连续函运算课件

1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 1.81.8二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性xx cot,tan也连续（在其定义域内）也连续（在其定义域内）一、连续函数的四则运算一、连续函数的四则运算( 利用极限的运算法则利用极限的运算法则)连续xx cos,sin定理定理13 连续函数的和、差、积、商（分母不为连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续的函数仍是连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在在,22上连续且单调增加，上连续且单调增加，其反函数其反函数xyarcsin在在 1 , 1 上也连续且单调增加上也连续且单调增加.定理定理4.

2、 连续的单调函数连续的单调函数 的反函数的反函数 也是也是连续函数，并且与连续函数，并且与 具有相同的单调性。具有相同的单调性。)(xf)(1xf )(xf二、反函数的连续性二、反函数的连续性（证略）（证略）三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性xey 在在),(上连续且单调增加上连续且单调增加,其反函数其反函数xyln在在),0(上也连续且单调增加上也连续且单调增加.证证: 设函数设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连连续续在在点点函函数数uufy . )()(lim00ufufuu于是于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数故复合函数

3、)(xf.0连续在点 x又如又如, 且且即即)(lim)(lim:00 xfxfxxxx 演演算算意意义义定理定理5,6. 两个两个连续函数的复合函数是连续函数连续函数的复合函数是连续函数.例如例如xy1sin是由连续函数是由连续函数),(,sinuuy因此因此xy1sin在在*Rx上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyo,1xu *Rx及及).0( xxy是连续函数，是连续函数，幂函数幂函数 幂函数可以看作复合函数幂函数可以看作复合函数xexln abbealn 公公式式例例: 求极限求极限39lim23 xxx解：解：6)3(lim3 xx原原式式？6limlim3)3(lim663 u

4、uxuxuux原原式式。的连续性的连续性这里用到了这里用到了u.)lim()(lim00 xfxfxxxx 四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续定理定理7. 一切初等函数在一切初等函数在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1(端点为单侧连续端点为单侧连续)xysinln的连续区间为的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(例例. . 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (

5、loglim0ealogaln1例例. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat则则, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln特别特别: 当当, ea 时时, 有有)0(x,)1ln(xx .1xex 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明: 分段函数在分界点处是否连续需讨论其分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连

6、续性.例例. . 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xx6eex0lim x3x2.lnlimlimlnbaabewevuabw 由指数函数的连续性得由指数函数的连续性得,lnlimlim:uvevu 证证,ln)ln(limabuv 由由于于.lnlimabw 于于是是,lnuvw 取取代代换换幂指型极限的分解幂指型极限的分解例例.,lim,0lim,bvauvu 都都是是因因变变量量且且设设bavuvu lim)(limlim:证证明明lim x例例. . 求求.)cos(sinlim11xxxx 解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx 2)sin1(lim2xxx )sin1(2x e xx22sinx2sin1.)1(lim,:aexxaax 都都有有对对于于任任何何实实数数证证明明.的的连连续续性性最最后后一一步步用用到到了了幂幂函函数数指出下列演算的错误指出下列演算的错误.11)1(lim)1(limlimlim xxxxxxxaxxa则有则有不妨设不妨设时结论显然成立时结论显然成立证证.0.0: aa.lim)1()1(limaaeuaxxaxeuuaaxxa 原式原式思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxf