matlab积分计算学习教案

1、会计学1matlab积分积分(jfn)计算计算第一页，共33页。第1页/共33页第二页，共33页。第2页/共33页第三页，共33页。第3页/共33页第四页，共33页。定积分定积分(jfn)(jfn)的数值计算的数值计算u 定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至甚至(shnzh)没有解析表达式，而是一条实验记录曲线没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散

2、的采样值，此时只能用近似方法计算定，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。积分。u 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。第4页/共33页第五页，共33页。实验实验(shyn)(shyn)二、定积分的近似二、定积分的近似计算计算badxxf)(,1iiixx0 x1x2x1nxnx 1x2x1ix ix nx,)(iixf ,1iiixxxiixxmax0limxnixni 1第5页/共33页第六页，共33页。1( )(), nbiiaif x dxfx n 充分(chngfn)大，x 充分(chngfn)小

3、l 通常我们取通常我们取nxxx21nabh左点法右点法中点法l 点点 可以任意选取，常见的取法有可以任意选取，常见的取法有： 左端点左端点 ，右端点，右端点 和中点和中点 。,1iiixx1ixix2/ )(1iixx第6页/共33页第七页，共33页。()/ixhban, 1 2ixaihi, ,n步长节点(ji din)u 右点法：右点法：11( )()()nnbiiaiif x dxfxhf xixu 中点法：中点法：1111( )()22(nnbiiiaiixxf x dxfxhfiixx111( )()()nnbiiaiif x dxfxhf x-1ixu 左点法：左点法：第7页/共

4、33页第八页，共33页。解：解：h =1/100=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 u 例：用不同的矩形法计算下面的定积分例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取取 n=100 )， 并比较这三种方法的相对误差。并比较这三种方法的相对误差。1021xdxl 左点法：左点法：niiniixhxfhxdx1121110211 )(1 0.78789399673078l 右点法：右点法：1201()1niidxhf xx 0.78289399673078 0.78540024673078niiixxfhxdx11102)2(1l 中点法：中点法：(i = 0,1,2,

5、.,100)第8页/共33页第九页，共33页。11020arctan1dxxx40.78789399673078/4/40.003178l 理论值：理论值：l 左点法相对误差左点法相对误差(xin du w ch)：0.78289399673078/4/40.0031880.78540024673078/4/4 -62.65310 u 误差误差(wch)分析分析l 右点法相对误差：右点法相对误差：l 中点法相对误差：中点法相对误差：不同的方法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法有没有更好的近似计算定积分的方法 ?第9页/共33页第十页，共33页。)(xfab1ixixxyobadx

6、xfS)(1S2SiSnSniibaSdxxfS1)(第10页/共33页第十一页，共33页。iSiiiixyyS21nixfyii, 2 , 1 ),(u 曲边小梯形的面积曲边小梯形的面积(min j)可以由直边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积(min j)来近似来近似u 整个曲边梯形整个曲边梯形(txng)的的面积：面积：badxxfS)(iniiiniixyyS1112第11页/共33页第十二页，共33页。u 如果我们如果我们 n 等分区间等分区间(q jin) a,b，即令：，即令：badxxfS)(niiiiniiiniiyyhxyyS1111122nxxx21nabh则则22)(1

7、10nnbayyyyhdxxf梯形梯形(txng)(txng)公式公式梯形公式与中点公式有什么区别梯形公式与中点公式有什么区别 ?第12页/共33页第十三页，共33页。解：解：101120122nndxyyhyyx 0.78539399673078u 例：用梯形例：用梯形(txng)法计算下面定积分法计算下面定积分 ( 取取 n=100 )， 并计算相对误差并计算相对误差1021xdxa=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) l 相对误差：相对误差：0.78539399673078/4/4-

8、65.30510 第13页/共33页第十四页，共33页。u 2n 等分区间等分区间(q jin) a,b ，得，得该直线(zhxin)用抛物线代替，计算精度是否会更好？11, , 0,1,22ibahxihinnu 计算计算(j sun)每个节点上的函数值：每个节点上的函数值：nixfyii2 , 1 , 0 ),(u 在区间在区间 x0, x2 上，用过以下三点上，用过以下三点),( ),( ),(222111000yxPyxPyxP的的抛物线抛物线来近似原函数来近似原函数 f (x) 。第14页/共33页第十五页，共33页。u 设过以上三点设过以上三点(sn din)的抛物线方程的抛物线方

9、程为：为：则在区间(q jin) x0, x2 上，有y = x2 + x + = p1(x) 2020)()(1xxxxdxxpdxxf20) (2xxdxxx20 2 3 23xxxxx20012 (4)6xxyyy012 (4)6bayyyn第15页/共33页第十六页，共33页。u 同理可得：同理可得：)4(6)( )4(6)(2122243222242nnnxxxxyyynabdxxfyyynabdxxfnnu 相加即得：相加即得：2221222121( )( ) (4) 6iinbxaxiniiiif x dxf x dxbayyyn第16页/共33页第十七页，共33页。u 整理整理

10、(zhngl)后可得后可得：)(2 )(46 )(2242123120nnnbayyyyyyyynabdxxf或或辛普森辛普森 (Simpson) 公式公式(gngsh)抛物线法公式抛物线法公式(gngsh)(gngsh)第17页/共33页第十八页，共33页。)(461123120102nnyyyyynabxdx 0.78539816339745)(22242nyyyu 例：用抛物线法计算例：用抛物线法计算(j sun)下面定积分下面定积分 ( 取取 n=100 )， 并计算并计算(j sun)相对误差相对误差1021xdx解：解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) =

