概率论及统计学的重要公式和解题思路

1、一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ;如A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P(A )=1-P(A) ; B发生的前提下A发生的概率=条件概率 ：P(A|B)=P(AB)P(B) ; 或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ; 2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X的取值是x k(k=1,2,3.), 事件X=xk 的概率为：PX=xk=Pk, k=1,2,3.; - 既 X的分布律；XX1X2.xnPkP1P2.pnX的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。分布函数：

2、F(x)=P(Xx), -<x<+ ; 是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1) ; 离散型rv X; F(x)= PXx=xk<xpk ;(把X<x的概率累加）连续型rvX；F(x)=-xfxdx, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X轴上的(-,x)围成的面积！性质：F()=1; F(-)=0;二、常用概率分布：离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)PX=k=nkpk(1-p)n-k ，k=0,1,2,.n; E(X)=np, D(X)=np(1-p)

3、;离散：泊松分布：X()PX=k=k e-k! ,k=0,1,2,.; E(X)=, D(X)= ;连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，XU(a,b),则：密度函数：f(x)=1b-a,a<x<b0,其它 分布函数F(x)=-xfxdx=0, x<ax-ab-a1, xb,a<x<b连续型：指数分布，参数为，f(x)= 1e -x,0<x0,其它F(x)=1-e-x0,x>0 ;连续型：正态分布：XN(,2), most importment!密度函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(

4、X)= 2; 当µ=0，2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-,x)围成的面积。当XN(0,1)，F(x)=(x)(换个叫法）, 由对称性有(-a)=1-(a)；看到XN(,2),求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1);既把X变成 X- ；则 X- N(0,1)；例题：已知 XN(1,22)； 求P(-1<X<3).解：(思路：µ=1，=2；变换式：x-12 )P(-1<X<3)=P(-1-1<X-1<3-1)=P(-1-12<X-12<3-12)= P(-1<X-12&l

5、t;1)= (1)- (-1)= (1)-1-(1)=2(1)-1;查表正态性质：如XN(1,12)，YN(2,22)；则Z=aX+bY也是正态；ZN(z,z2),其中µz=aµ1+bµ2 ; z²=a²1²+b²2² ；三、二维随机变量：离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,.).联合分布律：PX=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,.)联合分布律的表格形式:X YY1Y2Y3P(X=I)X1P11P12P13P11+P12+P13X2P21P22P23P21+P22+P23X3

6、P31P32P33P31+P32+P33P(Y=J)P11+P21+P31P12+P22+P32P13+P23+P33边缘分布：P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加） ; P(X=2)，P(X=3)同样计算P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算；条件概率：X=X1条件下Y的分布律：PY=yj|X=x1=PY=yj,X=X1PX=X1) =P1JPX=X1) ;PY=y1|X=x1=P11PX=X1) ; PY=y2|X=x1=P12PX=X1); PY=y3|X=x1=P13PX=X1)连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,

7、y常常有取值范围D的）则 ：F(x,y)=P(X<x,Y<y)=-x-yfx,ydxdy ; F(,)=1 .边缘密度：fxx=-fx,ydy; fyy=-fx,ydx; 如XY独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成立；X,Y二维正态密度中的参数=0，则X,Y独立；题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；思路：注意x的定义域，利用F()= -fxdx=1;求出参数；2、求P(X<Y)或P(X+Y>1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上下限，并求积分；3、求Z=X+Y的分布：密度公式fx+yz=-fx,z-xdx; 四、数学期望、方差数学期望

8、 E(X), 方差D(X) :离散：E(X)=i=1nxi*pi ; E(g(X)= i=1ng(xi)*pi ;连续：E(X)= -xfxdx; E(g(X)= -g(x)fxdx; 性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如X,Y独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；D(X)=E(X²)-E²(X); D(C)=0， D(CX)=C²X 如X,Y独立，D(X±Y)=DX+D(Y)五、样本及抽样分布中心极限定理：E(X)=µ,D(X)=²的独立同分布的X1,X2,X3.Xn，当n充分大时，有：

