边界层流动课件

1、边界层流动第四章第四章 边界层流动边界层流动 本章重点讨论本章重点讨论Prandtl边界层、边界边界层、边界层积分动量方程、管道进口段内的流体层积分动量方程、管道进口段内的流体流动和边界层分离等内容。流动和边界层分离等内容。边界层流动第一节第一节 边界层的概念边界层的概念一、一、Prandtl 边界层理论的要点边界层理论的要点 当实际流体沿固体壁面流动时，紧贴壁面的一层流体由于黏性当实际流体沿固体壁面流动时，紧贴壁面的一层流体由于黏性作用将黏附在壁面上而不滑脱，即在壁面上的流速为零；而由于流作用将黏附在壁面上而不滑脱，即在壁面上的流速为零；而由于流动的动的Re数很大，流体的流速将由壁面处的零值

2、沿着与流动相垂直的数很大，流体的流速将由壁面处的零值沿着与流动相垂直的方向迅速增大，并在很短的距离内趋于定值。方向迅速增大，并在很短的距离内趋于定值。 Prandtl 认为，在壁面附近区域存在着一薄的流体层，在该认为，在壁面附近区域存在着一薄的流体层，在该层流体中与流动相垂直的方向上的速度梯度很大。这样的一层流层流体中与流动相垂直的方向上的速度梯度很大。这样的一层流体称为边界层。体称为边界层。 在边界层内，惯性力与黏性力量级相同，绝不能忽略黏性力的在边界层内，惯性力与黏性力量级相同，绝不能忽略黏性力的作用，即把流动视作黏性流体的有旋流动。作用，即把流动视作黏性流体的有旋流动。 在边界层以外的在

3、边界层以外的区域区域( (主流区域主流区域) )，流体的速度梯度极小，在该流体的速度梯度极小，在该区域中可以忽略黏性力的作用，将其视为理想流体的有势流动。区域中可以忽略黏性力的作用，将其视为理想流体的有势流动。边界层流动二、边界层的形成过程二、边界层的形成过程黏性流体沿平板壁面的流动黏性流体沿平板壁面的流动边界层的形成和发展。边界层的形成和发展。 临界距离临界距离 xc： 由层流边界层开始转变由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离。为湍流边界层的距离。 xc 的大小与壁面前缘的的大小与壁面前缘的形状、壁面的粗糙度、流体形状、壁面的粗糙度、流体性质以及流速等因素有关。壁面愈粗糙，前缘愈钝，则性质

4、以及流速等因素有关。壁面愈粗糙，前缘愈钝，则 xc 愈小。愈小。 平板壁面上流动平板壁面上流动 Re 定义定义 临界临界Re 定义定义对于光滑的平板壁面，临界对于光滑的平板壁面，临界Re 范围为范围为 ： 。通常可取通常可取 。2.4.0uxRecxc1.4.0 xuRex65103102cxRe5105cxRe边界层流动黏性流体通过圆管的流动边界层的形成和发展。黏性流体通过圆管的流动边界层的形成和发展。 进口段流动：边界层汇合以前的区域中的流动。进口段流动：边界层汇合以前的区域中的流动。 充分发展的流动：边界层汇合以后的流动。充分发展的流动：边界层汇合以后的流动。 管内流动充分发展后的流型和

5、边界层厚度管内流动充分发展后的流型和边界层厚度( (管的内半径管的内半径) )均保持均保持不变，判断流动形态的不变，判断流动形态的Re定义为定义为当当Re2000Re2000时，管内流动维持层流。时，管内流动维持层流。3.4.bduRe边界层流动三、边界层厚度的定义三、边界层厚度的定义 按照按照 PrandtlPrandtl 边界层理论，当真实流体以大边界层理论，当真实流体以大 ReRe 流过固体壁面流过固体壁面时，将形成理想无旋的主体流动区域，和黏性有旋的边界层区域。时，将形成理想无旋的主体流动区域，和黏性有旋的边界层区域。 亦即根据壁面法向上的速度梯度对流体流动所作的一种定性的亦即根据壁面

