数字信号处理吴镇杨实验三

1、实验三 快速傅里叶变换及其应用04011344 王晨一、 实验目的(1) 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。(2) 应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。(3) 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。(4) 应用FFT实现两个序列的线性卷积和相关   二、 实验原理  在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fourier变换(DFT)。这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(

2、n)的长度为N时，它的DFT定义为：反变换为：有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的，其长度 。它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。     (一)、在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三种误

3、差：    (1)    混叠    序列的频谱时被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。    (2)    泄漏   

4、; 实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。    (3)    栅栏效应    DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通

5、过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不能别我们观察到。    减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。 (二)、用FFT计算线性卷积    用FFT可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积。一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2，要使圆周卷积

6、等于线性卷积的充要条件是FFT的长度:NN1N2对于长度不足N的两个序列，分别将他们补零延长到N。    当两个序列中有一个序列比较长的时候，我们可以采用分段卷积的方法。有两种方法：a.重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段，分别用FFT对它们作线性卷积，再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。   b.重叠保留法。这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重叠的部分，在构成总的卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起来，省掉了输出段的直接相加。 (三)、用周期图法(平滑周期图的平均法)对随机信号作谱分析   

7、; 实际中许多信号往往既不具有有限能量，由非周期性的。无限能量信号的基本概念是随机过程，也就是说无限能量信号是一随机信号。周期图法是随机信号作谱分析的一种方法，它特别适用于用FFT直接计算功率谱的估值。    将长度为N的实平稳随机序列的样本x(n)再次分割成K段，每段长度为L,即L=N/K。每段序列仍可表示为：xi(n)=x(n+(i-1)L)，0nL-1，1iK但是这里在计算周期图之前，先用窗函数w(n)给每段序列xi(n)加权，K个修正的周期图定义为其中U表示窗口序列的能量，它等于在此情况下，功率谱估计量可表示为三、 实验程序代码及结果讨论  实验

8、中用到的信号序列：a)       Gaussian序列b)      衰减正弦序列c)      三角波序列d)      反三角波序列    上机实验内容：(1)、观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8，改变q的值，使q分别等于2，4，8，观察它们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域幅频特性的影响；固定q=8，改变

9、p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列的时域及幅频特性的影响，观察p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。高斯序列定义：function Xa,Fa =gauss(p,q)n=0:15;Xa(n+1)=exp(-(n+1-p).2./q); F=fft(Xa);Fa=abs(F);endclear all; Xa1,Fa1= gauss(8,2);k=0:15;subplot(5,2,1);stem(k,Xa1);hold; plot(k,Xa1);xlabel('n');ylabel(

10、'时域特性');text(10,0.5,'p=8,q=2');subplot(5,2,2);stem(k,Fa1);hold; plot(k,Fa1);xlabel('n');ylabel('幅频特性');text(8,3,'p=8,q=2');Xa2,Fa2= gauss(8,4);subplot(5,2,3);stem(k,Xa2); hold; plot(k,Xa2);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(10,0.5,'p=8,q=4'

11、;);subplot(5,2,4);stem(k,Fa2);hold; plot(k,Fa2);xlabel('n');ylabel('幅频特性');text(8,3,'p=8,q=4');Xa3,Fa3= gauss(8,8);subplot(5,2,5);stem(k,Xa3); hold; plot(k,Xa3);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(10,0.5,'p=8,q=8');subplot(5,2,6);stem(k,Fa3); hold; plot(k,

12、Fa3);xlabel('n');ylabel('幅频特性');text(8,3,'p=8,q=8');Xa4,Fa4= gauss(13,8);subplot(5,2,7);stem(k,Xa4);hold; plot(k,Xa4);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(10,0.5,'p=13,q=8');subplot(5,2,8);stem(k,Fa4);hold; plot(k,Fa4);xlabel('n');ylabel('幅频特性&#

13、39;);text(8,3,'p=13,q=8');Xa5,Fa5= gauss(14,8);subplot(5,2,9);stem(k,Xa5);hold; plot(k,Xa5);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(10,0.5,'p=14,q=8');subplot(5,2,10);stem(k,Fa5);hold; plot(k,Fa5);xlabel('n');ylabel('幅频特性');text(8,3,'p=14,q=8');实验现象分析：

14、由高斯序列表达式知n=p为其对称轴； 当p取固定值时，时域序列图以n=p为其对称轴，当q取值越来越大时，波形变化更加缓和，即向对称轴两边下降越加平缓。q值越大，高频分量越少，混叠效应减弱。由于原序列相当于是对称截取，且窗口包含序列主要部分，故泄露现象并不明显。当q值固定不变，p变化时，时域对称轴右移，截取窗口不能捕捉信号主要部分，开始无法代表一个周期，泄漏现象也越来越明显，泄露也产生一定的频谱混叠。p=14时的泄漏现象最为明显，混叠也相应产生；(2)、观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1，f=0.0625，检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，

