选修2-1易错题汇编(自编源于学生的错题)

1、2013届平时易错题汇编第1章简单的逻辑用语题型1：充分、必要条件的应用【例1】已知，若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围.答案：【例2】已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.答案：变式2-1已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.答案：题型2：充要条件的证明及应用【例3】设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是变式3-1 求不等式恒成立的充要条件答案：变式3-2 函数是奇函数的充要条件是（）A B. C. D.变式3-2 已知关于的实系数方程有两个实数根，求证：的充要条件是且变式3-3 已知关于的一元二次方程：(1) (2)其中,求方程(1)和(2)都有整数解的充要

2、条件.答案：【补充例题】1.（2010安徽理）设数列中的每一项都不为0.证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何都有2.已知数列满足：，求证：数列成等差数列的充要条件是数列也是等差数列.题型3：三种命题及其真假判断【例4】写出命题“，则” 的逆否命题。答案：若则提示：逻辑联接词“且”的否定是“或”变式4-1命题：若，则或；命题点在直线上，则下列结论错误的是“”为假命题；“”为假命题；“”为真命题；“”为真命题；题型4：求参数的取值范围【例5】设的定义域为，若命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.答案：【例6】已知关于的方程的两根均大于1,求的取值范围.答案：变式6-1求实数的取值范围，

3、使得关于的方程（1） 有两个都大于1的实数根；（2） 至少有一个正实根答案：（1）；（2）【例7】给出两个命题：命题甲：关于的不等式的解集为命题乙：函数为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题答案：(1)(2)变式7-1 已知定义在上的单调递减函数使得对均成立，求的取值范围.答案：【例8】已知函数(1) 是否存在实数，使不等式对于任意恒成立，并说明理由.(2) 若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围。答案：(1)(2)【例9】已知偶函数的定义域为，当时，单调递减，若命题是真命题，求的范围.答案：辅助角公式：半角公式【例10】已知向量若是的充分条件，求

4、的范围.答案：【例11】已知命题恒成立；命题在上是增函数.当有且仅有一个真命题时，求的取值范围.答案：或第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程【例1】已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（）A.曲线上的点的坐标都适合方程B.凡坐标不适合的点都不在上C.不在上的点的坐标必不适合D. 不在上的点的坐标有些适合，有些不适合答案：C【例2】方程表示的图形是（）A.两个点B.四个点C.两条直线D. 四条直线答案：B变式2-1方程表示的图形是什么？【例3】方程表示的曲线是什么？变式3-1方程表示的曲线是什么？变式3-2方程表示的曲线是什么？2.1.2 求曲线的轨迹题型一：直接法求曲线的轨迹例1 为定点，

5、线段在定直线上滑动，已知，到的距离为3，求的外心的轨迹方程。答案：变式1.为定点，线段在定直线上滑动，已知，到的距离为，求的外心的轨迹方程。答案：题型二：利用定义法求曲线的方程【例2】已知求直角顶点的轨迹方程.答案：变式2-1【点在圆上】已知圆过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.答案：变式2-2【点在圆外】已知圆过作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.答案：变式2-3【点在圆内】已知圆过作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.答案：题型三：用相关点法求曲线的方程三角形重心的坐标公式：【例3】已知的两个顶点的坐标分别为顶点在曲线上运动，求重心的轨迹方程.2.2 椭圆I.椭圆的标准方程

6、的推导：1.构造共轭根式化简（1）令（2）由知：（3）联立（1）式和（3）式：两式相加得：（4）两式相减得：（5）将（4）式两边同时平方并化简得：椭圆的焦半径公式：两边同时除以得：令，化为对称式：，其中。2.椭圆的参数方程：课本P47：例73.椭圆的一般式：3.椭圆的第二定义：在平面内，到定点的距离与定直线（不过定点）的距离之比为定值为常数（）的轨迹是椭圆。其中定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。课本P47例6练一练：求到定点的距离与定直线的距离之比为定值的点的轨迹。易错题汇编题型一：椭圆的定义的应用【例1】已知椭圆的方程为若点是椭圆上第二象限内的一点，且求的面积.答案：【例2】椭圆的焦点为

