高数A14无穷小课件

1、1高数A14无穷小PPT课件第一章高等数学1 4 - 2一、一、 无穷小的概念无穷小的概念三、三、 无穷大的概念无穷大的概念五、五、 无穷小与极限的关系无穷小与极限的关系二、二、 无穷小的运算性质无穷小的运算性质四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系第一章高等数学1 4 - 3当定义定义 . 若0 xx 时 , 函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limnn数列 1nn时为无穷小。)x(或为时的无穷小无穷小 .)x(或一、一、 无穷小的概念无穷小的概念, 0sinlim0 xx;sin0是一个无穷小时，当xx

2、无穷小是一个很小的数吗？无穷小是一个很小的数吗？无穷小是比任意一个数都小的量吗？无穷小是比任意一个数都小的量吗？第一章高等数学1 4 - 4简言之, 在某极限过程中, 以0为极限的量称为该极限过程中的一个无穷小.注意注意: 无穷小是一个变量无穷小是一个变量.除 0 以外任何都 ! 语言表述语言、语言、XN时是无穷小吗？当nnfxnn) 1(1)(第一章高等数学1 4 - 5. 在某极限过程中，两个无穷小量之和仍是一个无穷小.可推广至有限个情形定理定理五、五、 无穷小的运算性质无穷小的运算性质例如：例如：0)sin(lim 20 xxx即,02是一个无穷小时当xx ,sin 是一个无穷小x,si

3、n,02是一个无穷小时所以当xxx说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !第一章高等数学1 4 - 6推论推论1. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量.推论推论2. 有限个无穷小量之积仍为无穷小量.定理定理 在某一极限过程中，无穷小与有在某一极限过程中，无穷小与有界量的积仍是一个无穷小量界量的积仍是一个无穷小量.例如：例如：04lim230 xxx01sinlim0 xxx0sin1limnnn第一章高等数学1 4 - 7oyx例例1.1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxy

4、sin的渐近线 .第一章高等数学1 4 - 8： 我们没有讨论两个无穷小的商的情形，因为这一情形较复杂，将在以后专门讨论.例如：例如：而均为无穷小量时,032xxxx 02 xxxxxx1321122xx不是无穷小量.是无穷小量；是无穷大量；第一章高等数学1 4 - 9Mxf)(定义定义 . 若任给任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存

5、在三、三、 无穷大无穷大第一章高等数学1 4 - 10例例2., (i)2xy ,ln (iii)xy ;lim2xx,lnlim0 xx;lnlimxx,tan (iv)xy ,tanlim2xx.tanlim2xx, (ii)3xy ;lim3xx第一章高等数学1 4 - 11证明11lim1xx证证: 任给正数 M , 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .渐近线1说明说明:xyo例例3.第一章高等数学1 4 - 12例例4.)2(为无穷大

6、量时，证明：当nnxn证证:MnMxnnn2log 2|)2( |成立，时，则当MNnMNn|)2( |log2nxnnx)2(limlim, 0M要取故第一章高等数学1 4 - 13注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos.sin)(不是无穷大量时但当在其定义域内无界，证明，xxxxf第一章高等数学1 4 - 14例例5.?2) 1(是否为无穷大时，当nnxnnn解解: 0 2 0 4 0

7、 2 0:，nxn时，故当不成立的项使总有等于时取多么大，当此时，不论nMxNnNn,|0, .2) 1(:不是无穷大量nnxxnnn第一章高等数学1 4 - 15四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.在自变量的同一变化过程中,说明说明:定理定理，时xx1,x11故当x时为无穷小.第一章高等数学1 4 - 161.两个无穷大的和（差）仍是无穷大吗？两个无穷大的和（差）仍是无穷大吗？2.无穷大与有界变量的积仍是无穷大吗？无穷大与有界变量的积仍是无穷大吗？考虑考虑:. ,1)(,)(时xxxgxxf. ,sin)(,)(时xxxgxxf第一章高等数学1 4 - 17五、五、 无穷小与极限的关系无穷小与极限的关系其中 为0 xx 时的无穷小量 . Axfxx)(lim0Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .定理定理第一章高