2022年全国高中数学联合竞赛内容梳理版数列

1、全国高中数学联合竞赛内容梳理数列1 全国高中数学联合竞赛（19782010 ）中的数列问题1.1 选择题与填空题（1） （1991）将正奇数集合1 ，3，5， 由小到大按第n 组有 (2n1)个奇数进行分组：1 ，3 ，5，7，9，11，13，15，17， (第一组 ) (第二组 ) (第三组 ) 则 1991 位于第组（2） （1992）设数列12,na aall 满足1231,2aaa=且对任何自然数n，都有121nnna aa+1，又123123nnnnnnnna aaaaaaa+=+则12100aaa+l的值是（3） （1994）已知数列 na满足134(1)nnaan+=?，且19a

2、 =，其前n 项之和为ns ，则满足不等式16125nsn-，sn为其前项之和，则sn中最大的是(a)s10(b)s11(c)s20(d) s21（5） （1996）等比数列 na的首项11536a =,公比12a = -,用n?表示它的前n 项之积。 则n?(xn ? ￥ )最大的是(a)9?(b)11?(c)12?(d)13?（6） （1997）已知数列 nx满足11nnnxxx+-=-()2n 3，12,xa xb=记12nnsxxx=+l，则下列结论正确的是(a)x100a，s100=2b a(b)x100b，s1002b a (c)x100b，s100=b a(d)x100a，s10

3、0b a （7） （1997）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 35 页 - - - - - - - - -列共有(a)2 个(b)3 个(c)4 个(d)5 个（ 8） （ 1999）给定公比为()1q q 1的等比数列 na，设1123baaa=+，2456baaa=+,， l ，32313nnnnbaaa-=+, 则数列 nb( ) (a)是等差数列(b)是公比 q 为的等比数列(c)是公比为q3的等比数列(d)既非等差数列又非等比数列（9

4、） （2000）等比数列a+log23，a+log43，a+log83 的公比是（10） （2003）删去正整数数列1，2， 3， l 中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003 项是(a) 2046 (b) 2047 (c) 2048 (d) 2049 （11） （2004）已知数列012,naa aall 满足关系式()()13618nnaa+-+=，且03a=，则01niia=?的值是；（12） （2005）如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为 “ 吉祥数 ” 将所有 “ 吉祥数 ” 从小到大排成一列123,a a al ，若na 2005，则5na（13） （2

5、008）设abcd的内角,a b c 所对的边, ,a b c 成等比数列，则sincotcossincotcosacabcb+的取值范围是a. ()0,+ ?b. 510,2骣+?桫c. 5151,22骣-+?桫d. 51,2骣-?+ ? ?桫（ 14 ） （ 2008） 设 数 列 na的 前 n 项 和ns 满 足 ：()11nnnsan n-+=+，1,2,n =l， 则 通 项na = （15） （2010）已知 na是公差不为0 的等差数列，nb是等比数列，其中13a =，11b =，222a =，533ab=， 且 存 在 常 数,a b， 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n

6、都 有l o gnnabab=+， 则ab+=1.2 在正整数上定义一个函数( )f n如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 35 页 - - - - - - - - -当 n 为偶数时，( )2nf n=，当 n 为奇数时，( )3f nn=+，（1）证明：对任何一个正整数m ，数列( )()0101,nnam af aaf a-=ll中总有一项为1或3. （2）在全部正整数中，哪些m 使上述数列必然出现“3”？哪些 m 使上述数列必然出现“1”？1979 年全国高中数学联赛第二试1.3 已知实数列012,na a aa

7、l（其中01aa1） ，满足112iiiaaa-+=（1,2,in=l）求证：对于任何自然数 n ，( )()()()()110111111011nnnnnnnnnnp xaxaxxaxxaxnn-骣骣骣骣鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑=-+-+-+-鼢鼢珑珑鼢鼢-珑珑鼢鼢桫桫桫桫l是一次多项式1986 年全国高中数学联赛第二试1.4 已知数列 na，其中121,2aa=，1121153,nnnnnnnnnaaaaaaaaa+?-?= ?-?为偶数，为奇数 . 试证：对一切*,0nna喂￥1988 年全国高中竞赛试题第二试1.5 2n 个正数排成 n 行 n 列11121314121222324231323