7、为椭圆上的一点，已知，求的面积。答案：面积为9推广1：对于椭圆：，焦点为为椭圆上的一点，已知，的面积为：，其中推广2：对于双曲线：，焦点为为椭圆上的一点，已知，的面积为：，其中【例3】求适合下列条件的参数的值或范围（1） 若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2） 椭圆的一个焦点为，求的值.（3） 若方程表示椭圆，求的取值范围.解：（1）；（2）或；（3）且变式3-1：已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.解：变式3-2：已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围.解：题型二：利用椭圆的定义求最值问题【例4】是椭圆的左焦点，是椭圆上的一个动点，为定点，求的最小值。解析：连接并延长交椭圆于点

8、和，其中点是椭圆上的一个动点，连接因为在中，,所以即：(iff点与点重合时取等号)变式4-1：求的最大值.提示：利用“两边之差小于第三边”可以确定，当点与点重合时取得最大值.【例5】已知椭圆内有一点是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使的值为最小.解答：题型三：利用待定系数法求椭圆的方程【例6】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程.注解：在不确定椭圆的焦点位置时，设椭圆的一般式比较简单，直接转化为一个解二元一次方程的问题.椭圆的一般式方程：解：设所求椭圆的方程为，依题意得：,故所求的椭圆的方程为，所以椭圆的标准方程为变式6-1：求经过点的椭圆的标准方程.答案：【例7】已知椭圆上

9、的一点，若,求椭圆的方程.解：设，则由，则，即，解得：设椭圆的标准方程为：，将代入解关于的一元二次方程，可得：。所求的椭圆的标准方程为：注解：1.一般地，将“”转化为“”；2.具有相同焦点的椭圆系方程：3.具有相同的c的椭圆系方程：（1）焦点在轴上：（2）焦点在轴上：拓展思考：对于椭圆：，如何判断在椭圆上是否存在，使得？当时，四个交点当时，两个交点当时，没有交点结论：当时，存在，使得！变式7-1 椭圆的左、右焦点分别为,点为其上的动点，当为钝角时，求点的横坐标的取值范围。解法1：（向量法）由题意得：，由解得：解法2：（几何法）由题意得：，以为圆心，作圆：联立方程：,消去得：结合图形知：当为钝角

10、时，为锐角为钝角为锐角变式7-2：双曲线的左、右焦点分别为,点为其上的动点，当为锐角时，求点的横坐标的取值范围。要求：试用两种解法分析，并得出一般性结论！【例8】椭圆和具有相同（）A.离心率 B.焦点 C.顶点 D.长短轴思考：椭圆和椭圆具有相同的离心率吗？与椭圆具有相同的离心率的椭圆系方程：（1） 焦点在轴上：；（2） 焦点在轴上：；其中控制着椭圆的大小，离心率决定着椭圆的形状。【例9】与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程。答案：或变式9-1：已知椭圆的对称轴为坐标轴，为坐标原点，是一个焦点，是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程.答案：或题型4：直线与椭圆的位置关系1.直

11、线与椭圆位置关系的判断方法：将椭圆的方程与直线方程联立，消元（或），整理成形如的形式，对此关于的一元二次方程有：（1），直线与椭圆有两个公共点，称直线与椭圆相交；（2），直线与椭圆有一个公共点，称直线与椭圆相切；（3），直线与椭圆没有公共点，称直线与椭圆相离；推广：直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，即判别式法！2.弦长问题：弦长公式【例1】直线与椭圆总有公共点，求的范围.解法1：直线恒过定点（0,1），定点在椭圆内或上，即，且解法2：联立方程求【例2】已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为多少？解：设椭圆的方程为，由联立得：由，解得，所以【例3】过椭圆的右焦点与轴垂直的直