15、改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原因。衰减正弦序列定义：function Xb,Fb = downsin(a,f) n=0:15; Xb(n+1)=exp(-a.*n).*sin(2*pi*f.*n);F = fft(Xb);Fb=abs(F);clear all;k=0:15; Xb,Fb=downsin(0.1,0.0625);subplot(3,2,1); stem(k,Xb); hold; plot(k,Xb);xlabel('n');ylabel('时域特性'

16、);text(8,0.5,'a=0.1,f=0.0625');subplot(3,2,2); stem(k,Fb); hold; plot(k,Fb);xlabel('n');ylabel('幅值特性');text(10,3,'a=0.1,f=0.0625');Xb1,Fb1=downsin(0.1,0.4375);subplot(3,2,3); stem(k,Xb1); hold; plot(k,Xb1);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(8,0.5,'a=0

17、.1,f=0.4375');subplot(3,2,4); stem(k,Fb1); hold; plot(k,Fb1);xlabel('n');ylabel('幅值特性');text(10,3,'a=0.1,f=0.4375');Xb2,Fb2=downsin(0.1,0.5625);subplot(3,2,5); stem(k,Xb2); hold; plot(k,Xb2);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(8,0.5,'a=0.1,f=0.5625');s

18、ubplot(3,2,6); stem(k,Fb2); hold; plot(k,Fb2);xlabel('n');ylabel('幅值特性');text(10,3,'a=0.1,f=0.5625');实验现象分析： 当f=f1/fs=1/16=0.0625时，谱峰位置出现正确。时间长度为16Ts，即采样频率为16f1，满足采样定理。由于截取长度为周期的整数倍（一倍），此处不引入频谱泄漏。但是由于截断效应，相当于加一矩形窗，其频谱中旁瓣导致频率分量扩散，因此有一定程度的频谱泄漏。增加的部分高频分量会造成低频成分的混叠效应，但是由截断带来的高频旁瓣

19、较小，故混叠效应较弱。当f=f2/fs=7/16=0.4375时，fs=(16/7)f2，仍满足采样定理，谱峰位置正确，且为整数周期采样。同上，较弱的频谱泄漏及混叠效应来自于截断效应。当f=f2/fs=9/16=0.5625时，fs=(16/9)f2，不满足采样定理，故产生混叠，此时谱峰位置不正确。混叠后的频谱由图知与第二种情况频谱相同，原因是超过1/2fs的高频分量叠加到低频。此时也产生了一定的频谱泄漏。 (3)、观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。在xc(

20、n)和xd(n)末尾补零，用N=32点FFT分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？两情况的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明了什么？程序代码如下：clear all;n=0:3;k=1:8;Xc(n+1) = n;Xc(n+5) =4-n;Xd(n+1) = 4-n;Xd(n+5) =n;subplot(2,2,1);stem(k-1,Xc);hold; plot(k-1,Xc);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(1,3,'三角波');subplot(2,2,2);stem(k-1,abs(fft

21、(Xc);hold; plot(k-1,abs(fft(Xc);xlabel('k');ylabel('幅频特性');text(4,10,'三角波');subplot(2,2,3);stem(k-1,Xd);hold; plot(k-1,Xd);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(3,3,'反三角波');subplot(2,2,4);stem(k-1,abs(fft(Xd);hold; plot(k-1,abs(fft(Xd);xlabel('k');yl

22、abel('幅频特性');text(4,10,'反三角波');Xc(9:32)=0;Xd(9:32)=0;k=1:32;figure;subplot(2,2,1);stem(k-1,Xc); hold; plot(k-1,Xc);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(8,3,'三角波');subplot(2,2,2);stem(k-1,abs(fft(Xc); hold; plot(k-1,abs(fft(Xc);xlabel('k');ylabel('幅频特性&#

23、39;);text(4,10,'三角波');subplot(2,2,3);stem(k-1,Xd); hold; plot(k-1,Xd);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(2,3,'反三角波');subplot(2,2,4); stem(k-1,abs(fft(Xd); hold; plot(k-1,abs(fft(Xd);xlabel('k');ylabel('幅频特性');text(4,12,'反三角波');实验现象分析： 由图知，三角波序列和反三

24、角波序列的时域图像关于横轴成镜像关系，但频域图像完全一样，只是因为幅频图是对x（k）的值取绝对值。实际频谱相位相反，幅值对应相等。由实验所得的图形知，N=32点时，两幅度谱都更加密集，更多离散点的幅值显示，“栅栏效应”减小。在原序列的末端填补零值，变动了DFT的点数，人为的改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点和谷点暴露出来。N=32时，两频谱差别较大，但总体趋势仍然都是中间最小，两侧呈对称。     (4)、一个连续信号含两个频率分量，经采样得x(n)=sin2*0.125n+cos2*(0.125+f)n n=0,