9、i=1nXi-nnN(0,1); i=1nXi 是Xi的和；样本及抽样分布：从总体X中抽取一个个体，独立抽n次，记为X1,X2,.Xn, 它们组成独立、同分布的随机变量，叫随机样本，n是样本容量，X1,X2,.Xn的观测值x1,x2,x3.xn叫样本值。如总体X的分布函数是F，密度是f; 则：F(x1,x2,.xn)=F(x1)*F(x2)*.*F(xn)=i=1nF(xi) ;f(x1,x2,.,xn)= i=1nf(xi) ;重要统计量：样本均值： X=1ni=1nXi ; 样本方差 S²=1n-1i=1n（Xi-X）²如总体X的E(X)=µ,D(X)=

10、78;,则E(X)=1ni=1nE(Xi)=1ni=1nµ=µ,D(X)=2n ;六、正态总体分布常用统计量：1、卡方²：X1,X2,.是来自总体XN(0,1)的样本，²=X1²+X2²+.+Xn², 则称²²(n)为自由度n卡方分布；性质：E(²)=n , D(²)=2n ;卡方²的上分位点：给定 0<a<1, 满足P²>a²(n)=a²fxdx=a的a²(n),已知a,n,查表可a²(n)；2、t分布：X

11、N(0，1),Y²(n),XY互相独立，t=XYn ,称自由度为n的t分布，记tt(n); 图形和N（0,1）类似；t分布的上分位点：给定 0<a<1, 满足Pt>ta(n)=ta(n)fxdx=a的ta(n),已知a,n,查表可ta(n),t分布的图形：3、F分布：U²(n1) ；V²(n2) ，且UV互相独立，F=Un1Vn2 ; 是自由度为(n1,n2)的F分布，记FF(n1,n2); F分布的上分位点：给定 0<a<1, 满足PF>Fa(n1,n2)=Fa(n1,n2)fxdx=a的Fa(n1,n2)a²,已知

12、a,n1,n2,查表可Fa(n1,n2)；F分布性质： 1FFn2,n1; 分位点有F1-a(n1,n2)=1/ Fa(n2,n1) ;正态总体N(µ,²)的平均值和方差分布：E(X)=µ, D(X)=2n ; D(S²)=²性质1：平均值也是正态，X N(µ, 2n) ; 2：（n-1)S²²²(n-1); 卡方²分布； 3：X-Sn t(n-1) ;t分布； 4：XN(µ1,1 2), YN(µ2,2 2) ; S1,S2是对应方差； S12/S221 2/2 2 F(n

13、1-1,n2-1) ;七、参数估计 1、最大似然估计法：离散型总体X，其分布律PX=x=p(x;) , 是待定参数，Xi(i=1,2.n)是个体样本，xi(i=1,2,.n)是样本取样值，则Xi(i=1,2.n)的联合分布律为：i=1np(xi;) (既Xi(i=1,2.n)的积事件）；似然函数L()=Lx1,x2,=i=1np(xi;); 把看做自变量，如L()达到极大值，则dL()d =0时，可解得= ， 称最大似然估计值。为计算方便；可 d(lnL)d =0 ，计算出=，正态XN(,2)的最大似然估计量为：=x , 2=1ni=1n（Xi-X）² ;2、无偏估计：指估计量 的数

14、学期望E()=; 如E(X)=µ,称样本均值X是总体均值的无偏估计；D(S²)=²，称样本方差是总体方差的无偏估计；其中，样本方差 S²=1n-1i=1n（Xi-X）²，分母是n-1,不是n!.3、区间估计：置信区间：给定a(0<a<1),理解为概率，来自总体X的样本X1，X2,.Xn的统计量(如均值，方差等）在：（1，2）之间，使得抽样样本的概率在1-a。则称(1,2)为置信水平1-a的置信区间。连续型rv： a已知，利用P(1<<2)=1-a, 求出1,2 ；常用的正态分布公式是：X N(µ, 2n) ；题

