数项级数习题课

1、 第9章ch9 级数级数第1页2021-11-239.1 数项级数习题课数项级数习题课series by examples 第9章ch9 级数级数第2页review(1) 绝对收敛与条件收敛(2) 绝对收敛性质定理：定理：若级数 绝对收敛，则任意的重排后1nnu的级数也收敛，而且和不变。 第9章ch9 级数级数第3页review黎曼定理（非常精彩）黎曼定理（非常精彩）1nnu(包括 ), 可把级数重排后使之收敛于 a (或发散到 ).若级数 条件收敛，则对任意给定的数 a， 第9章ch9 级数级数第4页 nnnuuuuu32111 1、数项级数、数项级数 niinnuuuus121级数的部分和

2、定义：定义：级数的收敛与发散知识回顾知识回顾 第9章ch9 级数级数第5页性质性质11线性性线性性 : 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质2 2: 在级数前面加上、去掉或改变有限项不影响级数的敛散性.性质性质3 3: 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 0lim nnu性质性质4: 级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质但反之不对但反之不对! 第9章ch9 级数级数第6页1,0.nnnuu.ns正项级数收敛部分和所成的数列有界正项级数收敛判别法正项级数收敛判别法(1) 基本定理：基本定理：(2) 比较判别法比较判

3、别法: (以及其极限形式以及其极限形式)正项级数两类重要级数的敛散性：两类重要级数的敛散性：10( ),nniaq几何级数01().pniipn级数 第9章ch9 级数级数第7页设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. . 第9章ch9 级数级数第8页定义： 正、负项相间的级数称为交错级数. )1()1(111nnnnnnuu 或或)0( nu其中其中交错级数交错级数 第9章ch9 级数级数第9页例例

4、1 判断语句：判断语句：(1) 设级数 收敛 (k 为常数)，则 收敛。0nnk u0nnu(2) 设级数 均发散，则 也发散。11,nnnnuv1nnnuv(3) 设级数 与数列 同收敛同发散。1nnunu 第9章ch9 级数级数第10页例例2 判断敛散性，若收敛求和：判断敛散性，若收敛求和：01(1);12nn11(2);(1)(2)nn nn0(3)sin.6nn 第9章ch9 级数级数第11页例例3 判断敛散性：判断敛散性：1321(1);1nn11(2)ln(1);nnln12(3);3nnn1cos3(4);2nnnn1(5)3 sin;5nnn 第9章ch9 级数级数第12页例例4 判断绝对判断绝对/条件收敛性：条件收敛性：111(1)( 1);ln(1)nnn1(2)( 1)(0);nnaan 第9章ch9 级数级数第13页例例5 证明：证明：211(1).nnnnnu