勾股定理小结

1、一、主要内容一、主要内容 勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。它的发现、证明和应用都蕴含着丰富的数界中也有着广泛的应用。它的发现、证明和应用都蕴含着丰富的数学的、文化的内涵。它是几何中的重要的定理之一。学的、文化的内涵。它是几何中的重要的定理之一。 教材为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和教材为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过空间，教学中要使学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程。程。 教材的设计过程中，希望学生能够

2、利用方格纸探索勾股定理内教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探索勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理。理的逆定理。 教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。当然限于学生的已有知识，及其逆定理的应用，体现其文化价值。当然限于学生的已有知识，问题解决中所设计的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对问题解决中所设计的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求复

3、杂计算。勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求复杂计算。二、二、评价建议评价建议1.1.关注对探索勾股定理等活动的评价。一方面要关注学生是否积极参关注对探索勾股定理等活动的评价。一方面要关注学生是否积极参与，是否能与同伴进行有效合作交流；另一方面也要关注学生在活动与，是否能与同伴进行有效合作交流；另一方面也要关注学生在活动中能否进行积极的思考，能否探索出解决问题的方法，在活动中学生中能否进行积极的思考，能否探索出解决问题的方法，在活动中学生所表现出的归纳，概括能力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所表现出的归纳，概括能力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。所获得的结论等。2.

4、2.关注考查勾股定理及其逆定理的理解和应用。注意评价时，不应以关注考查勾股定理及其逆定理的理解和应用。注意评价时，不应以复杂运算为主，我们应更关注学生对有关结论的正确使用。复杂运算为主，我们应更关注学生对有关结论的正确使用。三、教学目标三、教学目标1.1.经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。合情推理能力，体会数形结合的思想。2.2.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。定理解决一些实

5、际问题。3.3.掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。际问题。4.4.通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。四、教材特点四、教材特点 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。勾股定理应用。勾股定

6、理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 为了使学生能更好地认识勾股定理、发展推理能力，教科书设计了为了使学生能更好地认识勾股定理、发展推理能力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内瓤，试图让学生经历观察、归纳、猜想和拼图的方法验证

7、勾股定理的内瓤，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形逐渐的关系验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形逐渐的关系（如将（如将a a2 2,b,b2 2,c,c2 2与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的几种不同的代数表示得到勾股定理）几种不同的代数表示得到勾股定理） 勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求学生勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，教科书中没有给出从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，教

8、科书中没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。教科书勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。教科书以历史上古埃及人作直角的方法引入以历史上古埃及人作直角的方法引入“三角形的三边长如果满足三角形的三边长如果满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，是否能得到一个直角三角形，是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已的问题，然后通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。是直角三角形的有关边的条件。 为了让学生更好地体会勾股定理及逆

9、定理在解决实际问题中的作为了让学生更好地体会勾股定理及逆定理在解决实际问题中的作用，教科书提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用，用，教科书提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用，体现了它们的文化价值。限于学生已有是知识，有关应用中涉及的数体现了它们的文化价值。限于学生已有是知识，有关应用中涉及的数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理飞理解和实际应用，均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理飞理解和实际应用，而不追求计算上的复杂。在学生学习了无理数之后，可以再利用勾股而不追求计算上的复杂。在学生学习了无理数之后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题

10、。定理解决一些涉及无理数运算的实际问题。五、课时安排建议五、课时安排建议1.探索勾股定理探索勾股定理 2课时课时2.一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗 1课时课时3.勾股定理的应用勾股定理的应用 1课时课时六、具体内容分析六、具体内容分析1.探索勾股定理（第一课时）探索勾股定理（第一课时） 本节核心内容：勾股定理及它的探索过程本节核心内容：勾股定理及它的探索过程 在教学中，我们可以通过介绍我国数学家华罗庚的建议在教学中，我们可以通过介绍我国数学家华罗庚的建议-向宇宙发射勾股向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数

11、学家于2000年前就发年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题。其中课本中的现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题。其中课本中的“做做一做一做”采用的是数方格的方法；采用的是数方格的方法；“想一想想一想”是一个有趣的实际问题。是一个有趣的实际问题。 教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，鼓励学生尝试求出方格中三鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，鼓励学生尝试求出方格中三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，由此得到直角

12、三角形三边的关系，个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，由此得到直角三角形三边的关系，通过几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的通过几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达特殊过程和所得结论。当然教学时，教师也可以根据学生的实际情况，语言表达特殊过程和所得结论。当然教学时，教师也可以根据学生的实际情况，设计其他的探索情景。设计其他的探索情景。 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质，如有条件，还可以利用计算机（几何画板软件动态演示）的优越

13、条件，性质，如有条件，还可以利用计算机（几何画板软件动态演示）的优越条件，提供足够充分的典型材料提供足够充分的典型材料-形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，启发学生独立分析问题、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，启发学生独立分析问题、发现问题、总结问题的数学方法。发现问题、总结问题的数学方法。 教学中要注意：教学中要注意：1.多采取小组合作讨论

14、的方式；多采取小组合作讨论的方式；2.给学生留下充分的探索实给学生留下充分的探索实践的时间和空间；践的时间和空间；3.介绍相关的背景材料。介绍相关的背景材料。 2.探索勾股定理（第二课时）探索勾股定理（第二课时） 本节核心内容：用拼图来验证勾股定理及其简单运用。本节核心内容：用拼图来验证勾股定理及其简单运用。 在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现，在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现，教师在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关教师在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关几何图形，有几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学