6、法向上的速度梯度对流体流动所作的一种定性的区域划分。区域划分。 虽然边界层和主流动区域实际分界线并不存在，但为了有效划虽然边界层和主流动区域实际分界线并不存在，但为了有效划分这两个区域以便于分析、计算，人为规定边界层的外边界，即：分这两个区域以便于分析、计算，人为规定边界层的外边界，即： 当流体的流速沿壁面的法向达到主体流速的当流体的流速沿壁面的法向达到主体流速的9999的位置为边界的位置为边界层的外边界。层的外边界。 边界层外边界离固体壁面的距离定义为边界层厚度，即边界层外边界离固体壁面的距离定义为边界层厚度，即 边界层厚度边界层厚度 随流体的性质随流体的性质( (密度、黏度密度、黏度) )

7、、来流速度、来流速度 u0 以及以及流动距离流动距离 x 而变化。而变化。 通常通常 约在约在10- -3的量级。的量级。44.%990uuxy边界层流动第二节第二节 Prandtl 边界层方程边界层方程一、一、Prandtl 边界层方程的推导边界层方程的推导 对于不可压缩流体在无限宽平板壁面上的稳态流动，在流体自对于不可压缩流体在无限宽平板壁面上的稳态流动，在流体自平板前缘至临界距离平板前缘至临界距离 xc 内形成的二维层流边界层内建立内形成的二维层流边界层内建立N-S方程。方程。已知已知与惯性力、黏性力相比，忽略重与惯性力、黏性力相比，忽略重力的影响，即力的影响，即依此已知条件，可对不可压

8、缩流依此已知条件，可对不可压缩流体的体的N-S方程方程(2-45)(2-45)和连续性方程和连续性方程(2-20)(2-20)进行进行简化。简化。0z , 0 , , 0zuconst)0, 0( 0ZXY边界层流动 x 方向方向 N- -S 方程方程简化为简化为 y 方向方向 N- -S 方程方程简化为简化为连续性方程连续性方程简化为简化为式式(4-6a)(4-6a)、式、式(4-6b)(4-6b)和式和式(4-7)(4-7)构成二阶非线性偏微分方程组。构成二阶非线性偏微分方程组。azuyuxuxpXzuuyuuxuuxxxxzxyxx452.1222222ayuxuxpyuuxuuxxxy

9、xx64.12222bzuyuxuypYzuuyuuxuuyyyyzyyyx452.1 222222byuxuypyuuxuuyyyyyx64.1222202.20.zuyuxuzyx7.40.yuxuyx边界层流动依据大依据大 Re 数下边界层流动的两个重要性质数下边界层流动的两个重要性质: (1) (1)与物体的特征尺寸相比，边界层的厚度要小得多；与物体的特征尺寸相比，边界层的厚度要小得多； (2) (2)边界层内的黏性力与惯性力的量级相同。边界层内的黏性力与惯性力的量级相同。采用采用数量级分析数量级分析方法对式方法对式(4-6a)(4-6a)和式和式(4-6a)(4-6a)作进一步简化。

10、作进一步简化。 取取 x 为距离的标准量阶，即为距离的标准量阶，即 x =O(1),=O(1),外流速度外流速度 u0 0为流速的标准为流速的标准量阶，即量阶，即u0 0 =O(1),=O(1),且这两个物理量的量阶相当。且这两个物理量的量阶相当。 取边界层的厚度取边界层的厚度 为另一个为另一个标准量阶，即标准量阶，即 =O(=O() )。对式对式(4-6a)(4-6a)中的各项进行量阶中的各项进行量阶分析如下：分析如下： OyyOOOOxuxuxuOOOxuxuxuOuuxxxxxxxx : 1111 :111 : 1 : 22222边界层流动将以上各式代入式将以上各式代入式(4-6a)(4

