数值积分与数值微分

1、1 2badxxfi)(对于积分badxxf)()()()(afbfxfba但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:4.1 数值积分概论例如求一条河道的某个截面积。10102,sindxedxxxx如果知道f(x)的原函数f(x)，则由newton-leibniz公式有(1) f(x)的解析式根本不存在，只给出了f(x)的一些数值;(2) f(x)的原函数f(x)求不出来，如f(x)不是初等函数;(3) f(x)的表达式结构复杂，求原函数较困难。 chapter 4numerical integration4.1.1 数值求积的基本思想3 定积分的几何意义： 是由曲线yf(x)，直线 x

2、=a，x=b，与x轴所围成的曲边梯形的面积。由积分中值定理:)()()(, ,fabdxxfbaba i是以b-a为底,高为f()的矩形的面积。 f()称为a,b上的平均高度。当f(x)在a,b上连续， chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论4.1.1 数值求积的基本思想42 2、 中矩形公式)2()(baff)2()()(abfabdxxfba1 1、 梯形公式2)()()(bfaff)()(22)()()()(bfafabbfafabdxxfba取取 chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论4.1.1 数值求

3、积的基本思想53 3、 simpson公式)(6)2(6)(4)(6)()2(4)(6)(bfabbafabafabbfbafafabdxxfba取)()2(4)(61)(bfbafaff chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论4.1.1 数值求积的基本思想6机械求积公式: :在a,b中有n+1个互异的节点x0, x1, x2, xn。nkkknnbaxfaxfaxfaxfadxxf01100)()()()()(称上式为机械求积公式，其中x0 xn为求积节点，ai(i=0,1,n)为求积系数(权)。1 1、求积系数ak仅与节点xi的选取有关, ,而不依

4、赖于被积函数f(x)的具体形式；注: :2 2、通过机械求积, ,把求积分值转化为求函数值, ,避免了newton-leibnits求原函数的困难；3 3、机械求积是求定积分的近似方法。niiinxfaifr0)()(为求积公式的误差或余项。 chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论74.1.2 代数精度概念定义：若机械求积公式对所有不超过m次的多项式pm(x)都精确成立，即r (pm)=0，而对某一个m+1次多项式pm+1(x)近似成立，即r (pm+1) 0。则称机械求积公式具有m次代数精度。判断代数精度的方法当f(x)=1,x,x2,xm时, ,求

5、积公式精确成立, ,而f(x)= xm+1 时公式近似成立， 求积公式的代数精度为m次. . chapter 4numerical integration)()()()(1100nnbaxfaxfaxfadxxf4.1 数值积分概论8例：验证梯形公式的代数精度为1。 chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论9设有求积公式试确定系数a0,a1,a2，使这个公式具有最高的代数精度。 chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论10利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:上取一组节点在积分区间,babxxxan10次

6、插值多项式的作nxf)(4.1.3 插值型求积公式nkkknxlxfxl0)()()(为插值基函数), 1 , 0)(nkxlk)()!1()()(1)1(xnfxrnnn,baniinxxx01)()(kjnjjkjkxxxxxl0)()()()(xrxlxfnn chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论11则，若计bakkdxxla)(badxxf)(这就是数值求积公式称为求积系数其中kankkkxfa0)(badxxf)(bandxxl)( bankkkdxxlxf0)()(nkbakkdxxlxf0)()(有的近似作为被积函数用,)()(xfxl

7、nbannbanndxxnfdxxrir)()!1()()()(11 chapter 4numerical integration4.1 数值积分概论4.1.3 插值型求积公式4.2 newton-cotes数值求积公式 chapter 4numerical integration,banabhix), 2 , 1 , 0(niihaxi)(ixf 选取一个简单的函数选取一个简单的函数(x)近似代替近似代替f(x)，得，得 牛顿牛顿-柯特斯的思想：选取柯特斯的思想：选取(x) 为插值多项式为插值多项式pn(x)，推，推导出实用的数值积分公式。导出实用的数值积分公式。 再推导出简便实用的计算公式

8、。再推导出简便实用的计算公式。 babadxxdxxf)()( 4.2 newton-cotes数值求积公式 chapter 4numerical integration基本思想：基本思想：4.2 newton-cotes数值求积公式 chapter 4numerical integration在在a, b作等距的插值基点作等距的插值基点 a=x0 x1xn=b ，1, 1 , 0,)(1 nihnabxxii)()!1()()()()(1) 1(00 xnfxrxxxxxfxlnnnninjijjjijin)()()(xrxpxfnn )()()(),(101nnxxxxxxxba niix

9、f0)( banbanjijjjijdxxrdxxxxx)(0令令 ,0)(dxxxxxcbanjijjjijni bannndxxnffr)()!1()()(1)1( )()()()(0frcxfdxxfnniniibababannbaxrdxxldxxf)()()(,0)(dxxxxxcbanjijjjijni 由由 ,jhaxihaxji 积分作代换积分作代换x= a+th, 则则 推导具体计算公式推导具体计算公式nabhhjixxji ,)(dx=hdt, 当当x=a时时t=0，当当x=b时时t=n，xxj=(sj )h,)()()(110niiiiiixxxxxxxx =i(i-1)