25、1,N-1已知N=16，f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，f不变，其结果有何不同，为什么？clear all;N=16;detf=1/16;n=0:N-1;x1(n+1)=sin(2*pi*0.125.*n)+cos(2*pi*(0.125+detf).*n);detf = 1/64;x2(n+1)=sin(2*pi*0.125.*n)+cos(2*pi*(0.125+detf).*n);subplot(2,2,1);stem(n,x1); xlabel('n');ylabel('时域特性');text(6,1,'N=16,detf

26、=1/16');subplot(2,2,2);stem(n,abs(fft(x1);xlabel('n');ylabel('幅值特性');text(6,4,'N=16,detf=1/16');subplot(2,2,3);stem(n,x2);xlabel('n');ylabel('时域特性');text(6,1,'N=16,detf=1/64');subplot(2,2,4);stem(n,abs(fft(x2);xlabel('n');ylabel('幅值特性&#

27、39;);text(6,4,'N=16,detf=1/64');N=128;detf=1/16;n=0:N-1;x3(n+1)=sin(2*pi*0.125.*n)+cos(2*pi*(0.125+detf).*n);detf = 1/64;x4(n+1)=sin(2*pi*0.125.*n)+cos(2*pi*(0.125+detf).*n);figure;subplot(2,2,1);stem(n,x3);xlabel('n');ylabel('时域特性');axis(0 128 -2 2);text(6,1.5,'N=128,det

28、f=1/16');subplot(2,2,2);stem(n,abs(fft(x3);xlabel('n');ylabel('幅值特性');axis(0 128 -10 70);text(40,60,'N=128,detf=1/16');subplot(2,2,3);stem(n,x3);xlabel('n');ylabel('时域特性');axis(0 128 -2 2);text(6,1.5,'N=128,detf=1/16');subplot(2,2,4);stem(n,abs(fft

29、(x4);xlabel('n');ylabel('幅值特性');axis(0 128 -10 70);text(40,60,'N=128,detf=1/16');实验现象分析： 由图可以看出N=16时，当f由1/16减小为1/64时，频谱图发生较大变化。此时分辨出1/64对频率的分辨率要求提高，需要通过增大信号序列长度以提高频率的分辨率。f由1/16减小为1/64时，此时采样是非周期采样，DFT后导致频谱泄漏，栅栏效应使得无法显现出0.125+1/64和0.125两个频率谱峰。   当N增加至128时，频谱更加密集，分辨率提高

30、（1/128），能够分辨出两谱峰。(5)、用FFT分别实现xa(n)（p8，q2）和 xb(n)（a0.1，f0.0625）的16点圆周卷积和线性卷积。clear all;N=16;n=0:N-1;p=8;q=2;Xa(n+1)=exp(-(n-p).2./q);a=0.1;f=0.0625;Xb(n+1)=exp(-a.*n).*sin(2*pi*f.*n);Fa=fft(Xa); Fb=fft(Xb);Fx=Fa.*Fb;X51=ifft(Fx);stem(n,X51);Xa(N+1:2*N-1)=0;Xb(N+1:2*N-1)=0;Fa=fft(Xa); Fb=fft(Xb);Fc=Fa

31、.*Fb;X52=ifft(Fc);figure;stem(1:2*N-1,X52);（6） 产生一512点的随机序列xe(n)，并用xc(n)和xe(n)作线性卷积，观察卷积前后xe(n)频谱的变化。要求将xe(n)分成8段，分别采用重叠保留法和重叠相加法。 重叠保留法：1 在长序列xe(n)前补N1-1=7个零，由于最后输出y(n)要多取8个，为满足L>=N1+N2-1,在xe(n)末尾补8个零，构成长度为527的序列；2 分段时从xe(n)中每次取72个数，即要做72点的DFT，但每次取数的起始点为每隔65个开始取一次，即相邻两段之间有7个数是相重叠的，也就是将要去掉的部分；3 将

32、短序列xc(n)作72点的DFT，与每段序列做圆周卷积；4 去掉所得每段卷积序列的前N1-1=7个点，取其后的65个点。将各相邻段收尾连结起来，构成长为519 的线性卷积序列。程序代码：n=1:512;xe1=randn(1,512);n=1:7; xe(n)=0;n=8:519; xe(n)=xe1(n-7);n=520:527; xe(n)=0;n=1:4; xc(n)=n-1;n=5:8; xc(n)=9-n;n=0:526subplot(2,1,1);stem(n,xe);ylabel('xe(k)');title('512点的随机序列');subplo

33、t(2,1,2);n=0:7;stem(n,xc); y1=conv(xe1,xc);figure; subplot(2,1,1); n=0:518; stem(n,y1); ylabel('y1(n)');title('线性卷积');hxc=fft(xc,72);y=zeros(1,527);for i=0:7 n=(65*i+1):65*(i+1)+7; xi(n-65*i)=xe(n); hxi=fft(xi,72); yi=ifft(hxc.*hxi); k=(65*i+1):65*(i+1); y(k)=yi(k-65*i+7);end subplot(2,1,2);m=0:526;stem(m,y);ylabel('y(n)');t