11、-6a) OuOyyuyuxuxuuyyyxxy , , 1O , 0 , 1O :故而知由因 22222221O1 1O1 OOyuyuyuOOyuyuyuxxxxxx： 222221 1 1 1 1 O64.1 ayuxuxpyuuxuuxxxyxx边界层流动可知可知故，忽略故，忽略 x 方向黏性力的变化。即方向黏性力的变化。即因，边界层内的黏性力与惯性力的量阶相同，固有因，边界层内的黏性力与惯性力的量阶相同，固有由此可得由此可得这表明，欲获得边界层流动，流体的黏度需要非常低的数值。这表明，欲获得边界层流动，流体的黏度需要非常低的数值。压力是在惯性力与黏性力之间起平衡作用的被动力，由式压力

12、是在惯性力与黏性力之间起平衡作用的被动力，由式(4-6a)(4-6a)知知2O2222yuxuxx 11222OOyux 11Oxp221 yuxpyuuxuuxxyxx边界层流动对式对式(4-6b)(4-6b)中的各项进行量阶中的各项进行量阶分析如下：分析如下：将以上各式代入式将以上各式代入式(4-6b)(4-6b) 1 :11 :1 : 1 : 2222222222OOOOyuyuyuOOOOxuxuxuOOOyuyuyuOOOxuxuxuyyyyyyyyyyyy 1 1 1 O64.1 22222byuxuypyuuxuuyyyyyx边界层流动由上式可知由上式可知由上述分析可知，式由上述

13、分析可知，式(4-6a)(4-6a)的各项的量阶均为的各项的量阶均为O(1)O(1)，而式，而式(4-6b)(4-6b)的的各项的量阶均为各项的量阶均为 O(O() )，因此可略去式，因此可略去式(4-6b)(4-6b)，亦即忽略，亦即忽略 y y方向的方向的运动方程。运动方程。比较两式的压力项可发现：比较两式的压力项可发现：即即亦即，在边界层内压力沿物面法线方向的变化很小，即亦即，在边界层内压力沿物面法线方向的变化很小，即即，沿流动法线方向流体的压力梯度可忽略，也即，压力可穿过边即，沿流动法线方向流体的压力梯度可忽略，也即，压力可穿过边界层保持不变。而主流区的压力分布可由势流确定。界层保持不

14、变。而主流区的压力分布可由势流确定。 Oyp OOOxpypxpyp111 Oyp184.0yp边界层流动综上所述，综上所述，式式(4-6a)(4-6a)与式与式(4-6b)(4-6b)最终可化简为最终可化简为不可压缩流体的连续性方程仍为不可压缩流体的连续性方程仍为式式(4-9)(4-9)称为称为 PrandtlPrandtl边界边界层层方程。适用于平板壁面上或楔形物面上方程。适用于平板壁面上或楔形物面上的边界层流动。式的边界层流动。式(4-9)(4-9)与式与式(4-7)(4-7)为二阶非线性偏微分方程组，满为二阶非线性偏微分方程组，满足的边界条件为足的边界条件为 边界层厚度的量阶：边界层厚

15、度的量阶：因因故得故得7.4.0yuxuyx0: )2( ; 0 , 0:0 ) 1 (uuyuuyxyx94.122yuxpyuuxuuxxyxx 220111OOOOxuRe21211 1xxReOxReO或边界层流动二、平板层流边界层的精确解二、平板层流边界层的精确解( (一一) )平板层流边界层的平板层流边界层的 Blasuis 精确解精确解求求PrandtlPrandtl边界边界层方程层方程式式(4-9)(4-9)的的 Blasuis 精确解。精确解。边界边界层层外的流动可视为理想流体的势流，在边界外的流动可视为理想流体的势流，在边界层层外的水平高度上外的水平高度上，由，由Berno

16、ulli方程，有方程，有两侧分别对两侧分别对 x 求导，得求导，得 u0 为常数，可知为常数，可知由式由式 ，即压力可穿过边界层保持不变，可知式，即压力可穿过边界层保持不变，可知式(4-12)(4-12)在边界层内依然成立。在边界层内依然成立。10.4.220常数up114.0dddd00 xuuxp124.0ddxp84.0yp边界层流动将式将式(4-12)(4-12)代入式代入式(4-9)(4-9) ，得，得连续性方程仍为连续性方程仍为对于边界层内的稳态平面流动而言，必然存在一个由式对于边界层内的稳态平面流动而言，必然存在一个由式(3-107a)(3-107a)、式式(3-107b)(3-

