第六节几何形体上积分的应用

1、第六节 几何形体上积分的应用一、几何应用一、几何应用二、物理应用二、物理应用几何形体上的积分：几何形体上的积分：重积分重积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分( , , )f x y z ds ( , , )f x y z ds ( , )lf x y ds ( , )df x y d ( , , )f x y z dv 二重积分二重积分第一类曲线、曲面积分第一类曲线、曲面积分三重积分三重积分 空间区域空间区域 的体积的体积 平面或空间曲线段平面或空间曲线段l或或 的弧长的弧长lsdssds 或 空间曲面片的面积空间曲面片的面积 平面区域平面区域d的面积的面积的度

2、量的度量gdgg abdxba 一、一、 几何应用几何应用 dvv dd dss（1 1）用三重积分计算用三重积分计算，vdv .2302()rrd 44422rrr 2zr2z rxyzo22200rrdddz 利用柱面坐标利用柱面坐标, ,有有22zxy计算旋转抛物面计算旋转抛物面 和平面和平面的体积的体积. .2zr 所围成的空间区域所围成的空间区域 例例1解解（1 1）用三重积分计算用三重积分计算vdv rxyzo用先二后一用先二后一(截面法截面法)计算计算2rzd20 ,zr 有有22:zdxyz20zrddzdxdy 20rzdz 224220rzr zd的的面面积积（2）用二重积

3、分计算用二重积分计算 2222()xydvrrxy dxdy 244242rrr 24300rrdd 圆柱体圆柱体曲顶柱体曲顶柱体 2rrxyzo例例2 求半径为求半径为a的球的表面积的球的表面积.:222zaxy 解解221xydsdzz 222daaxy 2sds 2222xyddaaxy 200222addaa 222:xydxya投投影影上半球面上半球面xyzoxyd 取坐标如图，取坐标如图，002222limaxxaddaaaa 220limxxaa a 于是于是222024sa da 200222asddaa 瑕积分瑕积分2222limxaa axaa二、物理应用二、物理应用 以平

4、面薄片为例，推出质量，重心，以平面薄片为例，推出质量，重心，转动惯量，引力等公式转动惯量，引力等公式. . 1.1.平面薄片的质量平面薄片的质量平面薄片的质量为平面薄片的质量为( , )x y 设设是是平平面面薄薄片片的的面面密密度度，则则其他几何形体类似其他几何形体类似. .( , )dmx y d 2.平面薄片的重心平面薄片的重心由力学知道由力学知道,若质点系由若质点系由m个质点组成，个质点组成，它们位于它们位于),(),(),(2211nnyxyxyx处，处，其质量分别为其质量分别为,21nmmm则质点系的则质点系的重心坐标重心坐标为为,yxmmxymm其中其中 niiixniiiyym

5、mxmm11,分别是质点系对分别是质点系对y轴和轴和x轴的轴的静力矩静力矩.ixiy),(11yx(,)nnxy22(,)xy(,)iixyxyo整个薄片对整个薄片对y 轴和对轴和对x轴轴的静力矩是（由微元法）的静力矩是（由微元法）xy(,)iixyxyo d将薄片划分为若干小块将薄片划分为若干小块,把它们看成质点系把它们看成质点系.,d 取一个小块取一个小块看成一个质点，其质量为看成一个质点，其质量为( , ),dmx y d 它对它对y轴和轴和x轴的静力矩为轴的静力矩为( , )ydmxdmxx y d( , )xdmydmyx y d( , )ydmxx y d( , )xdmyx y

6、d 平面薄片的平面薄片的重心坐标重心坐标为为静力矩静力矩( , )ydmxx y d( , )xdmyx y d ( , ),( , )yddxx y dmxmx y d ( , )( , )xddyx y dmymx y d 2sin4sin 和和求位于两圆求位于两圆之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心. .0 x 由于对称性有由于对称性有薄片面积为薄片面积为由公式得由公式得3 1dyyd 例例3 3解解设面密度为设面密度为. 4sin2sin17sin33rrdr odxy重心坐标为重心坐标为)37, 0(特别地，当薄片是均匀密度时，特别地，当薄片是均匀密度时，这时重心也称为这时重心也

7、称为形心形心.重心坐标为重心坐标为)(,的面积的面积为为dydyxdxdd ( , ),( , )yddxx y dmxmx y d ( , )( , )xddyx y dmymx y d 类似有立体类似有立体 的的重心坐标重心坐标为为 ( , , )( , , ),( , , )( , , )( , , ).( , , )xx y z dvyx y z dvxyx y z dvx y z dvzx y z dvzx y z dv 求均匀半球体求均匀半球体 22220 xyzaz 的形心的形心.1zzdvv 由对称性，形心在由对称性，形心在z轴上，所以轴上，所以0,xy例例4 4解解323va

8、 323va 2cossinrrdrd d 1zzdvv 232000cossinaddr dr zdv 442sin244202aa 形心坐标是形心坐标是230 08( , ,)a（球面坐标）（球面坐标）3.平面薄片地转动惯量平面薄片地转动惯量平面薄片对平面薄片对x 轴和对轴和对y 轴地转动惯量为轴地转动惯量为和和由力学知，质点对轴的转动惯量由力学知，质点对轴的转动惯量mri2 质量质量质点到轴的距离质点到轴的距离一小块薄片一小块薄片 d对对x轴和对轴和对y轴地转动惯量为轴地转动惯量为22( , )xdiy dmyx y d22( , )ydix dmxx y d2( , )xdiyx y

9、d 2( , )ydixx y d 求半径为求半径为a的均匀半圆薄片的均匀半圆薄片(面密度为面密度为)对其直径边的转动惯量对其直径边的转动惯量.解解 取坐标系如图，取坐标系如图，2xdiyd 2200sinadd 2240sin48ada 212ma 214xia m（极坐标极坐标）xyo转动惯量为转动惯量为例例5例例6 6 求半径为求半径为r、中心角为中心角为 的圆弧的圆弧 l 2对于它的对称轴的转动惯量（设线密度为对于它的对称轴的转动惯量（设线密度为常量常量 ）. 解解 取坐标系如图，取坐标系如图，称轴称轴(x轴轴)的距离平方为的距离平方为,2y所以有所以有2xliyds cos:()si

10、nxrtltyrt rloxyrdtdttrtrds 22)cos()sin(圆弧上的点圆弧上的点(x,y)到对到对rdtdttrtrds 22)cos()sin(2xliyds 22sinrt rdt 2(sincos)r322sinrtdt rloxy4.平面薄片平面薄片(在在xoy面面)对空间质点的引力对空间质点的引力平面薄片对质点的引力的三个分力是平面薄片对质点的引力的三个分力是322223222232222( , )()( , )()( , )()dydzdxx yfgdxyzyx yfgdxyzx yfagdxyz xxyzom( , )x y 面面密密度度d小小 结结几何形体的度量：几何形体的度量：一、一、 几何应用几何应用1.平面区域和曲面的面积平面区域和曲面的面积 2.曲线弧的长度曲线弧的长度 3.立体的体积立体的体积gdgg 的的度度量量二、物理应用二、物理应用1.重心（形心）重心（形心）2.转动惯量转动惯量 3.引力引力 通过本节的学习应从中领悟用通过本节的学习应从中领悟