第3讲行程问题之比例行程

1、第3讲行程问题之比例行程例1. -段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比依次是1 :2:3,小明走各段路 所用的时间的比依次为4:5:6,已知他匕坡时的速度为每小时3 t米,路程全长为10千米， 问小明走完全程用小吋。解：己知他上坡时的速度为每小时3千米，路程全长为10千米，上坡的路程是千米，3vs上坡的时间是一小时qt9所以平路的路程是千米，下坡的路程是t米，3 3时间的比依次为4:5:6,上坡的时间是小时，9所以走完全程的时间是-(小时)。9412 4例2.卬、乙两人分别从a、b两地同时出发，相向而行，卬、乙的速度z比是4:3,二人 相遇后继续行进，屮到达b地和乙到达a地后都立即沿原

2、路返回，已知二人第二次相遇的 地点距离第一次相遇的地点30千米，则a、b两地相距多少千米？adcb解：设4b两地的距离是7兀t米，贝'j ac=4xf bc=3x, cd二30,从c点相遇后到第二次相遇于点d 甲走了 2xbc+cd 乙走了 2xac-cd,所以(2x3x+30): (2x4x-30)=4 : 3,解得x=15,所以ab之间的距离是15x7=105 (千米)。例3.小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路， 并且小芳上学走这两条路所用时间一样多，已知下坡速度为平路的1.6倍，那么上坡速度为 平路的倍。解：设路长为2s,且小芳在平路上的速

3、度为仏则所用的时间是竺，v下坡的速度为1.6v,路程为s,所用的时间是竺，8v于是上坡的时间是，上坡的速度为v, ±坡速度是平路的空倍。v 8v 8v1111例4.甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4千米/时的速度走了路程的一半，又以6千米 /时的速度走完了另一半；乙班的比赛过程中，一半时间以4千米/时的速度行进，另一半时 间以6千米/时的速度行进，问甲、乙两班哪个班将获胜？解：设行军的路程为2s，则叩班用的时间是一 + 二一，4 6122v设乙班的平均速度为5千米/时，所川乙班卅的时间是一，5 v 2s*，所以乙班用的时间少，乙班将获胜。125例5.王叔叔开车从北京到上海，从开始出

4、发，车速即比原计划的速度提高畤结果颐 一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶了 280千米后，将车速提高丄，于是提前1 6小时40分钟到达北京。北京、上海两市间的距离是t-米。解：设北京到上海的距离为s千米，原计划卅的速度是v原计划所用的时间是一(小时)，vs 9s s / 一、二 1.5, =15 (小时),v 10vv1 7返程时先走了 28()千米，后来车速提高了一，车速为一卩，6 6s280 6(5-280)52809016805-l+戶丁，所以 15+ vv7v3v77v3解得v=84,所以s=1260 (千米)。例6.有甲、乙、丙三辆乍，各以一定的速度从某地出发同向而行，乙比丙

5、晚出发10分钟， 出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，请问：甲出 发多少分钟才能追上乙？解：乙和丙比较，乙走40分钟时，丙走了 50分钟，他们的速度比是5: 4,乙的速度是丙的速度的2，4甲和丙比较，甲走了 100分钟，丙走了 130分钟，他们的速度比是13:10,13甲的速度是内的速度的一，10所以甲和乙的速度比是26 : 25,时间比为25 : 26,即甲用25分钟的时间走的路等于乙用26分钟时间走的路。甲比乙晚出发2()分钟，所以甲追上乙时用的时间是25x20=500 (分钟)二8小时2()分钟。例7.甲从a地出发前往3地，乙、内两人从b地出发前往4地

6、，甲行了 50千米后，乙和 丙才同时从b地出发，结果甲和乙相遇在c地，甲和丙相遇在d地，己知甲的速度是丙的 3倍，甲的速度是乙的1.5倍，c、d两地z间的距离是12千米，那么a、b两地z间的距 离是千米。解：设甲走了 50千米z后到达e地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，ri_, ,1 2 2 1所以 ed=3db, db=-eb； eo1.5cb, bc=eb, 一 eb eb=12,45543所以eb=12, eb=8()(千米)。20所以 4b二50+80二 130 ( t米)。例8.甲、乙两车分别从a、b两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时 行60千米

7、，两车分別到达b地和a地后，立即返回。返凹时，甲车的速度增加二分乞一, 乙车的速度不变，已知两车两次相遇处的距离是5() t米，则a、b两地的距离是千米。1 _ ?厂y 二ac deb解：设ab两地z间的距离为g两车第一次相遇的地点是c,2 3甲、乙的速度比是2:3,所以ac=-a, bc二一55叩到达b点之时，乙已经又从a点岀发到了 d点，3 此吋甲走了 q千米，所以乙走了 一g千米，所以d点是ab的小点，2甲的速度增加二分之一，提高到每小时60千米，与乙一样快，而他们现在一个人在b点，另一个人在d点，第二次相遇的地点是db的小点e,i771000eb= a,所以 ce二a, a=50, a