17、107b)定义的流函数定义的流函数代入式代入式(4-13),(4-13),得得该式为三阶非线性偏微分方程。相应的边界条件变为该式为三阶非线性偏微分方程。相应的边界条件变为即边界流函数为常数。即边界流函数为常数。134.22yuyuuxuuxxyxxbxuayuyx107.3. 107.3.7.4.0yuxuyx144.33222yyxyxy 0: 3 ; 0:0 2 ; 0:0 ) 1 (uyyxyyy边界层流动 PrandtlPrandtl边界层方程式边界层方程式(4-14) (4-14) 的的Blasuis 相似性相似性解解 相似性基于这样的理解，即认为离平板前缘不同距离处的边界相似性基于

18、这样的理解，即认为离平板前缘不同距离处的边界层内的速度分布是相似的。即在不同的层内的速度分布是相似的。即在不同的 x 处存在函数处存在函数 f ，使得，使得具有这种性质的解称为具有这种性质的解称为边界层方程的边界层方程的相似性相似性解。解。相似性相似性解只依赖于解只依赖于一个组合变量一个组合变量 y / (x)，如果选此变量为自变量，则原来的偏微分，如果选此变量为自变量，则原来的偏微分方程可转化为常微分方程。方程可转化为常微分方程。研究表明研究表明基于这一认识引入一无量纲变量基于这一认识引入一无量纲变量 ，定义为，定义为根据前面的设定，根据前面的设定，ux/u0 对对 具有相似性，即具有相似性

19、，即15.4.00 xuyuxy Auux.0 xyuux00ux边界层流动因因对对式式(4-15)(4-15)求导求导，代入上式，得，代入上式，得将式将式(A)代入上式，得代入上式，得将将式式(B)(B)积积分，得分，得 g(x) 由边界条件确定。由边界条件确定。yyux )(.00000Bxuxuuxuu )(.00Cxgdxuxuux0边界层流动由边界条件式由边界条件式(1)(1)、式式(2)(2)知，在壁面流函数知，在壁面流函数 为常数。由于流函数为常数。由于流函数值只有相对意义，因此可以认为壁面处的流函数值为零。于是值只有相对意义，因此可以认为壁面处的流函数值为零。于是边界边界条件式

20、条件式(1)(1)、式式(2)(2)可写成可写成当当 = 0 时时 ，故要使式，故要使式(C)(C)满足满足边界条件式边界条件式(1a)(1a)，只，只有有 g(x) = 0，即，即令令则有则有或写成或写成 00d(1a). 0 , 0 Ddxu.00 Efd.0 16-4.0 xuf 17-4.0fxu 边界层流动 ( x , y ) 为一无量纲自变量，流函数为一无量纲自变量，流函数 为有量纲变量，其单位为有量纲变量，其单位为为 m/ /s m。由式。由式(4- -16)可知可知 f () 可视为无量纲流函数。可视为无量纲流函数。 式式(4-15)(4-15)和式和式(4-16)(4-16)

21、通常称为相似变换。通常称为相似变换。 为了将式为了将式(4-14)(4-14)转换为无量纲位置变量转换为无量纲位置变量( ( x , y ) )和无量纲流函和无量纲流函数数 f( ( ) )表达的形式，分别计算表达的形式，分别计算 的各阶导数：的各阶导数：20-4.dd19-4.dd18-4.dd ydddd2033000033002202200000fxuyfxuufxuuyyfxuuyfuyyyfufuxuyfxuyfxuy 边界层流动 22-4.21 21uy dddd21-4.21 21dd21 dd0300000020300000fxuxuyfuxxfuxfufuxyxyxffxux

22、uyfxufxuxfxuxuxfx 边界层流动将式将式(4-18)(4-18)式式(4-22)(4-22)代入式代入式(4-14)(4-14)，简化后得，简化后得相应的边界条件为相应的边界条件为 f ( () )所满足的方程式所满足的方程式(4-23)(4-23)是一个三阶非线性常微分方程，无法是一个三阶非线性常微分方程，无法求出严格的解析解。求出严格的解析解。Blasius Blasius 给出了级数形式的近似解给出了级数形式的近似解: :数值解见书数值解见书82页表页表4-14-1。234 .02 0dddd22233 f fffff或 1: 3 0 : 0 20: 0 1fff244 .