8、33434142434441234nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaallllmmmmoml其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等 已知241a=，4218a=，43316a=，求1122nnaaa+l1990 年全国高中竞赛试题第一试1.6 设 n 是自然数，( )()1110,1nnnxxfxxxx+-=贡-，令1yxx=+（1）求证：( )( )( )()11,1nnnfxyfxfxn+-=?精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 35 页 - - - - - -

9、- - -（2）用数学归纳法证明：( )( )( )()( )( )()222122211111,1211111,112ninnninninnninnnyyynnifxnnnyyynni-骣?-骣骣?-鼢?珑鼢?珑-+-+-鼢?珑鼢?珑鼢桫桫?桫?=骣-骣骣?-鼢?珑鼢?珑-+-+-鼢-?珑鼢?珑鼢桫桫? 桫?llll为奇数为偶数?1992 年全国高中竞赛试题第一试1.7 设正数列012,na a aall 满足()21212,2nnnnna aaaan-=?且011aa=，求 na的通项公式1993 年全国高中竞赛试题第一试1.8 设数列 na的前 n 项和21nnsa=-（1,2,n =l

10、 ） ，数列 nb满足13b =，()11,2,kkkbab k+=+=l求数列 nb的前 n 项和1996 年全国高中竞赛试题第二试1.9 给定正整数n和正数m，对于满足条件2211naam的所有等差数列na，试求1221nnnsaaa的最大值 . 1999 年全国高中竞赛试题第一试1.10 设nsn321，n. 求1)32()(nnsnsnf的最大值 . 2000 年全国高中数学联赛第一试1.11 设数列na和nb满足001,0ab，且11763,0,1,2,874nnnnnnaabnbab证明：0,1,2,nan是完全平方数 . 2000 年全国高中数学联赛第二试精品学习资料 可选择p

11、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 35 页 - - - - - - - - -1.12 设na为等差数列，nb为等比数列，且211ba=，222ba=，233ba=（12aa，*n ? ￥ ；（2）证明：存在*0n? ￥ ，使得对0nn，都有1231212004nnnnbbbbnbbbb+-+-l全国高中数学联赛第二试1.15 数列na满足201745361,2nnnaaaan.证明：（1）对于任意n，na为整数；（2）对于任意n，11nna a为完全平方数. 全国高中数学联赛第一试1.16 已知无穷数列na满足101111,1,2,.nnnnna

12、 aax ay anaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 35 页 - - - - - - - - -（1）对于怎样的实数xy与，总存在正整数0n，使当0nn时na恒为常数 . （2）求通项na. 全国高中数学联赛第二试1.17 设()111nnkak nk=+-?，求证：当正整数2n 3时，1nnaa+，1,2,2008k =l证明：当且仅当200811kka=?时，存在数列 nx满足以下条件：（1）010,1,2, 3,nnxxxn+=，有011210111211nnnnaaaaaaaaaaaannnn-+壮?+-lll

13、l. 题 4设数列12,na aa 是凸数列 . 试证：对大于1 的奇数 n 有000111nnniiiiiaannnii=匙骣骣+鼢珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫邋?题 5如果对于每一个i （ 01389i，并且 nb的和数列没有上界。令min,nnnca b=，存在一个正常数c ，使得 nc的和序列 nc满足以下两个条件：（3）对充分大的正整数n ，有112nnnccc-+3；（4）对任意正整数n ，有2011nc. 求t的所有可能值。22 已知无限项的正整数的数列 nx满足：对任意的正整数都有()21gcd,2006nnnxxx+=+. 证明或否定：存在一个这样的数列 nx使得它恰有200610个

14、不同的正整数。23 数列012,ss sl 定义如下：（1）对 02011n，1ns =；（2）对0n 3，有20122011nnnsss+=+恒成立 . 求证：对所有的非负整数a ，2011aass-是 2011 的倍数。证明：注意到2011 是素数 . 设( )201220111p xxx=-的零点为122012,rrrl. 下面证明：20121nniisr=?. 设ie （1,2,2012i =l）是初等对称多项式，并且20121nniipr=?. 1,2,n =l定义01 220121pr rr=l. 由韦达定理 及牛顿公式 ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

