.(T=3. 6.V(X iJ5=5,2:.0E=OC-EC=5 3. 6 = 1. 4.C26. <2020嘉兴）已知：如图，±0AB中，OA=OB. O0与切于点C求证：AC=BC.小明同学的证明过程如下框：证明：连结0G： OA=OB.：.ZA=Z又/ OC= 0C.：.AOACAOBC.：.AC=BC.小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“J'S若错误，请写岀

48、你的证明过程.CB【答案】见解析。【分析】连结阳，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.【解析】证法错误；证明：连结,t: QO与曲相切于点G. OCLAB.9： OA=OB.：.AC=BC.27. (2020湖州)如图，已知磁是00的内接三角形，肋是G)O的直径，连结助，證平分乙ABD.(1)求证：ZCAD=ZABG(2 )若肋=6,求丽的长【答案】见解析。【分析】(1)由角平分线的性质和圆周角左理可得ZDBC=ZABC=ZCAD；(2)由圆周角怎理可得丽=紀，由孤长公式可求解.【解析】(A) -BC平分ZABD,：.乙 DBc= ZABu:乙 CAD=乙 DBG：.ZCAD=Z A

49、BC；（2） :乙CAD=ZABC,/.CD = AC9Y初是G）Q的直径，JP= 6,：.Cb的长=-× -X ×6=- 2 2 228. （2020遵义）如图，曲是00的直径，点、C是Oo上一点,Za的平分线肋交荒于点Q,过点。作加證交/1C的延长线于点E.（1）求证：血是00的切线：（2）过点Q作DFLAB于点尸，连接劭.若0F=l, BF=2,求加的长度.【答案】见解析。【分析】（1）连接血 由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ZADo= ZDAE,从而OD/AE,由加BC得ZF=90° ,由两直线平行，同旁内角互补得岀Z宓=90° ,由切线的判泄定理得岀答案：（2）先由直径所对的圆周角是直角得岀ADB=W ,再由OF=It BF=2得岀的值，进而得出处和场 的值，然后证明咖S磁，由相似三角形的性质得比例式，从而求得动的值，求算术平方根即可得出 助的值.【解析】（1）连接，如图:： OA=OD ：. ZOA=ZADO.9： AD平分ZCAB、； ZDAE=ZOAD, ：. ZADo= ADAE. OD/AE.9：DE/BC. ：. Z5=90o , ：. ZODE=ISQ -ZQ90&