23、 104277. 1 104972. 2105943. 416603. 011886542f边界层流动( (二二) )边界层厚度与曳力系数边界层厚度与曳力系数 应用式应用式(4-24)(4-24)或表或表4-1,4-1,可求出边界层内的速度分布、边界层厚可求出边界层内的速度分布、边界层厚度、摩擦曳力和曳力系数。度、摩擦曳力和曳力系数。根据流函数的定义和式根据流函数的定义和式(4-18)(4-18)、式、式(4-21)(4-21)可得可得对于给定的位置对于给定的位置( (x, ,y) )，可由式，可由式(4-24)(4-24)或表或表4-14-1求出对应的求出对应的、f 和和 f ，再由式，再由

24、式(4-25)(4-25)和式和式(4-26)(4-26)求出求出相应的相应的 ux 和和 uy。26-4.2125-4.00ffxuxufuyuyx边界层流动边界层厚度的定义为边界层厚度的定义为由表可知由表可知由式由式(4-15)(4-15)可得可得或或式式(4-28)(4-28)即为平板壁面上层流边界层厚度的计算式。即为平板壁面上层流边界层厚度的计算式。15.4.00 xuyuxy28.4.0 . 527.4.0 . 5210 xRexux44.%990uuxy5.0 9915. 00时fuux边界层流动流体沿平板壁面流动时产生的摩擦曳力：流体沿平板壁面流动时产生的摩擦曳力：壁面处的剪应力

25、壁面处的剪应力s 随流动距离随流动距离 x 变化，以变化，以sx 表示，称为局部剪表示，称为局部剪应力。根据广义应力。根据广义 Newton 粘性定律式粘性定律式(2-42a)(2-42a)可得可得忽略忽略 项，得项，得由式由式(4-19)(4-19)axuyuyxyxxy422.1 1 0Oxuyuyyxsxxuy0 yxsxyu 0 000220fxuuyyuyyx 边界层流动查表，壁面处查表，壁面处 y=0，=0，f (0)(0)=0.33206，固有，固有距平板前缘距平板前缘 x 处的局部摩擦曳力系数为处的局部摩擦曳力系数为流过长度为流过长度为 L、宽度为宽度为 b 的平板壁面所受总曳

26、力的平板壁面所受总曳力 。流过平板时流过平板时，由于压力在壁面上分布均匀由于压力在壁面上分布均匀，故忽略形体曳力故忽略形体曳力Fdf，有，有平均曳力系数平均曳力系数 CD 为为 294.33206.002120000 xyxsxReufxuuyu304.664.022120 xsxDxReuCdsdfdFFF 324.664.0d33206.0 d0d300000000d LubxxubuxfxuubxbFLLLsx334.328.1664.02221203020dLDReLbuLubAuFC边界层流动式式(4-32)(4-32)表明，表明，而在小而在小ReRe数的爬流流动中数的爬流流动中因此

27、大因此大 Re Re 的摩擦曳力较大。的摩擦曳力较大。式式(4-29)(4-29) 表明，表明，这是因为在平板下游边界层较厚，壁面的剪应力相应地较小，因此这是因为在平板下游边界层较厚，壁面的剪应力相应地较小，因此曳力较前缘小。曳力较前缘小。Blasuis 精确精确解的上述结果在层流范围内与实验数据符合得很好。解的上述结果在层流范围内与实验数据符合得很好。324.664.030dsdLubFF230dsuF833.642000000urururFFFdsdfd0dsuF294.33206.021200 xyxsxReuyu21 xsx边界层流动第三节第三节 边界层积分动量方程边界层积分动量方程卡