15、 - - - - - - - 第 31 页，共 35 页 - - - - - - - - -( )()( )1121122321123311111201110101011111kikkkkiikkkiepee pppee pe pppkeepe pppp-=? =?=-? =-+?=-=-+ -?=?ll即条件（ 1）成立 . 对于条件（ 2）采用数学归纳法。奠基成立。假设当20122011nk+时结论成立。2012201220122011201220122011111nnnnnniiiiiisssrrr+=+=+=邋?. 于是，对所有的n ? ￥，都有20121nniisr=?成立 . 因此

16、，()201120122012201220122011201111110 mod 2011aaaaaaiiiiiiiissrrrr=骣?-=-?桫邋邋. 最后一步即为费尔马小定理 . 24 证明或否定： 存在一个无穷项正整数数列，在这个数列中， 每一个正整数出现且仅出现一次，且前 n 项和恰能被 n 整除。结论是存在的。构造如下：设满足上述条件的数列为 na. 记1nniisa=?，min|,1 ,nkpxxakn轾=喂?犏臌￥. 令11a =，则11s =，12p =. 考虑基于n 的情况构造：若()0 mod1nnspn+?，则取1nnap+=. 并且1nnpp+. 即满足题意 . 若()

17、0 mod1nnspn+?，存在 k ? ￥，使得|,1,kaxxakn轾挝?犏臌￥，其中()()()211nnak nnsnp=+-+. 取12,nnnaa ap+=. 则有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 35 页 - - - - - - - - -()()()() ()121112nnnnnnssask nnsnpnk np+轾=+=+-+=+犏臌()()()() ()221121nnnnnnnnssapsk nnsnppnk np+轾=+=+-+=+犏臌这里，21nnnppp+=. 因此结论成立. 25 证明或否定

18、： 存在一个严格单调递增的正整数列 na，具有以下性质：对任意的正整数k，在nak+中有且仅有有限多个素数. 结论是存在的. 只须构造( )3!nan=. 对于当1k = ?时，( )()( )321!1!1!1nannnn轾?犏犏臌m和当0k =时，结论即成立。另一种构造：( )()2! !nann=+. 26 已知0011,nx xx-l是整数，正整数12,kd ddl满足012knddd=l，且()12gcd,1kd dd=l. 对所有的整数0nn3，定义12kndndndnxxxxk-轾+犏=犏犏臌l. 求证：存在正整数1n ，使得当1nn3时，nx 均为常数 . 显然有0001101

19、1min,max,nnnxxxxxxx-ll. 因此数列 nx是最终周期的 . 设0121,tyy yy-l是 nx的一个周期 . 令0121max,tmy y yy-=l. 不妨设nym=（ 01nt-）. 我们有12kndndndnyyymyk-轾+犏=犏犏臌l. 根据m的定义可知，indym-=（1,2,ik=l）. 因此对于任意正整数12,ka aal，有1kiiina dym=-=?. 又因为()12gcd,1nx xx=l. 由裴蜀等式 ，知对于所有的m ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 35 页 - - -

20、 - - - - - -()1modiiiknma dt-?. 因此对所有的m ，都有()mnnmyym-=. 结论得证 . 27 设数列 nc定义如下：01c =，对于*n ? ￥ ，21nncc+=，22ennnccc-=+. 其中 2enp. 求证：21022112niincnn-=骣+?=?+?+桫?. 28 对于正实数数列 ka，数列 ka的一阶均值数列 ka定义如下：12kkkaaa+=. 由此定义数列的n 阶均值数列( ) nka. 若对于数列 ka， ka的 n 阶均值数列( ) nka中的每一项都是正整数，则称数列 ka为“ 好数列 ” 。求证：如果数列 nx是“ 好数列 ” ，那么数列 2nx也是 “ 好数列 ” 。29 证明或否定：存在正整数x