11、1/( 1+xi2 ) 0.78539816339745/4/4-162.82710 l 相对误差：相对误差：第18页/共33页第十九页，共33页。trapz(x,y)x 为分割点（节点）组成为分割点（节点）组成(z chn)的向量，的向量，y 为被积函数在节点上的函数值组成为被积函数在节点上的函数值组成(z chn)的向量。的向量。22)(110nnbayyyynabdxxf,x10nxxx01y (),(),()nf xf xf xq Matlab 近似计算定积分的相关近似计算定积分的相关(xinggun)函函数数第19页/共33页第二十页，共33页。前面(qin mian)的做法u 例：

12、用梯形例：用梯形(txng)法计算下面定积分法计算下面定积分 ( 取取 n=100) 1021xdx解：解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); trapz(x, y)trapz函数函数(hnsh)1012120(/2/2)1nndxbayyyyyxntrapz(x,1./(1+x.2)第20页/共33页第二十一页，共33页。quad(f,a,b,tol)f = f(x) 为被积函数为被积函数(hnsh)，a,b 为积分区间，为积分区间，tol 为计算精度为计算精度将自变量看成将自变量看成(k

13、n chn)是是向量向量badxxf)(u 抛物线法：抛物线法：quadl 不用自己分割积分区间l 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10-6l 精度越高，函数运行的时间越长l 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即 点运算：.*，./ ，. ，. 注：第21页/共33页第二十二页，共33页。1021xdx解： quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-16)函数表达式一定函数表达式一定(ydng)要用要用 单引号单引号 括起括起来！来！涉及的运算一定涉及的运算一定(ydng

14、)要用要用 数组运算！数组运算！u 例：用例：用 quad 计算计算(j sun)定定积分：积分：第22页/共33页第二十三页，共33页。dblquad(f,a,b,c,d,tol)u tol 为计算精度，若不指定(zhdng)，则缺省精度为 10-6 badcdxdyyxf),(u f(x,y) 可以由 inline 定义(dngy)，或通过一个函数句柄传递u a,b 是第一积分变量的积分区间，c,d 是第二积分变量 的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面第23页/共33页第二十四页，共33页。21201(43)Ixyydxdy f=inline(4*x*y+3*y2); I=db

15、lquad(f, -1,1,0,2)u f(x,y) 中关于(guny)第一自变量的运算是数组运算， 即把 x 看成是向量，y 看成是标量。u 也可以全部采用数组运算例例2：计算：计算(j sun)二二重积分重积分 20112)34(dxdyxxy dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2) dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2)X例例1 1：计算：计算(j (j sun)sun)二重积分二重积分第24页/共33页第二十五页，共33页。例：计算例：计算(j sun)(j sun)二重积分二重积分 20112)34(dxdyxxy

16、 dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2 , -1,1, 0, 2)指定 x、y 分别是第一(dy)和第二积分变量 dblquad(inline(4*x*y+3*x.2), -1,1, 0, 2)q 被积函数被积函数(hnsh) f (x,y) 的另一种定义方法：匿名函的另一种定义方法：匿名函数数(hnsh) dblquad(y,x)4*x*y+3*x.2 , -1,1, 0, 2)下面的命令运行结果和上面的一样吗？第25页/共33页第二十六页，共33页。int(f,a,b) 计算计算 f 关于默认关于默认(mrn)自变量自变量 的定积分，积的定积分，积分区间为分区间为a,b。int(

17、f) 计算计算 f 关于默认关于默认(mrn)自变量自变量 的的不定积分。不定积分。int(f,v,a,b) 计算函数计算函数 f 关于关于(guny)自变量自变量 v 的定积的定积分，积分区间为分，积分区间为 a, bint(f,v) 计算函数 f 关于自变量 v 的不定积分badvvf)( )f v dvfindsym(f,1)q 符号积分：符号积分： int第26页/共33页第二十七页，共33页。 syms x y; f=y*sin(x); int(f,x) int(f,y) int(f) int(a+b)ans=-y*cos(x)ans=1/2*y2*sin(x)ans=-y*cos(

18、x)ans=a*b+1/2*b2u 例：指出下面各条语句例：指出下面各条语句(yj)的输出结果的输出结果第27页/共33页第二十八页，共33页。u 例：用例：用 int 函数函数(hnsh)计算定积分：计算定积分：解：解： syms x; f=1/(1+x2); int(f,x,0,1) f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1)或或 int(1/(1+x2),0,1)1021xdx或或或或第28页/共33页第二十九页，共33页。double(a) 将将 a 转化为双精度转化为双精度(jn d)型，若型，若 a 是字符是字符，则取对应的，则取对应的 ASCII 码码 a=3; double(a) double(a)例：例：ans = 3ans = 97第29页/共33页第三十页，共33页。221dxex x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); trapz(x,y)l 梯形梯形(txng)法：法：l 抛物线法抛物线法： quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10)l 符号符号(fho)积分法：积分法： syms x int(exp(x(-2),x,1,2)例例 1：用：用 Matlab 函数函数(hnsh)近似计算积分近似计算积分第30页/共33页第三十一页，共