28、门卡门( (Von Krmn) )边界层积分动量方程的基本思想：边界层积分动量方程的基本思想： 首先对边界层进行首先对边界层进行微分动量衡算微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方，导出一个边界层积分动量方程，然后用一个只依赖于程，然后用一个只依赖于 x 的单参数速度剖面的单参数速度剖面 ux( ( y ) )近似地代替近似地代替真实速度侧形真实速度侧形ux( ( x , y ) )，将其代入边界层积分动量方程中积分，将其代入边界层积分动量方程中积分求解，从而得到边界层厚度、曳力系数等物理量的表达式。求解，从而得到边界层厚度、曳力系数等物理量的表达式。边界层流动一、边界层积分动量方程的推导一、边

29、界层积分动量方程的推导 密度为密度为 、黏度为、黏度为 的不可压缩流体在光滑壁面上稳态流动的不可压缩流体在光滑壁面上稳态流动。主流速度。主流速度 u0 0，距平板前缘，距平板前缘 x 处的边界层厚度为处的边界层厚度为。 在在距平板前缘距平板前缘 x 处取一微元控制体处取一微元控制体 dV = = dx 1( (在板的宽在板的宽度方向取单位宽度度方向取单位宽度) )。将动量守恒原理用于该微元控制体，将动量守恒原理用于该微元控制体，得得仅考虑仅考虑 x 方向的分量则为方向的分量则为344.ddumF354.ddxxmuF边界层流动 考察微元控制体考察微元控制体 x 方向上的动量变化方向上的动量变化

30、(1)1-2(1)1-2截面。流体由该控制面流入。截面。流体由该控制面流入。取微元截面取微元截面 ，则，则 dA 上的质量流率和动量流率为上的质量流率和动量流率为积分，得通过整个积分，得通过整个1-21-2截面的质量流率和动量流率，为截面的质量流率和动量流率，为(2)3-4(2)3-4截面。流体由该控制面流出。截面。流体由该控制面流出。(3)1-4(3)1-4截面。无流体质量和动量的流入截面。无流体质量和动量的流入与流出。与流出。1dd yA1dd 1dd211yuJyumxxxyuxJxxJJJxyuxmxxmmmxxd1dd d1dd02111201112021011d 1dyuJyumx

31、x0 044Jm边界层流动(4)2-3(4)2-3截面。截面。根据质量守恒定律，稳态下由此截面流入的质量流率应为根据质量守恒定律，稳态下由此截面流入的质量流率应为 3-43-4截面截面与与 1-21-2截面的质量流率之差，即截面的质量流率之差，即由于由于2-32-3截面取在边界层的外缘处，此处流体均以截面取在边界层的外缘处，此处流体均以u0 0流入控制体内，流入控制体内，故从该截面流入的动量流率为故从该截面流入的动量流率为整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即xyuxmmmxd1d0123xyuuxmuJxd1d00303364

32、.dd d1dd1ddd000002312xyuuuxxyuuxxyuxJJJmuxxxxx边界层流动 考察作用在微元控制体考察作用在微元控制体 x 方向上的力方向上的力( (坐标坐标 x 方向为正方向为正) )(1)(1)作用在作用在1-41-4截面上的力，为剪应力引起的摩擦曳力，即截面上的力，为剪应力引起的摩擦曳力，即(2)(2)作用在作用在1-21-2截面上的力，为压力，即截面上的力，为压力，即(3)(3)作用在作用在3-43-4截面上的力，为压力，即截面上的力，为压力，即(3)(3)作用在作用在2-32-3截面上的力，因该截面与截面上的力，因该截面与理想流体接壤，无剪应力，仅存在流体理

33、想流体接壤，无剪应力，仅存在流体的压力，即的压力，即因此，作用在整个微元控制体因此，作用在整个微元控制体 x 方向上的合外力为方向上的合外力为xxssd1dxxpxxpd1dpp1xxppxxppd1d374.ddddxxpxxxpxxpppFssx边界层流动将式将式(4-36)(4-36)、式、式(4-37)(4-37)代入式代入式(4-35),(4-35),得得由于推导过程中假定流体仅沿由于推导过程中假定流体仅沿 x 方向流动方向流动，故上式可写成常微分的故上式可写成常微分的形式形式式式(4-39)(4-39)称为卡门称为卡门( ( Von Krmn ) )积分动量方程积分动量方程, ,或