15、型：已知，求的置信水平为1-a的置信区间：a、变换成标准正态；令Y=X-/n , 则YN(0,1)；上分位点Ya/2 可查表得出，由于N(0,1)的对称性，下分位点是-Ya/2 ；b、由-Ya/2<X-/n<Ya/2 ; 得X-Ya/2*/n <<X+Ya/2*/n;就是 的置信区间。见图！未知，求的置信水平为1-a的置信区间：X-Sn t(n-1)； 由P(X-Sn> ta/2(n-1)=a/2, 查表得上分位点ta/2(n-1) ，由于t函数对称性，下分位点是- ta/2(n-1) ；- ta/2(n-1)< X-Sn < ta/2(n-1) ;

16、既 得 的置信区间(X±S/n* ta/2(n-1)方差的置信区间（ 未知）；（n-1)S²²²(n-1); 卡方²分布；给定a, 查表可得上下分位点 ²a/2 (n-1)和²1-a/2 (n-1) ；解²a/2 (n-1)< （n-1)S²/²<²1-a/2 (n-1)得方差²的置信区间：(n-1S22a/2(n-1) , n-1S221-a/2(n-1)两个正态总体XN(1,12)，YN(2,22)的置信区间；来自总体X的样本X1,X2,.Xn1, 均值X,方

17、差S1²来自总体Y的样本Y1,Y2,. Yn2, 均值Y,方差S2² a、1-2的置信区间：1）、12，22已知，设Z=X-Y, 则ZN(1-2,12n1+22n2)既 Z-(1-2)12n1+22n2 N(0,1) ,上分位点为Z a/2; 置信区间为：（X-Y±Z a/212n1+22n2）2）、12=22=2 (未知），X-Y-(1-2)Sw 1n1+2n2 t(n1+n2-2);置信区间：（X-Y±ta/2(n1+n2-2) Sw 1n1+2n2 )其中：S²w=n1-1S12+n2-1S22n1+n2-2 ; b、两个方差之比12/2

18、2的置信区间，1，2均未知。由：S12/S221 2/2 2 F(n1-1,n2-1)； 给定a, F分布的上下分位点分别为Fa/2(n1-1,n2-1), F1-a/2(n1-1,n2-1), 有：Fa/2(n1-1,n2-1)< S12/S221 2/2 2 < F1-a/2(n1-1,n2-1) ;12/22置信区间：( S12S22 1Fa/2(n1-1,n2-1) , S12S22 1F1-a/2(n1-1,n2-1) );八、假设检验方法：给定较小的a值(0.01,0.05), 得到上分布点Za/2; 当统计量Z=X-/n 、t=X-Sn 等 <Za/2 时，说明

19、假设(H0)成立, 否则假设不成立(H1), a称显著性水平。双边检验： H0:=0 , H1:0 ; H0的拒绝域为Z>Za时；左检验：H0:0 , H1:>0 ; H0的拒绝域为Z>Za时；右检验：H0:0 , H1:<0 ; H0的拒绝域为Z<Za时；1-a为大概率事件，总体抽样的个体，分布在<Za的概率要大。1、正态总体均值的假设检验：a、单个总体均值的检验；如方差²已知，X N(µ, 2n)，Z=X-/n N(0，1)；当Z<Za/2 时，原假设H0:=0成立，当ZZa/2 时H1 : 0成立。如方差²未知，X-Sn t(n-1)，t=X-Sn ; 当t<ta/2(n-1)时，H0:=0成立，t>ta/2(n-1)时,H1:0成立。b、两个总体正态的检验：XN(1,2)，YN(2,2) ,1,2, 2未知，检验； H0：1-2=，H1：1-2，（为已知，显著性水平是a)检验统计量t=(X-Y)-SW1n1+2n2 , sw2=n1-1S12+(n2-1)S22n1+n2-2 ;当H0成立时，ttn1+n2-2; 设k=ta/2(n1+n2-2)(双边检验）, 则H0的拒绝域是|t|k=ta/