概率论第二章

1、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设x x为一随机变量为一随机变量, ,则对任意实数则对任意实数x x，函数，函数，为为分布函数。分布函数。定义域定义域为为（，）；）；值域值域为为 ，。，。f(x)f(x)是一个是一个普通的函数普通的函数！distribution functionn 分布函数的定义分布函数的定义( )()f xp xx 分布函数表示事件的概率分布函数表示事件的概率n p（x b）=f(b)n p（ab）=1 p（x b）=1 - f(b)p p（a ax xb b）=p(x =p(x b)-p(xa) b)-p(xa) = f(b)- f(a)-p(x=b)+p = f

2、(b)- f(a)-p(x=b)+p()()分布函数的性质分布函数的性质n f(x)是单调不减函数是单调不减函数n 0 f(x) 1, 0 f(x) 1, 且且 ()lim( )0,()lim( ) 1xxff xff x 12xx若12()()f xf x()fp x 不可能事件不可能事件()fp x 必然事件必然事件n f(x)处处右连续处处右连续(0)( )f xf x已知已知 x x 的分布律为的分布律为xp10121111231212求求x x的分布函数，的分布函数，并画出它的图形。并画出它的图形。0 (1)1 2 ( 10)( )5 6 (01)11 12 (12)1 (2)xxf

3、 xp xxxxx 21( )1f xx是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？不是不是 因为因为 lim( )0 xf x函数函数 21 (0)( )1 1 (0)xg xxx可作为分布函数可作为分布函数( )( )xf xf t dt概率密度函数概率密度函数n 定义定义 设设x为一随机变量，若存在非负可积实为一随机变量，若存在非负可积实函数函数 f (x) , 使对任意实数使对任意实数 x ，有，有 则称则称x为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为x 的的概概率密度函数率密度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数.2112( )xxp x

4、xxfx dx1x2xn 密度函数在区间上的积分密度函数在区间上的积分 = = 随机变量在区间上取值的概率随机变量在区间上取值的概率概率密度函数的性质概率密度函数的性质( )0,(,)f xx n 非负性非负性( )1f x dxn 规范性规范性( )f x1px 密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系n 积分关系积分关系n 导数关系导数关系( )( )xf xf x dx( )f xp xx( )xf x dx( )( )( )f xxf xf x若在 处连续，则连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续p(x=a)=0p(a x b)=

5、p(ax b)=p(a x b)=p(axb)( )baf x dx x x取值在某区间的概率等于密度函数在此区间取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质连续型随机变量的分布函数的性质因此，连续型随机变量取任意指定实数值因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为的概率为0cos( )20xaxxf x随机变量的概率密度为其它(0)4px求解解 step1: 利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a( )1f x dx22( )cos1f x dxaxdx12a 4012(0)cos424pxxdx例：已知密度函数求概率例：已知密度函

6、数求概率 step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率密度函数在区间的积分得到此区间的概率例：已知分布函数求密度函数例：已知分布函数求密度函数200( )0111xxf xxxx随机变量的分布函数为(0.30.7)px(1)求（2)x2)x 的密度函数的密度函数22(0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.4pxff(1)201( )( )0 xxf xf xotherwise（2 2）密度函数为）密度函数为解解 1(1, 5 )()40其 它fx 解解 当当 x 1 时时( )( )xf xf x dx01 2 3 4 5yxx当当1 5 时时151551( )( )( )(

7、 )( )1100(5 1)144xxf xf x dxf x dxf x dxf x dxdx所以所以011( )(1) 15415xf xxxx0 1 51已知连续型随机变量已知连续型随机变量x x的概率密度为的概率密度为( )xf xae( 11)px (1)求（2 2） 求求 x x 的分布函数的分布函数(1)1021( )0121112xxxexf xxex随机变量的分布函数为( 12)px (1)求（2)2)求求x x 的密度函数的密度函数均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量x的概率密度为的概率密度为1()0axbfxba其 它则称则称x在区间在区间 （a，b）上服从均

8、匀分布记为）上服从均匀分布记为 x u (a, b) xbbxaabaxaxxf,1,0)(uniform distributionn 定义定义n 分布函数分布函数 0 a bx x“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：x落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关于子区间的长度而与子区间的位置无关。 0 a bx（） c d ( )1dcdcp cxdf x dxd

9、cdxbaban 意义意义 102 102电车每电车每5 5分钟发一班，在任一时刻分钟发一班，在任一时刻 某一乘客某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过到了车站。求乘客候车时间不超过2 2分钟的概率。分钟的概率。 设随机变量设随机变量x x为候车时间，则为候车时间，则x x服从（服从（0 0，5 5）上的）上的均匀分布均匀分布220012(2)(2)( )55p xff x dxdx解解例例x xu u（0 0，5 5）几何概型（一维）几何概型（一维） 设设在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程2210 xx 有实根的概率。有实根的概率。解解 方程有实数根方程有实数根

10、2440即即 1而而 的密度函数为的密度函数为 1 ( 15)( )60 xf x 其它所求概率为所求概率为 1121( )( )3pf x dxf x dx指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量x的概率密度为的概率密度为110( )(000 xexf xx为常数）100( )10 xxf xex exponential distribution( )xen 定义定义n 分布函数分布函数则称则称x x服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. .例例设设x x服从参数为服从参数为1/31/3的指数分布，求它的密度函的指数分布，求它的密度函数数 及及2360( 12)31xpxedx

11、e 和和(1)p x 330( )00 xexf xx解解x x的概率密度的概率密度3311(1)( )3xp xf x dxedxe( 12)px 2112()( )xxp xxxf x dx正态分布正态分布 normal distribution2( ,)xn 22()21( ),( 0)2xf xe 为常数 则称则称x x服从参数为服从参数为2, 正态分布， 记为n 若连续型随机变量若连续型随机变量x x的概率密度为的概率密度为);21,(21 e 正态分布的密度函数的性质与图形正态分布的密度函数的性质与图形关于关于 x = x = 对称对称（- - ， ）升，（）升，（ ，+ + ）降

12、）降12f最大（ ）n 单调性单调性n 对称性对称性n 拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+21x2，对密度曲线的影响对密度曲线的影响 12122110.7521.25 相同， 不同图形相似，位置平移 不同， 相同越小，图形越陡；越大，图形越平缓正态分布的分布函数正态分布的分布函数dxexfxx222)(21)( f(x)121 x221( )2xxxedx 标准正态分布标准正态分布n 定义定义x n（0，1）分布称为标准正态分布）分布称为标准正态分布 n 密度函数密度函数221( )2xxen 分布函数分布函数standard normal distributionstandard nor

13、mal distribution01偶函数偶函数 ( )yx)(1)(xx 5 . 0)0( 22()12xxxpxxedx标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n 分布函数分布函数( )yxx -x ( )( )p axbba （）标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算12px（）1p x （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 0()1( )xxx 时,0( )xx时，的值可以查表( )p xbb （）1( )p xaa （）n 公式公式n 查表查表n 例例(0,1)xn(2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1p x （）一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化2( ,),( )xxnf x 如果则n 定理定理()()()bap axb 2( ,)xn 若查标准正态分布表n 概率计算概率计算()p axb2( ,)xn 一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率()p xb()p xa( )x为标准正态分布函数n 。n 。n 。()()ba ()b 1()a 设设xn（1，4），求），求 p(0x1.6)解解(0.3)1(0