量子力学习题课课件

1、Hubei Normal University1量子力学（量子力学（Quantum Mechanics）习题课（第一、二章）习题课（第一、二章） 陈陈 涛涛 E-mail: Tel: +86 HBNU, Apr. 8, 2011Hubei Normal University2量子化的起源Hubei Normal UniversitynBohr Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可以认为是对大量实验事实的概括。可以认为是对大量实验事实的概括。1. 1.原子具有能量不连原子具有能量不连续的定态的概念。续的定态的概念。 2. 2.量子跃迁的概念

2、量子跃迁的概念. . 3,2,1 nnLL其其中中的的整整数数倍倍，即即取取只只能能电电子子的的角角动动量量hEEmnmn第一章第一章 绪论绪论（1）波尔假定）波尔假定Hubei Normal Universityn根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。的线光谱。假设氢原子中假设氢原子中的电子绕核作的电子绕核作圆周运动圆周运动 +Fc vre222rervFc )1(22rev vrprL |角角动动量量由量子由量子化条件化条件n 222)(nvr )2(22222222enrnrer 轨轨道道半半径径第第一一 Bohrern2201 （2）氢原子线

3、光谱的解释）氢原子线光谱的解释Hubei Normal University电子的能量：电子的能量：revVTE2221 hEEmn 与氢原子线光谱与氢原子线光谱的经验公式比较的经验公式比较)1(22rev rerere221222 )2(222enr nEne 2242 ,3,2,1 n根据根据 Bohr Bohr 量子跃迁的量子跃迁的概念概念2221224224mene 1142234nme 1122expnmcRH 得得 RydbergRydberg里德伯常数里德伯常数ceRH344 与实验完全一致与实验完全一致Hubei Normal University（3）量子化条件的推广）量子化

4、条件的推广nhndnLd 2是相应的广义坐标。是相应的广义坐标。是广义动量，是广义动量，其中其中iiiiiqphndqp 由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则为广义坐标。考虑积分并利用 Bohr 提出的量子化条件，有索末菲将索末菲将 Bohr Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，自由度情况，这样这样索末菲量子化条件索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子（对于只有一个电子（LiLi，NaNa，K K 等）的一些原子光谱等）的一些原子光谱也能很好的解释。也能很好的解释。Hu

5、bei Normal University（4 4）波尔量子论的局限性波尔量子论的局限性n1. 1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；原子的光谱； n2. 2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； n3. Bohr 3. Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；题，如散射问题； n4. 4. 从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。容。多少带有人为的性质，其

6、物理本质还不清楚。 波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识的问题也逐渐为人们所认识 Hubei Normal University驻波条件：驻波条件：Bohr轨道轨道,3 ,2 , 12 nnr hp 为了克服为了克服 Bohr Bohr 理论带有人为性质的缺陷，理论带有人为性质的缺陷， de Brogliede Broglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频

7、率）的分立性联系起来。有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：例如：氢原子中作氢原子中作稳定圆周运动的电稳定圆周运动的电子相应的驻波示意子相应的驻波示意图图要求圆周长是要求圆周长是波长的整数倍波长的整数倍于是角动量：于是角动量：,3,2,1 nnrpLde Broglie de Broglie 关系关系rnrnhnrh 22r代代入入表明：单个电子就具有波动性表明：单个电子就具有波动性Hubei Normal University量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University量子力学习题

8、课PPT课件Hubei Normal University量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University14量子化之薛定谔波动方程（对应于海森堡矩阵力学）Hubei Normal University第二章波函数与薛定谔方程第二章波函数与薛定谔方程（The wave function and Schrdinger Equation）为什么要归一化？为什么要归一化？怎样归一化？怎样归一化？什么东西要被归一？什么东西要被归一？举一维无限深势阱和线性谐振子为例？课后习题和delta函数归一化。Hubei N

9、ormal University归一化归一化:1AaHubei Normal University必必 须须 注注 意意: :若 非绝对可积时，需用所谓2)t , r()t , r(2( , )1r td只有当在空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。函数归一化方法进行归一化。函数归一化方法进行归一化。函数：00000,0,0( )()1,1,0( )1()1xxxxxxxxxx dxxx dx狄拉克狄拉克函数归一化函数归一化:(Dirac Delta function）Hubei Normal University又根据傅立叶变换公式又根据傅立叶变换公式: :( )( )1( )( )2

10、iwxiwxG wf x edxf xG w edw傅立叶变换公式傅立叶逆变换公式 的傅立叶变换为的傅立叶变换为: :函数( )()iwxiwywxy edxe因而傅立叶逆变换给出:()11()22iwyiwxiw x yxyeedwedwHubei Normal University( )( )xxpxpdixpxdx求解方程得出动量算符的本征函数为求解方程得出动量算符的本征函数为: :()( , )xxip x Etpx tAe 由于由于 为常数为常数.此波函数不能按归一化条件归一化此波函数不能按归一化条件归一化.一维动量算符的本征值方程为：一维动量算符的本征值方程为：xxpp例如例如:

11、:电子在晶体表面的衍射，动量算符的波函数电子在晶体表面的衍射，动量算符的波函数 设电子沿垂直方向射到单晶设电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种不同的表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射后的电子为自动量运动，出射后的电子为自由电子，其状态波函数为平面由电子，其状态波函数为平面波波. .Hubei Normal UniversitydxeAxPPixx)(2)(122xxPPA)()(22xxxxPPPPAdxtxtxdxtxxxxPPP),(),(),(*2SolveSolve： 1/ 2AHubei Normal University归一化的平面波： )EtxP(i/Pxxe/212

12、1)(),(2xxPPPdxtxx同理，三维平面波： )EtrP(iPAe)t ,r()(),(2PPdtrP2321/)/(A()3/2( , )1/ (2)iP rEtPr te 归一化的平面波归一化的平面波归一化条件归一化条件归一化条件归一化条件注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，只这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到动量为是表示平面波所描写的状态在空间各点找到动量为p的粒子的总几的粒子的总几率为率为1。比如每个学生是动量比如每个学生是动量p，那么在地球上所有的点找到他的，那么在地球上所有的点找到他的总几率为总几

13、率为1.Hubei Normal University几率密度几率密度:量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University注注: :归一化后的波函数仍具有不确定性，还可以相差其模为1的相因子,()ie为实函数量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University宇称宇称: 即是一种交换后的对称性，有奇对称和偶对称之分。即是一种交换后的对称性，有奇对称和偶对称之分。量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University势阱、势垒势阱、势垒:量子力学习题课PPT课件Hubei

14、Normal University量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University0aaxax xxU 000)(2222, 22 sinnnnEman xaa一维无限深势阱一维无限深势阱:a4a0 ( )0 4 4xaU x axaxa2222, 2 (3 )2 sin()(3 )(3 )nnnEmanxaaa量子力学习题课PPT课件Hubei Normal University 例例2.72.7axaxUxU 00)(0-aaU0U0U(x)束缚态00UE 解解 0)(2222EUmdxdaxmEkkdxd,2, 0212122axEUmkkdxd,)(2, 02022222：、：Hubei Normal Universitya xeA-ax eAaxxkAxkxk )sin( 222312111212112111211211 )2( ) 1 ()(,)( )(ln, )(ln , kkctgnakkkctgnakkakctgkaxkakctgkax由由连续连续连续连续要求