2022年分式函数的图像与性质

1、精品资料欢迎下载分式函数的图像与性质学习过程一、课前准备1、分式函数的概念形 如22(,)a xb xcya b c de frd xe xf的 函 数 称 为 分 式 函 数 。 如221xyxx，212xyx，413xyx等。2、分式复合函数形如22( )( )( , , , , ,)( )( )a f xbf xcya b c d e frd f xef xf的函数称为分式复合函数。如22112xxy，sin23sin3xyx，123xyx等。二、新课导学 学习探究探究任务一 ：函数(0)byaxabx的图像与性质问题 1：( , , ,)axbya b c drcxd的图像是怎样的？例

2、 1、画出函数211xyx的图像， 依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】212(1)112111xxyxxx， 即函数211xyx的图像可以经由函数1yx的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。如下表所示：12111211yyyxxx右上由此可以画出函数211xyx的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)；值域：(,2)(2,)；对称中心：(1,2)。【反思】( , , ,)axbya b c drcxd的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】( , , ,)axbya b c drcxd的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移

3、得到，xoyxoy12xoy1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数( , , ,)axbya b c drcxd的图像与性质（1）定义域：|dx xc；（2）值域：|ay yc；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)ddcc；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,daxycc，对称中心为点(,)dacc；（5）奇偶性：当0ad时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：(0)byaxabx的图像是怎样的？例 2、根据yx与1yx

4、的函数图像，绘制函数1yxx的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性 （此点不作要求） ，关键点坐标 （最值点、 与坐标轴交点） 、辅助线 （对称轴、 渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数的定义域为：|0 x x；根据单调性定义，可以求出1yxx的单调区间增区间：(, 11,)减区间： 1,0),(0,1函数的值域为：(, 22,)函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,yx0 x函数的图像如下：xoyxoy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

5、 - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数( ,0)byaxa bx的图像与性质：（1）定义域：|0 x x；（2）值域：|2,2y yabyab或；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间(,+)bbaa上是增函数，在区间(0,0)bbaa上为减函数；（5）渐近线：以y轴和直线yax为渐近线；（6）图象：如右图所示例 3、根据yx与1yx的函数图像， 绘制函数1yxx的图像， 并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1y

6、xx的图像解：函数的定义域为：|0 x x；根据单调性定义，可以判断出1yxx的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)xoyyxxoyyx1yxyaxbaba2ab2abxoy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载函数的值域为：r函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,yx0 x函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个例子，1yxx与1yxx的图像又是怎样的呢？思考12 +yxx与23yxx的图像是怎样的呢？( ,0)byaxa br abx的图像呢？函数1yxx的图

7、像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。【注】11()yxxxx，由于( )yfx与( )yf x的图像关于x轴对称，所以还可以根据1yxx的图像，对称的画出1yxx的图像。同样的道理1yxx的图像与1yxx的图像关于x轴对称，所以图像如下：xoyxoyyx1yxxoyyxxoyyx1yx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载【小结】( ,0)byaxa br abx的图像如下：（i ）(0,0)byaxabx (ii) (0,0)byaxabx(iii) (0,0)

8、byaxabxyaxxoyyaxxoyxoyxoy1yxx1yxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载(iv) (0,0)byaxabx( ,0)byaxa br abx的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。探究任务二 ：函数22( , , , , ,)axbxcya b c d e frdxexf的图像与性质问题 3： 函数2211xxyx的图像是怎样的？单调区间如何？【分析】22212(1)3(1)222(1)3111xxxxyxxxx22yxx122

9、(1)1yxx左23211xxyx下所以2211xxyx的图像与22yxx的图像形状完全相同，只是位置不同。图像的对称中心为：( 1, 3)单调增区间为：(, 20,)单调减区间为： 2, 1),( 1,0值域：(, 71,)图像如下：xoyyaxyaxxoy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载【反思】函数2121xyxx的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？【小结】对于分式函数22( , , , ,)axbxcya b c d e frdxexf而言，分子次数高于分母时

10、，可以采用问题3 中的方法， 将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0） ，再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：22111(1)221212(1)311xyxxxxxxxx 典型例题例 1、若,3x yrxyxy则xy的最小值是 _解： 由(1)3xyxyxxy，得31xyx3(1)44411221111xxxyxxxxxxxx【注】此处可以借助函数42(1)yttxt的图像与性质【变式】若,3x yrxyx