8、- （千米）。4 20207随堂测试1. 一条小船往返于甲、乙两港z间，已知船在静水中的速度是每小时9千米，平时顺行与 逆行所川时间的比是1 ： 2, 天因为下暴雨，水流速度是原來的2倍，这条船往返共用10 小时，甲、乙两港之间相距千米。解：设水流速度为u,顺水速度为9+卩，逆水速度为9t, 9+v=2（9-v）,解得v=3, 下暴雨后水速为每小时6千米，此时顺水速度为9+6=15,逆水速度为9-6=3, 顺水速度：逆水速度二5: 1,所以顺水用的时间为逆水用的时间之比为1:5,5 25往返共用了 10小时，所以顺水用的时间是一小时，逆水用的时间是一小时，33所以甲、乙两港z间相距15x2=2

9、5 （千米）。32. 上午8点整，甲从a地出发匀速去b地，8点20分甲与从b地出发匀速去a地的乙相 遇；相遇后甲将速度提高到原来的3借，乙速度不变；8点30分，甲乙两人同吋到达各口 的目的地，那么乙从b地出发时是8点分。解：设甲、乙相遇于点c,则甲用了 20分钟走ac的路程，而乙用1（）分钟走完ac路程， 所以乙的速度是甲的速度的2倍，甲走3c用的时间是10分钟，速度是原来的3倍，即如果是原来的速度需耍30分钟, 所以 bc: ac=3 : 2,乙走ac用10分钟，所以乙走bc需要10一2x3=15分钟，所以乙从b地出发的时间是8点5分。3. 每天小明上学都要经过一段平路a3,-段上坡路和一段

10、下坡路cq。已知1967滋一3/7 一一 - a4/7匕” + +cd二1:2:1,并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4,如果小明上学与放 学所用的时间比是n : m （其中m与n是互质的自然数）,那么mn的值是。解：上学时平路为4,上坡路为2°,下坡路为°,所用的时间是纟+3b放学时平路为d,下坡路为2d,上坡路为d,所用的吋间是纟+3b,19 4-所以斤：m-一:=19 : 16,所以 /w+/?=35.12 34. 李明和王亮从同-条跑道的起点同吋同向出发，李明说:“我以8米/秒的速度跑全程的丄，4再以6米/秒的速度跑完余下的路程雹王亮说：“前丄的时间

11、，我的速度是8米/秒，余下的4时间，我的速度是6米/秒雹 结果李明比王亮晩到终点0.5秒，则跑道长米。 解：设跑道的长为s,则李明用的时间是牛+土s s 5s|32832 '若王亮用的时间为贝h，2st= 9135 v 2sv 1所以五it。'帀石02（米）。5从上海开车去南京原计划中午"：3。到达但出发后车速提高吟h点就到了, 第二天返回时，同一时间从南京出发，按原速行驶了 120 t米后，再将车速提高2,到达6 上海吋恰好是11 : 10,上海、南京两市间的路程是千米。解：设上海、南京的距离是s,原计划的车速是”，q77车速提高到原來的一，所用的时间就成了原來的一

12、，即/-一z = 0.5, r=4,7 884一（竺+学2）丄所以4 （空+生迺）显，解得尸72,v /v 3v 7 7v 36所以5=288 （千米）。解2：从上海开车去南京，原计划中午11 :30到达，设原计划的速度为v,出发后车速提髙了丄，实际车速为v，, v v=8:7,时间比是f : t=7 : 8, 7结果11点就到了，提前了 30分钟，这30分钟是时间8份中的一份。所以原计划用时为30x8=240分钟。也就是7点30出发。第二天返回时，按原速行驶了 120千米后，再将车速提高丄，6实际车速为vs v":v=7:6,时间比是c : t=6 : 7,提前了 20分钟， 这2

13、0分钟是后半段行程中，所用时间的一份，即后半程用吋20x7=140分钟, 前血的120千米，用时为240分钟-140分钟=100分钟，所以原速度为120-100=1.2 （千米/分钟）。全程路长为240x1.2=288 （千米）。6. 卬、乙两车分别从a、b两地同时出发，相向而行，出发时，卬、乙的速度之比是5:4, 相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样当甲到达b地时，乙离4地还有10千 米，那么a3两地相距。解：甲、乙的速度z比是5: 4,设卬、乙在c地相遇，车速分别是5內4v,5024?所以 5=5(), ab=9s=450.则 ac:3c=5:4, ac=55, bc=4s,

14、4s 5s-10 = 6 5vx 4vx-557. a、b、c三地依次分布在由西向东的同一条道路上,甲、乙、丙分别从a、b、c同时出 发，卬、乙向东，丙向西，乙、丙在距离b地18 t米处相遇，甲、丙在b地相遇，而当甲 在c地追上乙时，丙已经走过3地32千米，那么人c间的路程是。解：设乙、丙在d地相遇，乙、内相遇时，乙行米，丙行cd到甲追上乙时，观察乙、丙所走过的路程。乙行cd m 18+32=50千米,贝ij 18： cd=cd： 50, cdxcd二 18x50二30x30,因此cd的长度是30千米；丙行50+30=8()千米，甲行ac,丙行32 t米，甲行bc,长30+18=48,则 32 : 48=80 : ac,32因此ac的长度是8怜“2。千米.故答案为20.8. 如图，甲、乙分别从4、c两地同吋出发，匀速相向而行，他们的