四3.3二倍角的三角函数1教案

1、3.3二倍角的三角函数1一、教学目标：知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力情感、态度与价值观通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的学精

2、神.二.重点难点重点：二倍角公式推导及其应用 .难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进彳T三角式化简、求值、证明恒等式三、教材与学情分析上倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有上倍角关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、 因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问 题和

3、解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中“、3关系的特殊情形”=时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做 ，因为，数学课程标准提出： 要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程（一）导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差

4、角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课3思路2.(问题导入)出小问题，让学生计算，右 sin ,(E (一，兀求sin2 5 cos2 a的彳1 .学生会很谷易看52出：sin2 a =sin( a + a尸sin a cos a +cos a sin a =潮n ;W0魏开新课，并由此展开联想推出其他公式(二)新知探究、提出问题还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)你写的这三个公式中角外3会有特殊关系 a

5、=网？此时公式变成什么形式？在得到的 Ga公式中，还有其他表示形式吗？细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos(), cos()=cos2()-sin2().思考过公式的逆用吗？想一想C2a还有哪些变形？请思考以下问题：sin2 a =2sin 喝？ cos2 a =2cos 鸩? tan2 a =2tan?a活动：问题，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的a ,3

6、既然可以是任意角， 怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到 a ,侏有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的 3a或33等角的探究附设类比联想的源泉siii(a+p)-sinncosp+cosasinpsin2ft-2siiia

7、cosa(S2a)；cos( a + 3 )=cos oossg巾C06 -S 2 a-sin 2 a (Ca);tan-： ' tan :tan( a + 广尸=1 -tan 二 tan :2tan：tan2： =- (T2 -.)1 - tan2 ：这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学 生阅读教 书，确切明了二倍角的含义，以后的 倍角”专指 匕倍角”、教师适时提出问题，点拨学生结合sin2” +co&z =1 再、考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式si n2a-2smacoa()cos2a = cos2a

8、:sii口)cos2a = 2ros£a 1tan2%2”咒(TQ 1 -UTfacos2a= l 2sin2a这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了 "的三角函数与2 a的三角函数之间的关系问题，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的三角函数的二次式，即左到右 一升哥缩角，右到左一降哥扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式 问题，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：（I ）这里

9、的 情角”专指 匕倍角”遇到 三倍角”等名词时，兰”字等不可省去；（II）通过二倍角公式, 可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；（出）二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；（IV）公式（S2a）,（C2a）中的角“没有限制，都是 值R.但公式（丁2需在0C 1-兀二和“五C（ ）时才成立，这一242条件限制要引起学生的注意.但是当”=兀+；, e时，虽然tan/存在，此时不能用此公式，但tan2是存在的， 故可改用诱导公式.问题，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于 2 a是“的二倍的形式，其他如4 a是2 a的二倍，亘是a的二倍,3 a是 电 的二倍，a是a的

10、二倍,24236二倍角公式.5- “是工- a的二倍等，所有这些都可以应用24 2例如:sin a =2sin a cos a ,cos =cos2a -sin2 等等244366问题，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用,这点教师更要提醒学生引起足够的注意如:sin31 一c cos3(rsin624 4sin cos =2(2sin cos )=2sin ,444422tan40o 222e =tan80 , cos 2 纺sin 2 a =cos41 - tan 40atan2 a =2tan -tanf a 等等.问题，一般情况下:sin2 a丰2sin a ,cos22 丰

11、 2cos a ,tan2 a 丰 2tan a .若 sin2 a =2sin 则,2sin a cos a =2siriksin a =豉 cos a =1 此时 a =兀(C ).若 tan2 a =2tan 则，一 1解答：一（略）一 一，5例1已知sin2 a 二"71，一<"一,求 sin4 a ,cos4 a ,t<an4l .a13 42若 cos2 a =2cos 狈q 2cos2 a-2cos -1=0,即 cos a -(cos a-舍去).222 tan a2 =2tan a tan a =即 a =兀(C ). 一 tan a（三）应用

12、示例活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟情角”是相对的这一换元思想.让学生体会 情”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知 条件给出了 2 a的正弦值.由于4 a是2 a的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题,目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.TE J TE解:由 一 < a <，得 一 <2 a < 仅sin2a*, cos2 a v 1 - sin2 2a = 一、”1 一 ()21213是 sin4 a =si

13、n2 x (2 a )=2sin2cos4 a =cos2 X (2 -2$归22 & =12sin 4a 120169tan4 a =(-)x=cos4a 169119119acos25 =2X12)=_120；1313169,5 2_119*13) 129;120点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点变式训练i.不查表，求值:疝ly-coshl解:原式=J(sin 15 ' + cos15 )22,J 2'6sin 15 2

14、sin15 cos 15 =2点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力什 cos2a2.若JT sin(a -)42 r，贝U cos a +sinBO为 ()27A. -1B.-21C.2答案:C 1 sin 2 -cos21 例2证明=tan 0 .1 sin 2 1 cos21活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中 间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法

15、会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面 学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1的代换，对“1的妙用大家深有体会，这里可否在“1T做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中， 万万不要忽视它.sin2 (1 -cos21)2sin n cos1(11 -2cos2)

16、证明：万法一：左=乙= -2 sin 二 cos? 1 -cos 二sin cos【cos2 1sin 2 (1 cos2?)2sin ?cos二(1 2cos 1-1)=tan。右.sin cossin" sinr(cosi sini) sin u cos? cos2 cosu(sin? cosu)所以原式成立.、4. sin2 1cos2fsin2 fsin21-cos2 sin 22sin2方法一:左=222丁 =2-sin 二cosnsin 21cos二-sin二 sin 22cos二=tan。右.2sin【(sin 二 cos)2cos?(sin 二 cos?)、 二 (1

17、 sin 2?) -cos2(sin2 1 cos2 1 2sin cos) 一(cos2 1-sin21)方法二 五 = = o彳彳彳(1 sin 2) cos21 (sin n cos 2sin*cos)(cos - sin )_ (sincos)2 - (cos sin )(cos - sin )(sin cos?)2 (cossin i)(cosi - sin )=tan。右.(sin cos-)(sin cos- sin? - cos-) _ (sincos-) *2sin(sincos)(sin cos cos二-sin) (sincos1) *2cos点评：以上几种方法大致遵循以

18、下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是例 3 在4ABC 中,cosA=±tanB=2,求 tan(2A+2B)的值.5，同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不同会A+B+C=Tt ,0<A<兀,0<B<

19、兀，0<C就是其中的一个隐含条件 .可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解 法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否,教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2c的值.解：方法一：在 4ABC 中，由 cosA=30<A兀得 sinA= J1 cos2 A =1；1 5(5)sin A 3 5 3以 tanA= x = ,tan2A=cos A 5 4 42 tan A2Mg424又 tanB=2,所以 tan2B=21 - tan A2 tan