11、y且，求xy的取值范围 .例 2、求函数2412( ),2,51xxf xxx的值域 . 解：22412(1)2(1)99( )=12111xxxxf xxxxx，令1tx，则9( )2,1,4f tttt，结合9ytt图像与性质， 可知当1,3t时函数单调递减，当3,4t时函数单调递增，又17(1)8,(3)4,(4)4fff，所以( )4,8f x【注】 “换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。【变式】求函数21( ),2,5412xf xxxx的值域 .xoy12731精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

12、第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载例 3、已知( )af xxx在区间2,)单调递增，求a的取值范围 . 【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开. 解： 当0a时，( )f xx在区间2,)显然单调递增；当0a时，结合( )af xxx的图像与性质，可知函数在区间2,)单调递增当0a时( )f x在区间,)a内单调递增，所以2a，所以(0,4a综上所述，实数a的取值范围为(,4. 【变式】已知( )af xxx在区间2,3)单调递减，求a的取值范围 .例 4、某工厂去年的某产品的年产量为100 万只，每只产品的销售价为10 元，固定成本为

13、8 元今年，工厂第一次投入100 万元（科技成本） ，并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10 万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为1)(nkng（0,kk为常数，nz且0n） ，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为)(nf万元（1）求k的值，并求出)(nf的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 解： （1）由1)(nkng，当0n时，由题意，可得8k，所以8( )(10010 )(10)1001f nnnn（2）由89( )(10010 )(10)100100080(1)1000802 952011f nnnnnn当且仅当1

14、n19n，即8n时取等号，所以第 8 年工厂的利润最高，最高为520 万元 .例 5、已知221nnan，若8nan对所有的*nn均成立，求实数的取值范围 . 【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究解： 由题易知(8)(21)2nnn，令(8)(21)( )2nnf nn，(8)(21)41725( )222nnf nnnn，当且仅当2n时取等号精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载所以252，即25(,)2. 【注】若*6( ),f

15、nnnnn，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根据基本不等式求解. 【变式】数列na满足：2156nnan，则数列na中na的最大值为 _ 学习小结学习评价 自我评价你本节课程学习情况为（）. a. 很好b. 较好c. 一般d. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1、若,3,x yrxyy则xy的最小值是 _2、函数234xyx的值域是 _3、已知221( ),1,axxf xxx内单调递减，求实数a的取值范围。4、（1）若函数( )log4 ,(0,1)aaf xxaax的定义域为r，求实数a的取值范围；（2）若函数( )log4 ,(0,1)aaf xx

16、aax的值域为r，求实数a的取值范围。5、设( ),0,+)1af xxxx（1）当4a时，求( )f x的最小值；（2）当(0,1)a时，判断( )f x的单调性，并写出( )f x的最小值。课后作业1、函数12( ),1,21f xxxx的值域为 _2、不等式20 xax的在2, 1内有实数解，则实数a的取值范围 _3、不等式20 xax的在2, 1内恒成立，则实数a的取值范围 _4、函数221xxyxx的值域是 _5、定义在r上函数( )f x，集合aa a为实数，且对于任意,( )xr f xa恒成立，且存在常数ma，对于任意na，均有mn成立，则称m为函数( )f x在r上的“定下界

17、”若21( )12xxf x，则函数( )f x在r上的“定下界”m_精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载6、 【11 年闸北】据测算： 2011 年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1 万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m万件与年促销费用x万元（0 x）满足13xkm（k为常数）已知 2011 年生产该产品的前期投入需要8 万元，每生产1 万件该产品需要再投入 16 万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本

18、的1.5 倍（定价不考虑促销成本） （1）若 2011 年该产品的销售量不少于2 万件，则该产品年促销费用最少是多少？（2）试将 2011 年该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数，并求2011 年的最大利润7、已知函数( )2af xxx的定义域为0,2（a为常数） . （1）证明：当8a时，函数( )yf x在定义域上是减函数；（2）求函数( )yf x在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值8、【06 年上海】已知函数ayxx有如下性质： 如果常数0a, 那么该函数在(0,a上是减函数 , 在,)a上是增函数 . （1）如果函数2byxx在(0,4上是减函数 , 在4,)上是增函数 , 求实常数b