12、线与椭圆交于两点，求的长度。解：椭圆的右焦点为把代入中得：，【例4】已知椭圆过点作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程。答案：变式4-1：已知椭圆试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点，关于直线对称。解法一：设是椭圆上关于直线对称的两个点，则，设所在的直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消去得：，解得又设的中点为，则点在直线上，解得当时，椭圆上有两个不同的点关于直线对称。解法二：设是椭圆上关于直线对称的两个点，则有，设的中点为，则，由解得又点在椭圆的内部，所以当时，椭圆上有两个不同的点关于直线对称。变式4-2：已知椭圆及椭圆外一点，过这点引直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹方程.答

13、案：题型5：与椭圆有关的综合问题【例5】设是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值.解：依题意可设则在椭圆上，若则当时，取最大值若，则，当时，取最大值另：可利用椭圆的参数方程题型6：存在性问题【例6】已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线为则是否存在实数，使直线与（1）中的椭圆有两个不同的交点，使若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。答案：（1）；（2）不存在解：（1）依题意，设椭圆的方程为设右焦点为，则由点到直线的距离公式得：所求椭圆的方程为(2) 设，联立方程得，又，解得满足条件的的值不存在.2.2 双曲线题型1：直线

14、与双曲线的位置关系【例1】：已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线的左支交于两点，求的取值范围。解答：（1）（2）设，将与联立，消去，得：由题意得：，解得【例2】双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点，已经成等差数列，且与同向.(1) 求双曲线的离心率；(2) 设被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线的方程。解：（1）设由勾股定理可得：得由倍角公式得：解得故离心率（2）过的直线方程为与双曲线方程联立将代入，化简得：解得：故所求双曲线的方程为【例3】已知双曲线方程为过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共

15、有（）A4条 B.3条 C.2条 D.1条答案：B变式3-1：斜率为2的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是 答案：题型2：双曲线与其他知识的综合问题【例4】设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则【解】【例5】双曲线的两焦点分别为以为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A【解答】：设交点分别为，而，即【变式5-1】：设，则双曲线的离心率的取值范围是 解析：当时，即。2.3抛物线【基础知识】1抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物

16、线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。2抛物线的准线方程： (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：p的几何意义：焦点F到准线l的距离相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦

17、点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号3抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=14抛物线的焦半径公式：抛物线，抛物线， 抛物线， 抛

18、物线，5.焦点弦公式： 抛物线， 抛物线， 抛物线， 抛物线，6直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点）若，一个公共点（切点）若，无公共点 （相离）（7）常用结论：和和弦长公式：【易错题汇编】题型1：抛物线定义的应用【例1】抛物线上的一点到焦点的距离是则点的横坐标为 （ ）A. B. C. D. 答案：B【例2】在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到

19、 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值 . 【变式2-1】已知直线和直线求抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值。提示：当时，最小值为2.题型二：焦点弦问题初探【例3】过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点，自A,B向准线作垂线，垂足分别为,，求证：解答：由抛物线定义知则，又，则结论：抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。由知是直角三角形且由射影定理得，即因异号，所以 结论2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数和。结论3以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。证明：点F在圆上，只需证明，设 所以，以为直径的圆与AB相切于点F。结

20、论 以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。证：提示：专题I：探究圆锥曲线中的定值和定点问题【前景展望】圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值【热点难点精析】在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例

21、中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关【典例精析】例1：过抛物线：（0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）A B C D解法1：（特殊值法）令直线与轴垂直，则有：，所以有解法2：（参数法）如图1，设，且，分别垂直于准线于，图1抛物线（0）的焦点，准线 ：又由，消去得， 例2：过抛物线（0）上一定点0），作两条直线分别交抛物线于，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为由 相减得，故 同理可得， 由倾斜角互补知： 由 相减得， 直线的斜率为非零常数例3：已知定点在抛物线：（0）上，动点且求证：弦