10、1(-1)(-2)(-(n-i) hn nnnijjnindthhjthini00)()!(!) 1()(nic nnijjindtjtiniab00)()!(!) 1()( nnijjinnidtjtininc00)()()!(!) 1(= (-1)n-i i! (n-i)! hn4.2 newton-cotes数值求积公式 chapter 4numerical integration16)()()(0)(xcjbanjnjfabdxxfn 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 柯特斯

11、系数 ()00( 1)()!()!ninnnijjictj dtn ini chapter 4numerical integration17下面分别考虑几种特殊请况。 （一）梯形公式（一）梯形公式 若积分区间x0,x1两端点处的函数值f0,f1为已知，可应用线性插 值公式l1(x)在区间x0,x1上的积分来近似,这就是n=1的 情况。当n =1时，c0(1)= c1(1)= 1/2，于是有 上式称为梯形公式。 积分的这种近似计算方法称为梯形法则。 它的几何意义是用四边梯形x0 abx1的面积(x1x0)(f0+f1)/2代 替曲边梯形 的面积 。 )f(f2xxdxf(x)10 xx10011

12、0 xxdxf(x) chapter 4numerical integration18 )()(1)1(10)1(0 xfcxfcabdxxfba 10)1(0) 1(dttc)()(2)(bfafabdxxfba nnijjinnidtjtinic00)()()!(!) 1(当当n=1时时, 有有 niinibaxfcabdxxf02110)1(1tdtc1022) 1( t,21 （一）梯形公式（一）梯形公式19当n=1时，为梯形公式)()(2)(bfafabdxxfba chapter 4numerical integration20（二）辛普森（二）辛普森(simpson)(simps

13、on)公式公式 如果已知步长的三个等距节点x0 x1x2处的函数值f0、f1和f2， 则可应用二次插值公式(抛物线插) l2(x)值在区间x0,x2上进行积分。这就是牛顿柯特斯求积公式中n=2的情况。 这里， c0(2) =1/6 , c1(2) =2/3 , c2(2) =1/6 可得 式中h=(x2 -x0)/2, 它通常称式为辛普森公式或抛物线公式辛普森公式或抛物线公式。它的几何意义是用抛物线y=l2(x)围成的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积。 20 xx210)ff4(f3hdxf(x) chapter 4numerical integration21 )()()(2

14、)2(21)2(10)2(0 xfcxfcxfcabdxxfba 20)2(1,64)2(21dtttc)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba nnijjinnidtjtinic00)()()!(!) 1( niinibaxfcabdxxf0牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式当当n=2时有时有 ) 4638(41 20)2(261) 1(41dtttc20)2(0) 2)(1(2! 21dsttc202) 23(41dttt2023)2233(41ttt,61 22 chapter 4numerical integration23 chapter 4numerical inte

15、gration误差分析 作为插值型求积公式的公式至少具有n次代数精度。由定理1可得：定理定理3：当阶n为偶数时， 公式至少具有n+1次代数精度。24试证梯形公式的代数精确度为试证梯形公式的代数精确度为1。 证明证明 梯形公式是梯形公式是 )()(2)(bfafabdxxfba ),(, )(12)()(31bafabfr 误差误差 当当f(x)=0,x 时，梯形公式成为准确等式。时，梯形公式成为准确等式。当当f(x)=x2 时，根据梯形公式，左时，根据梯形公式，左= 3332abdxxba 右右=)(222baab 左左因此，公式的代数精确度为因此，公式的代数精确度为1。 chapter 4n

16、umerical integration误差分析 25试证抛物线公式的代数精确度为试证抛物线公式的代数精确度为3。 证明证明 抛物线公式是抛物线公式是 误差误差 当当f(x)=0,x,x2,x3 时时, 抛物线公式成为准确等式。抛物线公式成为准确等式。 当当f(x)=x4 时，时，因此，公式的代数精确度为因此，公式的代数精确度为3。)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba ),(, )(2880)()()4(52bafabfr 抛物线公式不能准确成立。抛物线公式不能准确成立。 chapter 4numerical integration误差分析 26梯形公式的求积余项：),(, )

17、(12)()(31bafabfr 梯形公式的误差取决于插值多项式l1(x)的误差。误差分析 辛普森公式的求积余项为：),(, )(2880)()()4(52bafabfr chapter 4numerical integrationbababadxxrdxxldxxf)()()(11dxbxaxfdxxlxfdxxldxxffrbabababa)(! 2)()()()()(1127 chapter 4numerical integreation 从积分余项可以看到，积分区间越小，可使求积公式的截断误差变小。因此，我们经常把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采用次数不高的插值公式，如梯形公式

18、或抛物线公式，构造出相应的求积公式，然后再把它们加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化复化求积公式的基本思想求积公式的基本思想。 复化求积公式克服了高次newton-cotes公式计算不稳定的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。 常用的复化求积公式是复化梯形公式复化梯形公式和复化抛物线公式复化抛物线公式 28 将区间 n等分，记分点为: 并在每个小区间 上应用梯形公得： ,a b,(.0,1, )ib axa ih hinn 111100( )( )2iinnbxiiaxiihf x dxf x dxf xf x11( ) 2( )( )2niihf af xf b1,iix x chapter 4numerical integration29 在每个小区间 上,用辛普生公得 : 记: 其中 为 的中点，即 1,iix x11102( )( ) 4 ()()6nbiiaiihf x dxf xf xf x 111012( ) 4() 2( )6nniiiihf af xf xf b111012( ) 4() 2( )( )6nnniiiihsf af xf xf b12ix1 ,iix x1212i