15、生认识数几何图形，有几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系。例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由学的内在联系。例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到正方形的面积想到a2,b2,c2，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数导学生由数“a2+b2=c2想到正方形的面积。想到正方形的面积。”在教学中，在教学中，“想一想想一想”使学生进一步体会直角三角形三边的关系，要给学生充分的讨论空间。使学生进一步体会直角三角形三边的关系，要给学生充分的讨论空间。 勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴含了丰富的文化价

16、值，古代勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴含了丰富的文化价值，古代很多国家和民族都对勾股定理有不同程度的认识和了解，我国是最早很多国家和民族都对勾股定理有不同程度的认识和了解，我国是最早了解勾股定理的国家之一，当考虑等腰这就叫三角形的斜边时，这一了解勾股定理的国家之一，当考虑等腰这就叫三角形的斜边时，这一定理又导致了无理数的产生定理又导致了无理数的产生-数学历史上的第一次数学危机。教师应数学历史上的第一次数学危机。教师应鼓励每一个学生阅读教科书提供的勾股定理的历史，并可以向学生在鼓励每一个学生阅读教科书提供的勾股定理的历史，并可以向学生在展示一些历史资料。教师还可以引导学生自己从书籍、网络上查

17、阅资展示一些历史资料。教师还可以引导学生自己从书籍、网络上查阅资料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值。料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值。 3.一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗 本节核心内容是：掌握直角三角形的判别条件。本节核心内容是：掌握直角三角形的判别条件。 课本通过问题的提出，提示学生可以通过画图进一步探究，进课本通过问题的提出，提示学生可以通过画图进一步探究，进一步展现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，认识现实世界一步展现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴含着丰富的数学信息。在教学中，中蕴含着丰富的数学信息。在教学中，“做一做做一做

18、”是用计算、画是用计算、画图再测量的方法归纳出勾股定理的怒定理，归纳的基础应尽可能图再测量的方法归纳出勾股定理的怒定理，归纳的基础应尽可能的厚实一些，但此处有一定的作图困难。教师可对其正确性予以的厚实一些，但此处有一定的作图困难。教师可对其正确性予以说明。还要让学生熟悉一些常用的勾股数。说明。还要让学生熟悉一些常用的勾股数。4.勾股定理的应用勾股定理的应用 本节的核心内容：勾股定理及其判别条件的简单运用。本节的核心内容：勾股定理及其判别条件的简单运用。 这一内容，可以让学生先自主探索，再引导其考虑侧面展开图来解决问题，这一内容，可以让学生先自主探索，再引导其考虑侧面展开图来解决问题，培养空间观

19、念。本节课要以教师为主导，学生为主题，以知识为载体，以培养空间观念。本节课要以教师为主导，学生为主题，以知识为载体，以培养学生的思维能力，动手能力，探究能力为重点的教学思想。在课堂教培养学生的思维能力，动手能力，探究能力为重点的教学思想。在课堂教学中，尽量为学生提供学中，尽量为学生提供“做中学做中学”的空间，小组合作，探究交流得到真正的空间，小组合作，探究交流得到真正的体现。数学源于生活，并运用于生活是整节课的一条暗线贯穿其中。的体现。数学源于生活，并运用于生活是整节课的一条暗线贯穿其中。 这节课的目标具体的可以分为：这节课的目标具体的可以分为：（1）初步运用勾股定理及专家三角形的判别条件（即

20、勾股定理的逆定理）初步运用勾股定理及专家三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。解决简单的实际问题。（2）能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造）能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解。法和代数计算法的理解。（3）在解决问题的过程中，体验空间图形展成平面图形时，对应的点，线）在解决问题的过程中，体验空间图形展成平面图形时，对应的点，线的位置关系，从中培养空间观念。的位置关系，从中培养空间观念。（4）在解决问题的过程中，进一步培养从）在解决问题的过程中，进一步培养从“形形”到到“数数”和从和从“数数”到到“形形”的

21、转化，培养学生的转化、推理能力。的转化，培养学生的转化、推理能力。（5）通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡）通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热情和学习数学的兴趣。献，激发学生的爱国热情和学习数学的兴趣。总之，我们要培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际总之，我们要培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识。问题的创新能力及探究意识。例：如图，已知长方体的长为例：如图，已知长方体的长为10cm，宽为，宽为6cm，高为，高为8cm(1)求一只蚂蚁从求一只蚂蚁从A点到点到F点的距离。点的距离。(2)如果蚂蚁从如果蚂蚁从A点到点到G点，求蚂蚁爬行的距离。点，求蚂蚁爬行的距离。(3)如果蚂蚁从如果蚂蚁从A点到点到CG边中点边中点M，求蚂蚁爬行的距离。，求蚂蚁爬行的距离。(4)如果蚂蚁从距离如果蚂蚁从距离A点点2cm的的P点到点到CG边中点边中点M，求蚂蚁爬行的距离。，求蚂蚁爬行的距离。(5)如果蚂蚁从如果蚂蚁从A点到侧面点到侧面BCGM中心点中心点N，求蚂蚁爬行的距离。，求蚂蚁爬行的距离。 本章蕴含的数学思想本章蕴含的数学思想1.已知，如图，一牧童在已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在处牧马，牧童家在B处，处，A