34、边界层积分动或边界层积分动量方程。既适用于层流也适用于湍流，量方程。既适用于层流也适用于湍流，还可用于曲面物体边界层还可用于曲面物体边界层。对于平板壁面的层流边界层，在边界层内对于平板壁面的层流边界层，在边界层内 dp/ /dx = = 0 0，故式，故式(4-39)(4-39)变为变为若已知若已知 即可求得即可求得 s，进而由式，进而由式(4-40)(4-40)求得求得 ，以及，以及曳力系数等。曳力系数等。384 .d00sxxxpyuuux394 .ddddd00sxxxpyuuux404 .d dd00sxxyuuux yuuxx边界层流动二、平板层流边界层的近似解二、平板层流边界层的近

35、似解( (一一) )边界层内速度侧形的确定边界层内速度侧形的确定 实验表明，平板层流边界层内的速度侧形可近似用实验表明，平板层流边界层内的速度侧形可近似用 n 次多项式次多项式函数逼近，即函数逼近，即 ai 为待定系数，可通过速度侧形为待定系数，可通过速度侧形 ux 在边界层边界上所满足的条件在边界层边界上所满足的条件确定。确定。(1)(1)速度侧形在速度侧形在 y = 处应满足的条件处应满足的条件(2)(2)速度侧形在壁面上速度侧形在壁面上应满足的条件应满足的条件424. , 0 , 0 , 0 , , 33220yuyuyuuuyxxxxniiixyau0414.434. , 0 , 0

36、, 0 , 03322yuyuuyxxx边界层流动为了确定为了确定 n 次多项式函数式次多项式函数式(4-41)(4-41)中的待定系数中的待定系数ai( (i=0,1,2,=0,1,2,n),),可以从式可以从式(4-42)(4-42)与式与式(4-43)(4-43)中选取中选取 n+1n+1个最重要的边界条件，将其个最重要的边界条件，将其代入式代入式(4-41)(4-41)，得到含有，得到含有 n+1n+1个未知量的代数方程组，求解该方程个未知量的代数方程组，求解该方程组即可得组即可得 ai( (i=0,1,2,=0,1,2,n) )。 以下给出以以下给出以 1 1次至次至 4 4次多项式

37、求得的速度侧形：次多项式求得的速度侧形：1.1.线性多项式线性多项式2.2.二次多项式二次多项式3.3.三次多项式三次多项式4.4.四次多项式四次多项式最常用的是以三次多项式确定所要求得的速度侧形。最常用的是以三次多项式确定所要求得的速度侧形。ayuux444 .0ayyuux454 .220ayyuux464 .212330ayyyuux474 .22430边界层流动( (二二) )平板层流边界层的近似解平板层流边界层的近似解 以最常用的三次多项式所求得的速度侧形为例，说明边界层积以最常用的三次多项式所求得的速度侧形为例，说明边界层积分动量方程的求解方法。分动量方程的求解方法。将式将式(4-

38、46a)(4-46a)代入式代入式(4-40)(4-40) ，得，得积分，得积分，得484.dd2803920sxusxxxxyyyyyxuyuuuuuxyuuuxd 212312123ddd 1ddd dd033200002000边界层流动式式(4-48)(4-48)右侧的右侧的 s 可由牛顿黏性定律及式可由牛顿黏性定律及式(4-46a)(4-46a)得到得到将式将式(4-49)(4-49)代入式代入式(4-48)(4-48)，化简可得，化简可得边界条件为边界条件为将式将式(4-50)(4-50)积分求解，得积分求解，得无量纲形式为无量纲形式为494.232323dd0023000uyuuy

39、uyyxs504.d13140d0 xu0 , 0 x514.64. 464. 400uxux524.64. 4164. 4210 xRexux边界层流动 确定流体沿平板壁面流动时产生的摩擦曳力确定流体沿平板壁面流动时产生的摩擦曳力将式将式(4-51)(4-51) 代入式代入式(4-49)(4-49)可得可得距平板前缘距平板前缘 x 处的局部摩擦曳力系数为处的局部摩擦曳力系数为494.23dd00uyuyxs514.64. 464. 400uxux534.323. 064. 423232120000 xsReuuxuu544.646. 022120 xsDxReuC边界层流动流过长度为流过长度

40、为 L、宽度为宽度为 b 的平板壁面所受总曳力的平板壁面所受总曳力Fd，为，为平均曳力系数平均曳力系数 CD 为为 在应用上述公式进行运算时，流体所处的位置应该距平板前缘在应用上述公式进行运算时，流体所处的位置应该距平板前缘足够远，即足够远，即554.646. 0d323. 0 d323. 0d300000000dLubxxubuxuxubxbFLLLsx564.292. 1292. 1646. 022210203020LdDReLubLuLubAuFCLx 或边界层流动第四节第四节 管道进口段内的流体流动管道进口段内的流体流动流体在管道内的流动可分为性质截然不同两部分：流体在管道内的流动可分

41、为性质截然不同两部分：(1)(1)管道进口段内的流动：管道进口段内的流动： 进口段为层流边界层，而后在管中心汇合形成充分发展的层进口段为层流边界层，而后在管中心汇合形成充分发展的层流流动；流流动； 在进口段内首先形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流边界在进口段内首先形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流边界层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流流动；层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流流动；(2)(2)边界层在管中心汇合后充分发展的流动。边界层在管中心汇合后充分发展的流动。边界层流动 不可压缩流体在圆管内做稳态流动，对于进口段为层流边界层不可压缩流体在圆管内做稳态流动，对于进口段为层流边界层的情况

42、，管道进口段内的边界层为二维流动。的情况，管道进口段内的边界层为二维流动。 由于流动沿管轴对称，即由于流动沿管轴对称，即重力的影响很小可忽略，则柱坐标系的运动方程式重力的影响很小可忽略，则柱坐标系的运动方程式(2-47)(2-47)0 , 0uazuururrurrrrpXzuuruururuuurrrrrzrrrr472.21112222222czuurrurrrzpXzuuururuuuzzzzzzzzrz472.11122222边界层流动可简化为可简化为 为一非线性二阶偏微分方程。为一非线性二阶偏微分方程。 Langhaar Langhaar根据圆管进口段边界层流动特点，并结合实验数据，

43、根据圆管进口段边界层流动特点，并结合实验数据，将复杂的二维流动近似为仅沿将复杂的二维流动近似为仅沿 z 轴向的一维流动，并将式轴向的一维流动，并将式(4-57a)(4-57a)左侧的惯性力近似为左侧的惯性力近似为 z 的线性函数，得到圆管进口段边界层流动的的线性函数，得到圆管进口段边界层流动的简化方程，即简化方程，即 I0 和和I2 分别是第一类贝塞尔函数分别是第一类贝塞尔函数，r 和和ri 分别是距管中心的距离和管分别是距管中心的距离和管半径，是半径，是( (z/ /d)/)/Re的函数，的函数，Re= =dub/ /。azururrrrpzuuruurrrzrr574.1122bzurur

44、rrzpzuuruuzzzzzr574.1122 584.2000zIzrrIzIuuiz边界层流动LanghaarLanghaar给出了计算流动进口段长度的表达式给出了计算流动进口段长度的表达式式中式中 d 为管内径。式为管内径。式(4-59)(4-59)与实验结果一致。与实验结果一致。594.0575. 0RedLe边界层流动 范宁摩擦因数范宁摩擦因数 f 在在管的进口附近是最高的，其后沿流动方向平管的进口附近是最高的，其后沿流动方向平缓地减小，最后趋于流动充分发展后的不变值。缓地减小，最后趋于流动充分发展后的不变值。管道进口段摩擦阻力较大的原因：管道进口段摩擦阻力较大的原因：(1)(1)进口附近速度梯度较大，此速度梯度沿流动方向逐渐减小，而进口附近速度梯度较大，此速度梯度沿流动方向逐渐减小，而当流动充分发展时变为常数；当流动充分发展时变为常数；(2)(2)由于流体流动的连续性，使得边界层外部的流体流速增大。换由于流体流动的连